专题02 反比例函数与一次函数有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数综合，分图象判断、交点问题、综合应用、实际应用四题型，覆盖核心考点，注重几何直观与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象综合判断|5题|根据解析式判断函数图象，考查系数符号对图象的影响|从函数概念到图象特征，培养几何直观| |交点问题|5题|求解交点坐标、计算面积、确定不等式解集，强化数形结合|结合方程思想，提升运算能力与推理意识| |其他综合应用|5题|涉及函数平移、几何图形结合、存在性问题，综合考查知识迁移|从代数到几何，构建知识网络| |实际应用|5题|以加热、注意力、消毒等情境为载体，建立函数模型解决问题|体现数学语言表达现实世界，发展模型意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02反比例函数与一次函数有关的四种模型 题型归纳 题型一一次函数与反比例函数图象综合判断 题型二一次函数与反比例函数的交点问题 题型三一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型四一次函数与反比例函数的实际应用 题型专练 题型一：一次函数与反比例函数图象综合判断 k 1.函数y= 与y=-+k(k≠0)在同一坐标系内的图象大致为图中的() 2,已知0，则反比例函数y和一次函数y=-2+3的图象可能是( 水 3.已知一次函数y=mx-m与反比例函数y= x在同一平面直角坐标系中的图象可能是()》 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4在同一直角坐标系中，反比例函数y=-是与一次函数y=ar-a口t0)的图象大致是() 5.在同一坐标系中，一次函数y=:-k与反比例函数少=k≠0)的图象大致是() 题型二：一次函数与反比例函数的交点问题 6.如图，己知一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=的图象交点A(-3,m)和B(n,-3),直线AB与 x轴，y轴分别交于点C、点D (1)求反比例函数： (2)求△AOB的面积； )结合函数图象直接写出不等式x+1-冬>0的解集 7.如图，一次离数y=红+bk≠0)与反比例属数y=(m≠0(<0)的图象相交于4-L3),8(-3)两 点，连接AO,BO. 219 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 (1)求反比例函数和一次函数的表达式： ②根据函数图象直接写出不等式红+b>的解集， (3)求△AB0的面积. 8.如图，已知一次函数乃=a+b(k≠0)的图象交x轴于点C,交y轴于点D,且OC=3,OD=1.一次函 数男=红+bk≠0)与反比例函数为=公(m≠0)的图象交于4B两点，其中点B的横坐标为3. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (②)将直线AB向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E,连接AE,BE,求△ABE的面积： ()观察函数图象，请直接写出c+b-”≤0的解集 9.如图，反比例函数y=x的图象经过点A(-山，-3)，连接40并延长交反比例函数图象于点B'C为反比 例函数图象上一点，横坐标为-3，一次函数=r+b的图象经过B、C两点，与x轴交于点D,连接 AC、AD 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数和一次函数2的表达式： (2)求△ACD的面积： (3)当>y2时，直接写出自变量x的取值范围、 2 10.数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数y= 一3的图象和性质进行探究。下面是他们 的探究过程，请按要求补充完整： 2 (1)函数y= 3的自变量，的取值范围是 (2)下列表格是y与x几组对应值： -3 -2 3 -1 0 4 5 3 2 2 … 7 11 么 7 5 -5 _7 -1 -2 3 3 2 直接写出m的值 (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： 3 +2 -5-4-3.-219 ↓2.3456元 -2 3 -4 5 6 (④)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当x>1时，y随x的增大而 (填增大或减小)： ②若函数片= 一3与一次函数，=+b相交于点A0,-5),B(2,-1小，结合函数图象直接写出使不等式 x-1 为<y2成立的x的取值范围. 题型三：一次函数与反比例函数的其他综合应用 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图，在平面直角坐标系中，直线y=了x与反比例函数y=的图象交于A,B两点，已知点4的纵坐 标是2. B (1)求反比例函数的表达式： (2)将直线y=一3x向上平移后与y轴交于点C,与反比例函数在第二象限内的图象交于点D:若。ABD的 面积为36，求平移后的直线表达式. 2百线y=4+6与反比网激y交于点和点DL-5动：并与轴交千点分：与)纳文于点C (1)求直线与反比例函数的表达式： (2)连接OA、OD，,求△OAD的面积： (3)若M为反比例函数y=元在第一象限图象上一点，且。OAM的面积为12，若点M在点A的左侧，求点 M的坐标， 13.