专题1.2 公式法（8大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦平方差公式（a²-b²=(a+b)(a-b)）和完全平方公式（a²±2ab+b²=(a±b)²）的因式分解，通过“知识点解析-即学即练-题型分类”的学习支架，从公式直接应用到综合提公因式与公式法，再到求值及实际问题解决，构建完整知识脉络。 资料以中考真题和各地期末题为典例，设计“判断公式适用性-直接分解-综合应用”分层题型，培养学生运算能力与推理意识。实际应用如“美丽数”“密码编译”等情境，引导学生用数学眼光观察现实，提升抽象能力与创新意识。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.2 公式法 教学目标 1.会用运用平方差公式、完全平方公式因式分解； 2.利用公式法因式分解求值 。 教学重难点 1.重点：运用平方差公式、完全平方公式因式分解。 2.难点：运用平方差公式、完全平方公式因式分解的应用。 知识点01 运用平方差公式因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 【即学即练】1．分解因式：___________． 【答案】/ 【详解】解：． 2．若，，则______． 【答案】 【分析】利用平方差公式将因式分解，再代入已知的和的值计算，即可得到最终结果． 【详解】解：根据平方差公式，可得： ， 将，代入上式，得： ， ∴ ． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题多项式各项存在公因式，解题思路为提取公因式完成因式分解． （2）先套用平方差公式分解，再对所得多项式利用完全平方公式继续分解至不能再分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点02 运用完全平方公式因式分解 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 【即学即练】4．下列式子中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，符合平方差形式，正确分解为，不等于，故A错误； 对于选项B，提公因式不完整，正确分解应为，故B错误； 对于选项C，因式分解要求最终结果为几个整式的乘积，该式结果仍为和的形式，不符合要求，故C错误； 对于选项D，由完全平方公式可得，因式分解正确，故D正确． 5．因式分解__________． 【答案】 【详解】解：． 6．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先观察到，将式子变形为含公因式的形式，再提取公因式即可； （）首先提取各项的公因式，再用完全平方公式完成因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型01 判断是否用平方差公式因式分解 【典例1】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 【变式3】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 题型02 运用平方差公式因式分解 【典例1】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）下列多项式中，因式分解结果是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题只需将给定的因式分解结果展开，计算得到原多项式，即可匹配得到正确选项． 【详解】解：∵， 分解结果为的多项式是． 【变式1】（25-26八年级下·江西九江·期末）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，代入已知的值，即可求出的值． 【详解】解：根据平方差公式可得 ． 将，代入得：． 系数化为得：． 【变式3】（2025·江苏常州·中考真题）分解因式：________． 【答案】 【详解】解： ． 题型03 判断是否用完全平方公式因式分解 【典例3】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 【变式1】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列各式能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式的结构为，逐一判断选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A．中，中间项不满足，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解； B．中，常数项为负数，无法写成某个整式的平方，不符合结构，不能分解； C．是平方差形式，只能分解为，不符合完全平方公式结构； D．，符合完全平方公式结构，可以因式分解． 【变式2】（18-19八年级上·全国·单元测试）将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（   ） A．2x B． C． D．4x 【答案】A 【分析】分①是平方项，②是乘积二倍项，③是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答． 【详解】解：A、，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； B、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； C、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； D、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意． 【变式3】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 题型04 运用完全平方公式因式分解 【典例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）下列各式中，从左到右因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，再结合完全平方公式、平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、等式右边是和的形式，不是乘积形式，因此不是因式分解，本选项不合题意； B、，故本选项因式分解错误，不合题意； C、，本选项是因式分解，且因式分解正确，故本选项符合题意； D、等式从左到右是整式乘法，将乘积化为和的形式，不是因式分解，故本选项不合题意． 【变式1】（2026·江苏苏州·二模）分解因式：______． 