如图，一次函数y=- x+4的图象与反比例函数y（x>0)的图象交于A,B两点，点A的坐标为 (6,m),点P是第二象限反比例函数图象上一动点 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (I)求k的值及点B的坐标： (②)连接OR、OB,若△OBP的面积为2，求点P坐标： (③)过点P作直线P№平行于AB交反比例函数于点O,是否存在点P使得P№=2AB?若存在，求出点P坐 标；若不存在，说明理由 14.如图，反比例函数y-(x>0)过点44,5)，直线4C与x轴交于点C(&0),交y轴于点区，过点C作 x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B】 备用图 (1)求k的值与B点的坐标： (2)将直线EC向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点E时，直线交x轴于点F.请判断点B是 否在直线EF上，并说明理由： (3)在(2)的条件下，在平面内有点M,使得以AB、F、M四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出 符合条件的所有M点的坐标， 15.定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联 点”.在平面直角坐标系中 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 资 3 3 -2-10 12345衣 -1 -2 ()若点A为(0,0)，下列不是“A的关联点”的是() A号B)c,2.n.层别 (2)若点A为(1,3) ①反比例函数y-冬k>0)的图像上有且只有一个“A的关联点”，则k:一 ②反比例函数y-化>0)的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为、5，求的值： ③直线y=x+m记为1,1绕原点顺时针旋转90°后的直线记为'，1和'上都存在“A的关联点”，直接写 出的取值范围. 题型四：一次函数与反比例函数的实际应用 16.智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热， 水温开始下降.在水温开始下降的过程中，水温y(℃)与通电时间x(mi)成反比例关系.当水温降 至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y(℃ )与通电时间x(min)之间的关系如图所示 ↑y/C 100- 20 04 x/min (1)当4<x≤a时，求y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于40℃的时间， 17.实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣 激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(分钟)变 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 化的函数图象如图所示，其中当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分. y(指标)》 B C 15 D 01020 45x(分钟)》 (I)求点C,D所在反比例函数的表达式和直线AB的表达式： (②)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36，那么她最多可以讲」 分 钟. 18.某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”·己知药物在燃烧 释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与燃烧时间x(min)之间的关系如图所示.根据图象 所示信息，解答下列问题： y(mg) 12 24 x(min) (I)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于4mg，对人体无毒害作用.从消毒开始，至少需要经过多 少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于6mg且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌.你认 为此次消毒是否有效？并说明理由 19.某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示， 消毒效果少（单位：效力）与时间x(单位：分钟)呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段 为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列问题： 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个y(效力) 6 B 1030 x(时间) (1)第10分钟时消毒效果为 效力： (2)当x≥10时，求y与x之间的函数关系式： (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 20.我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示， 消毒效果)（单位：效力）与时间x(单位：分钟)呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段 为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： y(效力) 6. B D A1030 x(时间) (1)第3分钟时消毒效果为 效力： (②)求深消毒阶段和降消毒阶段中'与x之间的函数关系式： (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 9/9面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02反比例函数与一次函数有关的四种模型 题型归纳 题型一一次函数与反比例函数图象综合判断 题型二一次函数与反比例函数的交点问题 题型三一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型四一次函数与反比例函数的实际应用 题型专练 题型一：一次函数与反比例函数图象综合判断 1.B 2.C 3.B 4.D 5.D 题型二：一次函数与反比例函数的交点问题 6. 【详解】(1)解：点A(-3,m)在一次函数y=-x+1的图象上， ∴m=-1×(-3)+1=4, A(-3,4) 点A(-3,4)在反比例函数y=,的图象上， k 4=3,解得：k=-12 12 :.反比例函数解析式为y=下· (2)令y=-x+1中y=0,则x=1, 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.C(1,0). 5m=8x+5m0Cx(,-,）14-(训-子 (3)点B(m,-3)在一次函数y=-x+1的图象上， .-3=-n+1,解得：n=4, .B(4,-3) 观察函数图象发现：当x<-3或0<x<4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式+>0的解集为<3或<r< B 【详解】(1)解：两函数图象相交于点A(-1,3),B(-3,a), 将4-1,3)代入y=(m0x<0)得3-。 ∴m=-1×3=-3, 3 ∴反比例函数解析式为y=-二(x<0), 将B(-3a)代入y=-3得a -3 r得a 31, .B(-3,1) 将A(-1,3),B(-3,1)代入一次函数y=+b解析式， 「-k+b=3 [k=1 得-3张+b=1解得1b=4 ,一次函数解析式为y=x+4. (2解：由图象可知，c+b>受的解集为：3<r< 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：设直线与y轴交于点M,当x=0时，y=x+4=4, ∴.M(0,4). ×4x3-1 1 .SaA0B=S△BOM-Sa4OM= ×4×1=4 2 B 8. 【详解】(1)解：OC=3,OD=1, ∴.C(-3,0),D(0,-1). 把C(-3,0),D(0,-l)代入片=a+b(k≠0)， 0=-3k+b 得1-1=b, k=-1 解得3 b=-1 所以一次同数解折式为片=一-1 1 当x=3时，片=3x3-1=-2, B(3,-2), 把86，-2)代入%m0）,可得m=6 所以反比例函数解析式为片=6。 （2)解：列方程了-1-6 1 x 解得x=-6,x2=3. .A(-6,1), 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线8向上平移2个单位长度后，解折式为=字-1+2= 3+1, 令0=x+1,解得x=3 3 .E(3,0) .BE=2, SABE [3-(-6)]×BE =9； 2 (3)解：整理：+6-”≤0，可得c+b≤” 观察两数图象，则红+bs的解失为-6≤x<0或之3 9. 【详解】()解：将4-)代入= 得-3=-k, 解得k=3, A,B在反比例函数图象上， 点A,B关于原点成中心对称， ·点B坐标为(1,3)， 3 把x=-3代入4=得y=1: ·点C坐标为(-3，-1)， a+b=3 将(L,3)（-3,-)代入，=ar+b得1-3a+b=-1: a=1 解得1b=2 y2=x+2: (2)解：如图，作DE∥y轴交AC于点E, 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AC所在直线解析式为y=mx+n, -m+n=-3 将A(-1,-3):C(-3,-1)代入y=mx+n得1-3m+n=-1’ [m=-1 解得n=4' ∴.y=-x-4. 将y=0代入=x+2得x+2=0, 解得x=-2, 点D坐标为(-2,0)， 把x=-2代入y=-x-4得=-2， ·点B坐标为(-2，-2)，DE=2, ∴.SA4cD=SACDE+S△MDE 0E(无)片0E,） ×2x[2-(3+x2x[1-(-2刃 2 =2； (3)解：由函数图象可知，当y>2时，x<-3或0<x<1. 10. 【详解】(1)解：由题意可得x-1≠0， 解得x≠1， ∴自变量的取值范围是x≠1 m=y= (2)解：当x=3时， 2-3=1 2 21 3 (3)如图， 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 54-3-21913456元 -2 -3 6 (4)解：①由图可知该函数当x>1时，y随x的增大而减小： ②如图，过点A(0,-5),B(2,-H)作一次函数52=+b, 32 5-4-3-2-1 3456 4 由图可知，当<y2时，x的取值范围：0<x<1或x>2. 题型三：一次函数与反比例函数的其他综合应用 11 【详解】(1)解：点4在直线y=-3上，且点4的纵坐标是2， 2=-3, 解得x=6' 即点A的坐标为(-6,2)」 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A(-6,2)在反比例函数y=的图象上， ∴.k=-6×2=-12 :反比例函数的表达式为y=12 (2)解：连接AC,BC,如图. B ys、12 联立 1 [x=6∫x2=6 解得以=2或，=-2' ·.B(6-2) 设平移后的直线表达式为少？+场 :该直线平行于直线AB, .S△4BD=SA4Bc=36 ∴S4c=)0C-k,-x)=36, 2 012=6 .b=6. :平移后的直线表达式为少=写+6， 12 【详解】(1)解：：直线y=x+b过点D(-山，-5)， .