【答案】 【分析】完全平方公式：． 【详解】解：． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·期末）分解因式：_____． 【答案】/ 【详解】解： ． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 【答案】 【详解】解： 根据题意得， ∴ ∴． 题型05 综合运用公式法因式分解 【典例1】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，原式漏项，故此选项错误； D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）下列因式分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是平方和，无法因式分解，且， ∴A错误； ∵，原选项没有分解彻底， ∴B错误； ∵， ∴C错误； ∵，分解正确， ∴D正确． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型06 综合提公因式和公式法因式分解 【典例1】45．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再对括号内的二次三项式运用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）把下列各式因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）把下列各式因式分解： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型07 运算因式分解求多项式的值 【典例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）若，则的值为（     ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】根据已知条件得到的值，把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【变式1】（24-25八年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·河北邢台·期末）已知，，则的值等于______． 【答案】 【分析】把所求式子因式分解为，再利用整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式________． 【答案】 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知，代入计算即可． 【详解】解： 将，代入得，原式 ． 题型08 因式分解的应用 【典例1】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，长宽分别为，的长方形周长为16，面积为12，则的值为（     ） A．96 B．120 C．160 D．192 【答案】A 【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可． 【详解】解：长、宽分别为、的长方形周长为，面积为， ，， ． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（     ） A．36 B．40 C．44 D．48 【答案】B 【分析】根据“美丽数”定义，设两个偶数表示出平方差，因式分解推导美丽数的性质，再结合性质判断各选项即可． 【详解】解：设两个偶数分别为,（，为整数，）， 根据定义，美丽数， 即， ，和为偶数， 与同奇偶， 对选项逐一判断： A选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此36是美丽数． B选项：，，10的所有正因数分解为、，两组因数均为一奇一偶，不符合同奇偶要求，不存在整数解，因此40不是美丽数． C选项：，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此44是美丽数． D选项：，取，，均为偶数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此48是美丽数． 【变式2】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若是多项式的一个因式，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据因式的定义，若是多项式的因式，则当时，多项式的值为，将代入多项式，整理即可得到的值． 【详解】解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，． 将代入得：． 整理得：． 等式两边同时除以得：． 即． 【变式3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一位密码编译者，设置以下规则：，，，，，分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是___________（只需写出一种）． 【答案】我爱数学 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 【详解】解：∵ ， ， ∵对应密码字：我， 爱，学，数， ∴密码信息为“我爱数学”． 一、单选题 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）下列式子能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能用平方差公式因式分解的多项式需满足可写成两个平方项的差的形式，即的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，因此A错误； B、，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，因此B错误； C、符合两个平方项差的形式，可分解为，能用平方差公式因式分解，因此C正确； D、，本质为两个平方项和的相反数，不符合要求，因此D错误． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合得到和的值，即可计算出的结果． 【详解】解： 又∵，且， ∴ ，， ∴ ． 3．（25-26七年级下·北京平谷·期末）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，，该项错误； 对选项B，对提取公因式，得，左右两边相等，该项正确； 对选项C，，该项错误； 对选项D，，无法分解，该项错误． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12、17、13为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（     ） A．113113 B．111331 C．113553 D．115335 【答案】B 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入、的值计算各因式得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码． 【详解】解：， 当取，时，，， 那么11、31、13为因式码，按从小到大顺序排列后连接得到密码111331． 5．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 二、填空题 6．（25-26八年级下·河北保定·期末）因式分解：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 8．（2026·云南·二模）分解因式：________． 【答案】/ 【详解】解：． 9．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知的值求出，再对提取公因式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】先将代数式中的利用平方差公式展开，再将已知条件整体代入，逐步化简即可求出结果. 【详解】解：∵， ∴ . 三、解答题 11．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）已知 ，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)48 【详解】（1）解：， 把 ，代入， 可得原式； （2）解：， 把 ，代入， 可得原式． 13．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）将下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．（2026·河北邯郸·二模）已知整式，，，，如下表所示． 整式 整式 整式 整式 (1)将整式进行因式分解； (2)若，求整式的值； (3)当，时，用科学记数法表示的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：， 将，代入得∶ ． 15．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数．利用平方结果的非负性可以确定一个代数式值的范围． 例如：∵， ∴． ∴当时，有最小值为2． 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思想”． 例如：因式分解：． 解：∵， ∴将看成整体，令． 则原式． 将还原，则原式． 【数学理解】 (1)因式分解：； 【拓展探索】 (2)试说明：无论，取何值，代数式的值一定是正数． 【答案】(1) (2)证明：设， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的值一定是正数． 【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）设，利用完全平方公式原式可变形为，根据平方的非负数的性质即可证明代数式的值一定是正数． 【详解】（1）解： ． （2）解：略 一、单选题 1．（25-26七年级下·浙江金华·期末）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义和因式分解的运算，因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据因式分解定义要求逐一判断选项即可． 【详解】对选项A： 的公因式为，提取公因式后得，分解正确； 对选项B： ，且无法因式分解，所以 选项B错误，不符合题意； 对选项C：因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式，是和的形式，不符合因式分解的定义，所以选项C错误，不符合题意； 对选项D：因式分解需要分解到不能再分解为止，原式分解后还可分解为，即，本题分解不彻底，所以选项 D错误，不符合题意． 2．（25-26八年级下·江西九江·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴． 3．（25-26八年级下·江西吉安·期末）小丁喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列四个字：安，美，好，吉，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．好美 B．美好 C．吉安美 D．吉安好 【答案】C 【分析】先利用提取公因式法和平方差公式对原式因式分解，再结合已知的式子与汉字的对应关系，得到结果对应的密码信息． 【详解】解：∵ ， 由已知对应关系，对应美，对应吉，对应安， ∴ 三个因式对应的汉字为美、吉、安， 结果呈现的密码信息是吉安美． 4．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图所示，是一张边长为的正方形纸板，将它的四个角各剪去边长为的小正方形，然后将四周凸出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用表示这个无盖的长方体纸盒的底面积与侧面积的差，则可因式分解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据图形表示出长方体纸盒的底面边长和高，进而表示出底面积和侧面积，最后作差并提取公因式分解因式即可． 【详解】解：由题意可知，折叠成的无盖长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高为y， ∴底面积为，侧面积为， ∴． 5．（25-26六年级下·山东济南·期末）利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形，分析对应的边长，即可求解． 【详解】①：由图③可知，，故①是正确的，符合题意； ②：因为，由图③可知，，所以，故②是正确的，符合题意； ③：由题意可知图③是由个长为，宽为的小矩形和个边长为的小正方形构成的个边长为的大正方形，所以，即， 故③是正确的，符合题意； ④：∵由③得，即， 若成立， 那么，即， ∴， ∵与矛盾， ∴④是错误的，不符合题意； ∴符合题意的共有个． 二、填空题 6．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 8．（2026·山东济宁·二模）有下列代数式：①；②；③；④．