-5=-1+b, 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=-4, ∴.一次函数表达式为y=x-4。 k :反比例函数y=x过点D(-l,-5), :5 -1, .k=5, ·反比例函数表达式为y= x (2)解：在一次函数y=x-4中，x=0时，y=-4, .:C(0,-4),即0C=4, y=x-4 解方程组 y=§得=-1∫x=5 y= y=-5y=1 x=-1x2=5 经检验以=-5，=1均是方程组的解， A(5,),D(1,-5) 5.om-5.+OCCx4x1+x4x5=12. 2 2 75 (3)解：设Mm （m, 连接AM并延长交y轴于点N, :点M在第一象限，且点M在点A左侧， .0<m<5, 设直线AM表达式为y=pr+9, 直线W过点465少Mm高 m 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [1=5p+9 .5 =mp+q’ m 解得： 9= m+5, m 直线4M表达式为y=-Lx+m+5 m 当x=0,y=m+5 m’ 0m+5 即ON=m+5 m :saw=Sa-5aw-2oNk小-oN-k小. 2 x5-1xm+5 m, 整理得：m2+24m-25=0, 解得：m=1或m=-25(不合题意，舍去)， 经检验，m=1是原方程的解， .M(1,5) 13. 【详解】()把46m)代入=2x+4,得m=6+4=1, A(6,1, k 代入y= 得1← 6 ∴k=6, :反比例函数的解析式为y=《 x 6 y= 联立方程组得： 1 y=- x+4 x=6 x2=2 解得： y=1 (=3, 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(2,3): （2)设Pm,过点p、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D: 则PE= m’BD=3, 当0<m<2时，如图1，则DE=2-m, A OE D 图1 Sw形aDEP=S0am=2y :.2PE+BD)·DE=3 名，即0+2-m 2, 4 解得：m=-3（舍去)，=3， 当m>2时，如图2，则DE=m-2, PA 图2 5an+5en=5oe+5ae5m-专5am=及am3 aour5.om 2, .、3PE+BD)·DE=5 3即+9m-2-3, 4 解得：m=3,%=3(舍去)， P3,2) 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，点p坐标为，昌或B,2: (3)存在点P使得P吧=2AB,点P坐标为27-4,7+2)或(27+4,7-2) .PQ∥AB 1 :设直线PQ的解析式为y=2r+b, 联立，得+66 x 整理得：x2-2bx+12=0, 则p+xe=2b,xpxg=12, 又m=2,+b,e=-2。+b,则m-%=2。-), Pg=G,-y+0%r-4g广=+广-4l-4w-4绸=6-0， AB2=(6-2)2+(1-3)2=20,P9=2AB, .5b2-60=80, b=2W7, ,P、Q均在第一象限， b>0 b=2√7， :直线PQ的解析式为少= 2+27 1 V=- x+2万 2 联立得 6 y= x=27-4x=27+4 解得： y=V7+2, =V7-2· P(2W7-4,7+2)或(2V7+4,V7-2). 14. 【详解】山)解：E点445)代入y-车>0，得人=g4x5=20。 20 故该反比例函数解析式为：y= 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C(8,0),BC⊥x轴， x,得：=205 20 :把x=8代入反比例函数y= Γ82’ 绿上所述，k的位是20B点的华标是8引： (2)解：设直线A、C的表达式为y=ax+b 则5=4k+b,解得： 0=8k+b b=10 5 故直线4C的表达式为：y=-4x+10, 4 令x=0,则y=10,故点E(0,10), 设直线EC向右平移m个单位， 则平移后直线的表达式为：y=x-m)+10,则点Em,10, 点E在反比例函数上， ∴.将点E'坐标代入反比例函数表达式得：10m=20, 解得：m=2, 则平移后直线的表达式为：y=寻x-2)+10=+ 4x+ 2 令y=0,则x=10,故点F(10,0): 5255 当x=8时，y=4x+22故点B在直线EF上： 5 (3)解：设点M的坐标为，)而点A、BF的坐标分别为：(4,5)（⑧ F10,0) ①当AB是边时，点A向右平移4个单位向下平移2.5个单位得到B, 同样点M(F)向右平移4个单位向下平移2.5个单位得到F(M), 10+4=s10-4=s 0-或0+-1，解得：=4，或6 2 t=-2.5t=2.5 12118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故点M的坐标为： 4： ②当AB是对角线时， 34+8-00+ s=2 由中点公式得： ，解得： 15 t=2 故点M 的坐标为 综上，点M的坐标为： 4到经)成5 15 【详解】(1)如图，边长为2的正方形，以点A为对称中心， 纤 4 3 -2回口2345 -2 (-1,-102,-1) (（后四个点中，只有点2-)不在正方形的边上. 故选：C (2)①如下图当反比例函数过点(2,4)时，符合题设条件， 4 2 1 -2-1012345x -1 -2 则k=2×4=8, 故答案为：8： 13118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图，设符合条件的两个点为点M会4)、N2空， 则w---可. 解得：k=4,k=12(不合题意舍去)； ③1绕原点顺时针旋转90°后的直线记为1，则'：y=-x+m,如下图， VA 3 2-10 12八35 2 当两个函数的虚线和实线之间时，符合题设条件，即2≤m≤4， 题型四：一次函数与反比例函数的实际应用 16. 【详解】1)解：当4<r≤a时，设y与之间的函数关系式为y=冬 x 将点(4,100代入y=,得k=4x100=400。 400 ∴y与x之间的函数关系式为y= x 400 当y=20时，y= =20」 x=20=a, 小y与x之间的函数关系式为y=400( (4<x≤20) (2)解：当0≤x≤4时，设一次函数的表达式为y=mx+20, 将点(4,100)代入一次函数的表达式，得100=4m+20, 解得：m=20, .一次函数的表达式为y=20x+20。 令y=20x+20=40,则x=1; 14118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在降温过程中，当水温为40℃时，有40=400 ,则x=10 10-1=9. ∴.加热一次，水温不低于40℃的时间为9min 17. 【详解】(1)解：设反比例函数的表达式为y-《 x 将C(20,45)代入得：k=20×45=900, :ys900 当x=45时，y=20 .D(45,20) .A(0,20) 设AB的表达式为y=mr-n, 将A(0,20),B(10,45)代入， n=20 m=2.5 得： 10m+n=45, 解得1n=20' ∴.y=2.5x+20 (②)当y=36时，36=900 ,解得x=25 36=2.5x+20,解得：x=6.4, .25-6.4=18.6. 故答案为：18.6 18. 【详解】(（1)解：设正比例函数表达式为y=:,反比例函数表达式为y=”, 将点(49到代入=贸得：8是 解得：m=192 ·反比例函数的表达式为y=192 192 把y=12代入y= 中得：12=192 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=16 .A(16,12) 反比例函数的表达式为y=192( (x≥16)， 将点A16,12)代入y=得：12=16k, 解得：=3 4 ∴正比例函数的表达式为y= x0≤x<16) 3 192 (2)解：将y=4代入y= 中得：4=192 解得：x=48 ∴.至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)解：有效， 3 理由：把将y=6代入y=4x中得：6 4x, 解得：x=8, 把y=6代入=受得：6-12 192 x 解得：x=32, .32-8=24>20 .此次消毒有效. 19. 【详解】(1)解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3. (2)解：当10≤x≤30时， 10k+b=3 设直线BC的函数关系式为y=:+b结合(10,3)和(30,6)：利用根据题意，得30k+b=6, 、3 20 解得 3, 2 3 所以y=20 x+- 2 16118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意， 得反比例函数经过点(30,6)， 当x≥30时， 设反比例函数的解析式为y=m x 故6品 解得m=180, 故y=180 x 33 (3)解：根据解析式为y= 0t 2,少180 250 当 时，x= 33: y=4 20 180 当y=4时，x= =45」 4 5085、84 持续时长为45- 333· 故本次消毒有效。 20. 【详解】(1)解：由图象可知，第3分钟处于AB段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为y=a, 将点(10,3)代入得：10k=3, 解得：k=0.3, .渐消毒阶段的函数解析式为y=0.3x, 当x=3时，y=0.3×3=0.9 即第3分钟时消毒效果为0.9效力， 故答案为：0.9 (2)解：设深消毒阶段的函数解析式为y=kx+b, 10k+b=3 将点(10,3)和(30,6)代入得： 30k+b=6 k=0.15 解得： b=1.5 17118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴深消毒阶段的函数解析式为y=0.15x+1.5: k2 设降消毒阶段的函数解析式为y= 将点(60,6)代入得：0=6， 解得：飞2=180 :降消毒阶段的函数解析式为y=180 (3)解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则0.15x+1.5=4, 解得：x=16 ； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则4=180 x 解得：x=45, 45-162=285>28 3 3 即本次消毒有效. 18/18 专题02 反比例函数与一次函数有关的四种模型 题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型二 一次函数与反比例函数的交点问题 题型三 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型四 一次函数与反比例函数的实际应用 题型一：一次函数与反比例函数图象综合判断 1．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 2．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 3．