其中，含有因式的是________ （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】对每个代数式进行因式分解，判断分解结果中是否含有因式即可得到答案． 【详解】解：① ，结果含有因式，符合要求； ② ，结果含有因式，符合要求； ③ ，结果含有因式，符合要求； ④ ， 无法分解因式，结果不含有因式，不符合要求． ∴①②③符合题意． 9．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式将因式分解，再将代入求值即可． 【详解】解：． 10．（25-26八年级下·全国·期末）张明和李放剪出如图1所示的4个图，然后又拼成了如图2所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：___________． 【答案】 【详解】解：图1四个图形的总面积为， 图2大长方形的面积为， ， ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】把式子因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 12．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）将下列各式因式分解： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先找两项的公因式，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，因为两项都含公因式，所以提取公因式即可完成分解． （2）先将变形为，因为两项出现相同公因式，所以提取公因式后化简． （3）观察式子符合平方差公式的形式，所以把和分别看作整体，套用平方差公式展开后合并同类项． （4）先将写成，式子符合平方差公式结构，所以先套用平方差公式分解，再对分解后的两个式子分别判断是否符合完全平方公式，继续分解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 14．（25-26八年级下·河南开封·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ____________； (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）根据阅读材料中的方法类比求解即可； （2）根据阅读材料中的方法类比求解，将因式分解为，最后由平方非负性即可得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． （2）略． 15．（25-26八年级下·山西运城·期末）配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 【答案】(1)2； (2)； (3)的最大值为18． 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，则，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值； （2）解：， ， ， ，， ，， ； （3）解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2 公式法 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01运用平方差公式因式分解 2.知识清单 知识点02运用完全平方公式因式分解 题型01判断是否用平方差公式因式分解 题型02运用平方差公式因式分解 题型03判断是否用完全平方公式因式分解 公式法 题型04运用完全平方公式因式分解 3.题型精讲 题型05综合运用公式法因式分解 题型06综合提公因式法和公式法因式分解 题型07运用因式分解求多项式的值 题型08因式分解的应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.会用运用平方差公式、完全平方公式因式分解： 教学目标 2.利用公式法因式分解求值。 1.重点：运用平方差公式、完全平方公式因式分解。 教学重难点 2.难点：运用平方差公式、完全平方公式因式分解的应用。 知识清单 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01运用平方差公式因式分解 运用公式法：d-b2=(atb)(a-b): 【即学即练】1.分解因式：a2-9= 2 2.若a+b=3a-b=5,则a2-B+2026= 3.因式分解： (1)3x2-6xy: (2(x2+1-4x2. 知识点02运用完全平方公式因式分解 运用公式法：+2ab+b2=(ctb)2；-2ab+b2=(a-b。 【即学即练】4.下列式子中，因式分解正确的是() A.a2-9=(a-32 B.-xy+2xy=-y(xy-2x) C.2x2-8x+8=2x(x-4)+8 D.x2-2y+y2=(x-y)月 5.因式分解x2y-2xy+y 6.因式分解 (1)a(x-y)-b(y-x) (2)9ax2-6ax+a 题型精讲 题型01判断是否用平方差公式因式分解 【典例1】(25-26七年级下：河北石家庄·期中)下列不能用平方差公式分解因式的是() 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-x2-y2 B.x2-y2 C.-x2+y2 D.4m2-25n2 【变式1】(25-26八年级上福建泉州期末)下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是() A.a2+9 B.-a2+9 C.-a2-9 D.a2-6a+9 【变式2】(2425八年级下·四川成都期末)下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是() A.a2-b2 B.-a2-b3 C.-a2+b2 D.9a2-4b2 【变式3】(25-26八年级上山东济宁阶段检测)多项式①a2-2a-1;②-x2-y:③-x2+y2;④ 4-a+1,⑤。2-4b+46中能用公式法分解因式的有 (填序号)· 题型02运用平方差公式因式分解 【典例1】(25-26八年级下重庆南岸期末)下列多项式中，因式分解结果是(x+2(x-2)的是() A.x2-2 B.x2+2 C.x2-4 D.x2+4 【变式1】(25-26八年级下江西九江期末)因式分解：m2-36= 【变式2】(25-26七年级下江苏扬州期末)已知a-b=15,a+b=3,则a-b的值为 【变式3】(2025江苏常州中考真题)分解因式：x2-9y2= 题型03判断是否用完全平方公式因式分解 【典例3】(25-26八年级下·江苏南通阶段检测)下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是() A.x2+2xy-y2B.x2-9 C.x2+x+1 D.x2-4x+4 【变式1】(25-26七年级下·安徽滁州期末)下列各式能用完全平方公式因式分解的是() A.x2+x+1 B.x2+2x-1 C.x2-1 D.4x2-4x+1 【变式2】(18-19八年级上·全国单元测试)将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成(a+b)的形 式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是() A 2x B.