已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A选项：一次函数的图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； B选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项符合题意； C选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项不符合题意； D选项：一次函数的图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限， 只有D选项满足题意． 5．在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键． 由于本题不确定k的符号，可以根据一次函数经过的象限判断出k的符号，然后确定反比例函数经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案． 【详解】解：A、一次函数经过一、三、四象限，则，则反比例函数经过一、三象限，故此选项错误，不符合题意； B、一次函数不可能过一、二、三象限，图象不正确，反比例函数图象过一、三象限，则，故此选项错误，不符合题意； C、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项错误，不符合题意； D、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项符合题意； 故选D． 题型二：一次函数与反比例函数的交点问题 6．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交点和，直线与轴，轴分别交于点、点． ​ (1)求反比例函数； (2)求的面积； (3)结合函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先将点 坐标代入一次函数解析式，求得，再将代入反比例函数解析式，求出 ， （2）先求得点，根据，即可求解； （3）根据反比例函数以及一次函数图象即可解决问题． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ， ． 点在反比例函数的图象上， ，解得：， 反比例函数解析式为． （2）令中，则， ， ． （3）点在一次函数的图象上， ，解得：， ． 观察函数图象发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． ​ 7．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2) (3)4 【分析】（1）先将代入求出的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 8．如图，已知一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D，且．一次函数与反比例函数的图象交于两点，其中点B的横坐标为3． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E，连接，求的面积； (3)观察函数图象，请直接写出的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，求得点的坐标，即可求得的面积； （3）结合图象即可求得的解集． 【详解】（1）解：， ， 把代入， 得， 解得， 所以一次函数解析式为； 当时，， ， 把代入，可得， 所以反比例函数解析式为； （2）解：列方程， 解得，， ， 直线向上平移2个单位长度后，解析式为， 令，解得， ， ， ； （3）解：整理，可得， 观察函数图象，则的解集为或． 9．如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3)或 【分析】（1）先将代入反比例解析式求解，然后求出点C坐标，再将点B，C坐标代入求解； （2）作轴交于点E，求出点D坐标及所在直线解析式，从而可得长度，再根据求解； （3）直接根据函数图象求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵A，B在反比例函数图象上， ∴点A，B关于原点成中心对称， ∴点B坐标为， 把代入得， ∴点C坐标为， 将，代入得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴交于点E， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴点D坐标为， 把代入得， ∴点E坐标为，， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当时，或． 10．数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】(1) (2)1； (3)如图， (4)①减小；②或 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 题型三：一次函数与反比例函数的其他综合应用 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象交于点．若的面积为36，求平移后的直线表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）利用求出点的坐标为，将点代入反比例函数中求出即可； （2）连接、，设平移后的解析式为，根据平移的性质得到，列得，求出b即可得到函数解析式． 【详解】（1）解：点在直线上，且点的纵坐标是2， ，解得， 即点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，如图． 联立， 解得或， ． 设平移后的直线表达式为． 该直线平行于直线， ， ， ， ， 平移后的直线表达式为． 12．