-4x C.4x4 D.4x 1 【变式3】(2425八年级上山东秦安期末)在多项式x2+少，-y2+x2,--y,+x+ 4 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -x2+2x-1,4x2+1-4x中，能用公式法分解因式的有一个. 题型04运用完全平方公式因式分解 【典例1】(25-26八年级下·四川成都期末)下列各式中，从左到右因式分解正确的是() A.a2-5a-1=a(a-5)+1 B.9x2-1=(9x+1)(9x-1) C.a2-4a+4=(a-2) D.a(x+y)=ax+ay 【变式1】(2026江苏苏州二模)分解因式：x2+9-6x= 【变式2】(25-26八年级下江苏常州期末)分解因式：x2+6y+9y2= 【变式3】(25-26八年级下山东青岛期末)已知关于x的多项式x2-x+x+16因式分解的结果为 (x-4),则k的值为 题型05综合运用公式法因式分解 【典例1】(2425八年级下·河南驻马店期末)下列因式分解正确的是() A+= B.x-2x2+1=(x2-1月 C.xy2-3x2y+xy=xy(y-3x) D.（x-3)(x+4)=x2+x-12 【变式1】(25-26八年级下·河南商丘·阶段检测)下列因式分解正确的是() A.m2+n2=(m+n)(m-n) B.x3-x=x(x2-1) C.a2-2a+1=(a+1)2 D.y2-4=(y+2)y-2) 【变式2】(25-26八年级上辽宁营口阶段检测)分解因式：m-2mn+n= 【变式3】(25-26七年级上·上海课后作业)把(a2+1-4a2因式分解的结果是 题型06综合提公因式和公式法因式分解 【典例1】45.(25-26七年级下安徽安庆期末)分解因式：3a3-3a= 【变式1】(25-26八年级下陕西西安·期末)分解因式：3ax2-6ax+3a= 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级下·山东济南期末)把下列各式因式分解 (1)25a2-80a+64 (2②(x2+4)}-16x2 【变式3】(25-26八年级下陕西宝鸡期末)把下列各式因式分解： (1)3a2-6ay+3a (2)3x3-12x2y+12y2: 题型07运算因式分解求多项式的值 【典例1】(25-26七年级下四川成都期末)若a=3-b,则3a2+6ab+3b2的值为() A.12 B.18 C.24 D.27 【变式1】(2425八年级下陕西安康期中)己知m2=5n+6,n2=-5m+6,m+n≠0，则m-2mn+m的 值为() A.36 B.25 c.5 D.无法确定 【变式2】(25-26七年级下河北邢台期末)已知x-y=-1,y=3,则xy-2xy2+y的值等于 【变式3】(25-26八年级下四川成都期中)已知ab=2,a-b=4,则代数式ab-2a2b2+ab3= 题型08 因式分解的应用 【典例1】(25-26八年级下山东济南期末)如图，长宽分别为a,b的长方形周长为16，面积为12，则 a2b+ab2的值为() A.96 B.120 C.160 D.192 【变式1】(25-26八年级下山东青岛期末)我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么 我们称这个正整数为“美丽数”，如4=2-0，所以4就是一个“美丽数”.下列数字中，不是“美丽 数”的是() 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.36 B.40 C.44 D.48 【变式2】(25-26八年级下·安徽安庆期末)若x-2是多项式ax2+bx+2的一个因式，则2a+b的值为 【变式3】(25-26七年级下浙江杭州期末)一位密码编译者，设置以下规则：a-1,x-y,2,a2+1， x,a+1分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学.现将2x(口-l-2y(a-l)因式分解，结果呈现 的密码信息可能是 (只需写出一种)· 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下浙江杭州期末)下列式子能用平方差公式因式分解的是() A.x2+y2 B.x2+(-y)月 C.x2-y2 D.-x2-y2 2.(2026江苏苏州中考真题)若(x+4)-1=(x+m)(x+n),其中m>n,则m-n的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26七年级下北京平谷期末)下列因式分解正确的是() A.x2+2x-1=(x-1)2 B.ma+mb+m=m(a+b+1) C.x2-2=(x+1)(x-1) D.x2+4=(x+2} 4.(25-26七年级下·安徽合肥期末)人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项 式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码.例如： 多项式x2y-4y,将其分解因式为y(x+2)(x-2).若取x=15,y=12,则y=12,x+2=17,x-2=13, 那么12、17、13为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外 一些适当的数字，得出新的密码.己知多项式4n-9mn,当取m=3,n=11时，按上述方法生成的密码 是() A.113113 B.111331 C.113553 D.115335 5.(25-26八年级下江苏镇江期末)如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式分解() 3 A,x2+4x+3=(x+3)(x+1) B.x2-4x+3=(x-3)(x-1) C.(x+3)(x+1)=x2+4x+3 D.(x-3)(x-1)=x2-4x+3 二、填空题 6.(25-26八年级下河北保定期末)因式分解：x2-y= 7.(25-26七年级下四川成都期未)计算：1232-232=一 8.(2026云南二模)分解因式：3x2-6x+3= 9.(25-26八年级下四川成都期末)已知m+n=5,m2-n2=10,则4m-4n的值为 10.(25-26七年级下四川成都期中)已知a+b=2,则a2-b2+4b+2026的值为」 三、解答题 11.(25-26八年级下·江苏镇江期末)因式分解： (1)3x2-6x+3: (2)a2(x-y)+16(y-x)」 12.(25-26八年级下辽宁丹东期中)己知a+b=4,ab=3,求： (1)a2b+ab2: (2)ab+2a2b2+ab3 13.(25-26七年级下·山东潍坊阶段检测)将下列各式分解因式： (1)-6a3b2+46a2b-2ab: (②)a2(x-y)-9b2(x-y): (3)02-6)2+6(6-y2)+9: (4a2b2-a2-b2+1. 14.(2026河北邯郸二模)已知整式A,B,C,D,如下表所示. 整式A 整式B 整式C 整式D 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ x2+2y+y2 x+y x-y B.C (1)将整式A进行因式分解： (2)若AB=8,求整式B的值： (3)当x=5×10°，y=3×10时，用科学记数法表示D的值. 15.(25-26八年级下·安徽宿州期末)【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数.利用平方结果的非负性可以确定一个代数 式值的范围. 例如：(x-1)≥0， .(x-1)2+2≥2」 ∴当x=1时，(x-1)+2有最小值为2. 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思 想”. 例如：因式分解：x2+4xy+4y2-16 解：x2+4gy+4y2=(x+2y)2, ,将x+2y看成整体，令x+2y=M 则原式=M2-16=(M+4)(M-4)】 将M还原，则原式=(x+2y+4)(x+2y-4)」 【数学理解】 (1)因式分解：(a2+-4a2: 【拓展探索】 (②)试说明：无论a,b取何值，代数式(ab+a)(a2b+a-2)+2的值一定是正数. 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下·浙江金华·期末)下列因式分解正确的是() A.x'y+xy2=xy(x+y) B.x2+y2=(x+y)月 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.x2-3x+3=x(x-3)+3 D.3x2-3=3(x2-1 2.(25-26八年级下江西九江期末)已知a-b=3,ab=2,则ab2-a2b=() A.-6 B.6 C.5 D.-5 3.(25-26八年级下江西吉安期末)小丁喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：x一y, a-b,x2-y2,x+y,分别对应下列四个字：安，美，好，吉，现将(x-y)b(x-y)因式分解，结 果呈现的密码信息可能是() A.好美 B.美好 C.吉安美 D.吉安好 4.(25-26八年级下·重庆南岸·期末)如图所示，是一张边长为x的正方形纸板，将它的四个角各剪去边 长为'的小正方形，然后将四周凸出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用A表示这个无盖的长方体 纸盒的底面积与侧面积的差，则A可因式分解为() y A.(x-2y)(x-6y) B.(x-2y)(x-4y) C.(x-y)(x-5y) D.(x-y)(x-4y) 5.(25-26六年级下·山东济南期末)利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式. 比如图②可以解释为：(a+b)(a+2b)=a2+3b+2b2.如图③，大正方形的边长为m,小正方形的边长为 n,若用太y表示四个矩形的两边长(x>),观察图案，指出以下关系式：①x+y=m;②x2-y2=mm: ③0=m2-n2 4 ,④x2+2=m2-n2 2 ,其中正确的有()个. a b 图① 图② 图③ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26七年级下安徽安庆期末)因式分解：a3-4a=】 7.(25-26八年级下四川成都期末)因式分解：(a2+3a)'-9(a2+3a)+20= 8.(2026山东济宁·二模)有下列代数式：①10am-15a;②4xm2-9x;③4am2-12am+9a;④-4m2-9 其中，含有因式2m-3的是 (填序号). 9.(25-26八年级下·江西吉安·阶段检测)已知a+3b=1,则代数式a2-9b2+6b+2026的值为」 10.(25-26八年级下·全国·期末)张明和李放剪出如图1所示的4个图，然后又拼成了如图2所示的大长 方形，请你写出一个多项式的因式分解： 图1 图2 三、解答题 11.(25-26七年级下山东济南期末)已知a+b=-4,ab=-2,求ab-2a2b+ab°的值. 12.(25-26八年级下山东枣庄阶段检测)分解因式： (①)a2(x-y）-9b2(x-y): (②(y2-0+61-y2）+9 13.(25-26七年级下山东菏泽·期末)将下列各式因式分解： (1)6a2m-3am (②)x(-y)+y(0y-x): 3)(2a-b)}-(a+b2 ④(2+y2-4x2y2. 14.(25-26八年级下·河南开封·期末)先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x+y+2(x+y)+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则： 原式=+2A+1=(A+1.再将“A”还原，得原式=(c+y+1. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()因式分解： (x2+2x+3)(x2+2x-)+4= (②证明：无论a,b取何值时，(a2b2-4a)(ab2-4a-2)+1的值一定是非负数. 15.(25-26八年级下·山西运城期末)配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方 法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛， 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为x(本)，总成本C(元)为：C=x2-12x+40 利用配方法求C的最小值， 解：C=x2-12x+40=x2-12x+36+4=(x-6}+4 (x-6)20 .当x=6时，总成本C最小，最小值为4元. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求a2-2a+3的最小值 (2)已知m2+2n2+6m-8n+17=0,求m+n的值： (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a,三角形面积为S,用配方法求$的 最大值. 11/11