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． ∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 解方程组得， 经检验均是方程组的解， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)点坐标为，或 (3)，或， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． （1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案； （3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）把代入，得， ， 代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得：， 解得：，， ； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 则，， 当时，如图1，则， ，，， ， ，即， 解得：（舍去），， ，； 当时，如图2，则， ，，， ， ，即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点坐标为，或； （3）存在点使得，点坐标为，或，． ， 设直线的解析式为， 联立，得， 整理得：， 则，， 又，，则， ， ，， ， ， 、均在第一象限， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ，或，． 14．如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求k的值与B点的坐标； (2)将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 【答案】(1)， (2)点B在直线上，理由见解析 (3)点M的坐标为：或或 【分析】本题主要考查的是反比例函数综合运用、一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将A点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标； （2）确定平移后直线的表达式即可求解； （3）分为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得：， ． 综上所述，的值是，点的坐标是； （2）解：设直线A、的表达式为 则，解得：， 故直线的表达式为：， 令，则，故点， 设直线向右平移个单位， 则平移后直线的表达式为：，则点， 点在反比例函数上， 将点坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则平移后直线的表达式为：， 令，则，故点； 当时，，故点在直线上； （3）解：设点的坐标为，而点A、、的坐标分别为：、、； 当是边时，点A向右平移4个单位向下平移个单位得到， 同样点向右平移4个单位向下平移个单位得到， 故或，解得：或， 故点的坐标为：或； 当是对角线时， 由中点公式得：，解得：， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 15．定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)C (2)①8；②；③ 【分析】本题考查的是一次函数和反比例综合运用，涉及到一次函数的旋转、新定义等，数形结合是解题的关键． （1）作图，有图观察判断，四个点中，是否在正方形的边上，即可求解； （2）①根据乘积为8，有图象可知反比例函数过点时，符合题设条件，即可求解；②设符合条件的两个点为点、，则即可求解；③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图，在y轴上，，，，为顶点的正方形，据图得出结论：． 【详解】（1）如图，边长为2的正方形，以点A为对称中心， 在、、、四个点中，只有点不在正方形的边上， 故选：C． （2）①如下图当反比例函数过点时，符合题设条件， 则， 故答案为：8； ②如图，设符合条件的两个点为点、， 则， 解得：，（不合题意舍去）； ③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图， 当两个函数的虚线和实线之间时，符合题设条件，即． 题型四：一次函数与反比例函数的实际应用 16．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 17．实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求点C，D所在反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36，那么她最多可以讲______分钟． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设反比例函数的表达式为，将点C代入确定反比例函数解析式，然后即可确定，设的表达式为，利用待定系数法代入求解即可； （2）求出当时，两个函数的值，然后即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将代入得：， ∴． 当时，， ∴． ∴． 设的表达式为， 将，代入， 得：，解得， ∴ （2）当时，，解得， ，解得：， ∴， 故答案为：． 18．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 19．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 20．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $