第5章 直角三角形（4大考点+ 8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

第5章 直角三角形 教学目标 1. 掌握直角三角形两锐角互余、斜边中线等于斜边一半的性质，及HL全等判定、勾股定理与逆定理。 2. 能运用相关定理证明三角形全等、判定直角三角形，解决角度计算和实际问题。 3. 培养逻辑推理、数形结合能力，体会几何知识的特殊性与应用性。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形的核心性质（两锐角互余、斜边中线特性）与判定方法（HL定理、勾股定理逆定理）。 （2）勾股定理及逆定理的灵活运用，解决全等证明、边长计算等实际问题。 2.难点 （1）勾股定理的面积割补法证明，及逆定理的逻辑推导与适用场景辨析。 （2）复杂图形中HL定理与普通全等判定的区分，角平分线性质的迁移应用。 一、直角三角形的定义与基本性质 1. 定义 有一个角是直角（90°） 的三角形叫做直角三角形，记作“Rt△”，直角所对的边为斜边，另外两条边为直角边。 2. 核心性质 - 两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和为90°（即∠A+∠B=90°，其中∠C=90°）。 - 斜边特性：直角三角形的斜边是最长的边；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（若CD为Rt△ABC斜边AB的中线，则CD=AD=BD=½AB）。 - 面积公式：S=½×直角边₁×直角边₂=½×斜边×斜边上的高（可推导斜边上的高h=（直角边₁×直角边₂）÷斜边）。 二、直角三角形的判定 1. 直接判定 有一个角是90°的三角形是直角三角形。 2. 间接判定 - 两锐角互余的三角形是直角三角形（若∠A+∠B=90°，则△ABC为Rt△，∠C=90°）。 - 勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形，且c所对的角为直角。 - 斜边中线判定：若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形（中线所对的角为直角）。 三、直角三角形的全等判定（HL定理） 1. 专属判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”（仅适用于直角三角形，普通三角形不适用）。 2. 通用判定延伸 直角三角形是特殊三角形，普通三角形的全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）仍适用，可结合“两锐角互余”推导角相等，辅助证明全等。 四、勾股定理及其应用 1. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（a、b为直角边，c为斜边）。 2. 常见勾股数（可直接记忆，简化计算） - 基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41。 - 衍生勾股数：基础勾股数的倍数（如3k、4k、5k，k为正整数）仍为勾股数（例：6、8、10；9、12、15）。 五、直角三角形的拓展性质（选学+高频考点） 1. 直角三角形的角平分线 直角三角形的两个锐角的平分线相交，夹角为135°（结合两锐角互余推导）；直角的平分线将直角分为两个45°角。 2. 含特殊角的直角三角形（30°、45°） - 含30°角的直角三角形：30°角所对的直角边等于斜边的一半（若∠A=30°，∠C=90°，则BC=½AB），三边比为1:√3:2。 - 等腰直角三角形（含45°角）：两个锐角均为45°，两直角边相等，三边比为1:1:√2，斜边上的中线、高、角平分线重合（“三线合一”）。 题型01 利用直角三角形的性质求解 【典例1】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是， 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由直角三角形的性质可得，又平分，所以，则有，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)已知，求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）连结，由题意易得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高线， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2）证明：连结，如图所示： ∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴．（等腰三角形三线合一） 题型02 利用勾股定理求解 【典例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理与正方形面积的关系是解题的关键．根据正方形面积与边长的关系，结合勾股定理得，推导出关系，进而求出结果． 【详解】解：由正方形的面积计算可知，， 在中，， ， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用含角的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，．求的长． 【答案】20 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：在中，，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可. （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：； （3）解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 题型03 勾股定理与折叠问题 【典例3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，根据等角对等边得出，设，则，，根据勾股定理得出，再解方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质和勾股定理的应用，根据勾股定理列出正确的方程是解决本题的关键． 根据折叠的性质可得，，，设，在中，根据勾股定理求出，最后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵是由沿翻折得到的， ∴，，， ∴设， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ， ， ， 解得， ∴. 题型04 勾股定理的逆定理 【典例4】（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 【变式1】（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理．连接，根据勾股定理可得的长，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，再根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积是． 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是由翻折而来， ∴，，． 设， 在中，∵，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：45． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ； （2）解：，， ， 是直角三角形， ， 在中，， 在中，， ． 题型05 勾股定理的应用 【典例5】（25-26九年级上·山西晋城·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B处设立了一根标杆，使，并测得，．根据测量结果，求点A和点C间的距离．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．在中运用勾股定理，即可得出的长度． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 答：点A和点C间的距离为． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某医院高12米的大楼上有一块高3米的宣传牌，为美化环境，对宣传牌进行维护．一辆工程车在大楼前点处，伸长20米的云梯（云梯最长20米）刚好接触到的底部点处．问工程车向大楼方向行驶多少米时，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 【答案】工程车向大楼方向行驶米，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处． 【分析】本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在根据勾股定理求出米，在中根据勾股定理求出米，根据计算即可． 【详解】解：由题意得：（米），（米）， 在中，由勾股定理得： （米） 在中，由勾股定理得： （米） （米） 答：工程车向大楼方向行驶米，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处． 题型06 用HL证全等 【典例6】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，利用“HL”判定与全等，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或． 【详解】解：∵，且， ∴添加条件或，都能利用“”判定， 观察四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点D在上，于点E，交于点F，，，若，则 度． 【答案】50 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 【变式2】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，于点为上一点，连接交于点．若． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查两个直角三角形全等的判定与性质，熟记两个直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理直接求证即可得到答案； （2）由（1）中两个直角三角形全等，得到，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. (1)求证：≌； (2)若，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用HL证明，即可； （2）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， . 题型07 全等的性质和HL综合 【典例7】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．过点作于点，先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等． 【答案】0，4，12，16 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段上，时，；当E在上，时，；当E在线段上，时，；当E在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ①当E在线段上，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时， ∵， ∴， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E经过0秒，或4秒，12秒，16秒时，与全等． 故答案为：0，4，12，16． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，垂足分别为D，C，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，连接，证明，即可得证． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 题型08 角平分线 【典例8】（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，平分交于D，于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、与三角形的高的计算，过点作于，先利用三角形的面积公式计算得出，再由角平分线的性质定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于D，于E， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在中，，的角平分线交于点D，，，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，，的角平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 【变式2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，是△ABC的角平分线，、分别是和的高． (1)若，，，求的长． (2)证明：垂直平分． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式及垂直平分线的判定，解题的关键是利用角平分线的性质得到，并结合三角形全等证明线段关系． （1）利用角平分线的性质得，结合三角形面积公式列方程求解； （2）通过证明得到，结合判定垂直平分． 【详解】（1）解：∵分别是和的高， ∴，， 又是△ABC的角平分线， ， ， ， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∵ 在与中， ， ， ， ， 垂直平分． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，平分，于点E，，交的延长线于点F，且． (1)求证：． (2)求之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分，于点E，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）在和中， ， ∴， ∴； 由（1）知：， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，可以判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 使用勾股定理的逆定理（若两边平方和等于第三边平方，则为直角三角形）或检查是否有一个角为90度，据此逐一判断． 【详解】解：A：∵， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； B：设， ∴， ∴， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； C：设， ∵， ∴，故是直角三角形，符合题意； D：∵， ∴，故不满足勾股定理，不是直角三角形，不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出． 由勾股定理得出，可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， 又∵阴影部分的面积 ∴，阴影部分的面积为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质，掌握角平分线性质是解题的关键． 由平分，且，根据角平分线的性质，可得． 【详解】解：在中，平分，且， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠问题的性质，勾股定理，由折叠可得，，设，则，又由已知得，再在中利用勾股定理解答即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， 设，则， ，四边形为长方形，点为的中点， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， 故选：． 5．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点O是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于E，先根据题意求出，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作于E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 即D到的距离为， 故答案为：4． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键；由折叠可知：，则有，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：由折叠可知：， ∵点D为的中点，， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：，即， 故答案为． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得，可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用，表示后，结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，交于点，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，准确计算是解题的关键； 根据等腰三角形的性质和角所对直角边是斜边的一半计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴， ∴ 故答案是：2． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． (1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为8个平方单位的等腰三角形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条斜边长为的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找一个的正方形，正方形的面积为，其一半即为8，以此求解； （2）先作出斜边，再确定三角形． 【详解】（1）解：如图找一个的正方形，连结一条对角线，另两边为正方形的边，这样所构成的三角形为等腰三角形，面积即可为8个平方单位，即为所求（答案不唯一）； （2）如图，，，即为所求(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，格点图中画等腰三角形，在网格中判断直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一架梯子搭在墙上．已知梯子每两根横木之间的距离（包括一根横木的宽在内）以及梯子下端到第一根横木的距离都是，梯子下端A到墙脚B的距离是．求墙高． 【答案】墙高 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．转化为直角三角形求边长问题，理解题意并求出三角形的边长，并利用勾股定理求墙高所对应的边长即可． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， 在中，由勾股定理得：， 答：墙高． 13．（22-23八年级上·福建福州·月考）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线； （1）根据角平分线的性质得到，判定，即可证出结论； （2）证出，得到． 即可推出结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， 又∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）证明：在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，与交于，． (1)求证：； (2)当时，直接写出图中所有等于的角． 【答案】(1)见解析 (2)、、、． 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）、直角三角形的性质，熟练掌握定理证明直角三角形全等，以及利用三角形内角和求角度是解题的关键． （1）利用定理证明和全等，进而得出； （2）先由全等得对应角相等，再结合的度数，利用直角三角形的性质求出的角． 【详解】（1）证明：∵， ∴、是直角三角形， 在和中， ， ∴（） ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等于的角是：、、、． 15．（25-26八年级上·河南郑州·月考）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米， （米， 答：风筝的垂直高度为 米； （2）解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 16．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识． （1）证明，得到，即可得到点、点都在的垂直平分线上，从而得到垂直平分； （2）先求出，根据三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为，， ∴， 即， ∴． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期中）阅读理解： 在中，，，； ①我们知道，若为直角，则三边满足勾股定理，即； ②其实若为锐角，则与的关系为：，推导过程如下： 证明：如图①过作于，则， 在中： 在中： ∴ ∵，， ∴， ∴． 探究问题： (1)下列三组三角形三边，能构成锐角三角形的是 （填序号） ①3，5，7    ②30，34，16   ③11，8，9 (2)如图②若为钝角，试用上述方法推导与的关系． (3)在中，，，；若是钝角三角形，求第三边的取值范围． 【答案】(1)③ (2)；见解析 (3)当为钝角时，；当为钝角时， 【分析】本题考查了勾股定理的综合运用、三角形的三边关系的应用；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键． （1）根据题干信息进行判断即可． （2）作于D，则，由勾股定理得出，，得出，整理即可得出结论； （3）①当为钝角时，由（2）得：，即可得出结果；②当为钝角时，得：，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵①，则不能构成锐角三角形； ②∵，则三角形是直角三角形； ③∵， ∴三角形是锐角三角形； 故选：③ （2）解：，理由如下， 当为钝角，过作于D，如图所示： 则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； （3）解：当为钝角时，由（2）得：， 即， ∴； 当为钝角时，同理可得：， ∴， 即， ∴； 综上所述：第三边c的取值范围为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 直角三角形 教学目标 1. 掌握直角三角形两锐角互余、斜边中线等于斜边一半的性质，及HL全等判定、勾股定理与逆定理。 2. 能运用相关定理证明三角形全等、判定直角三角形，解决角度计算和实际问题。 3. 培养逻辑推理、数形结合能力，体会几何知识的特殊性与应用性。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形的核心性质（两锐角互余、斜边中线特性）与判定方法（HL定理、勾股定理逆定理）。 （2）勾股定理及逆定理的灵活运用，解决全等证明、边长计算等实际问题。 2.难点 （1）勾股定理的面积割补法证明，及逆定理的逻辑推导与适用场景辨析。 （2）复杂图形中HL定理与普通全等判定的区分，角平分线性质的迁移应用。 知识点 一、直角三角形的定义与基本性质 1. 定义 有一个角是直角（90°） 的三角形叫做直角三角形，记作“Rt△”，直角所对的边为斜边，另外两条边为直角边。 2. 核心性质 - 两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和为90°（即∠A+∠B=90°，其中∠C=90°）。 - 斜边特性：直角三角形的斜边是最长的边；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（若CD为Rt△ABC斜边AB的中线，则CD=AD=BD=½AB）。 - 面积公式：S=½×直角边₁×直角边₂=½×斜边×斜边上的高（可推导斜边上的高h=（直角边₁×直角边₂）÷斜边）。 二、直角三角形的判定 1. 直接判定 有一个角是90°的三角形是直角三角形。 2. 间接判定 - 两锐角互余的三角形是直角三角形（若∠A+∠B=90°，则△ABC为Rt△，∠C=90°）。 - 勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形，且c所对的角为直角。 - 斜边中线判定：若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形（中线所对的角为直角）。 三、直角三角形的全等判定（HL定理） 1. 专属判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”（仅适用于直角三角形，普通三角形不适用）。 2. 通用判定延伸 直角三角形是特殊三角形，普通三角形的全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）仍适用，可结合“两锐角互余”推导角相等，辅助证明全等。 四、勾股定理及其应用 1. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（a、b为直角边，c为斜边）。 2. 常见勾股数（可直接记忆，简化计算） - 基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41。 - 衍生勾股数：基础勾股数的倍数（如3k、4k、5k，k为正整数）仍为勾股数（例：6、8、10；9、12、15）。 五、直角三角形的拓展性质（选学+高频考点） 1. 直角三角形的角平分线 直角三角形的两个锐角的平分线相交，夹角为135°（结合两锐角互余推导）；直角的平分线将直角分为两个45°角。 2. 含特殊角的直角三角形（30°、45°） - 含30°角的直角三角形：30°角所对的直角边等于斜边的一半（若∠A=30°，∠C=90°，则BC=½AB），三边比为1:√3:2。 - 等腰直角三角形（含45°角）：两个锐角均为45°，两直角边相等，三边比为1:1:√2，斜边上的中线、高、角平分线重合（“三线合一”）。 题型01 利用直角三角形的性质求解 【典例1】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为 ． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)已知，求的度数． (2)若，求证：． 题型02 利用勾股定理求解 【典例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，，则的长为 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，．求的长． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 题型03 勾股定理与折叠问题 【典例3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 题型04 勾股定理的逆定理 【典例4】（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 题型05 勾股定理的应用 【典例5】（25-26九年级上·山西晋城·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B处设立了一根标杆，使，并测得，．根据测量结果，求点A和点C间的距离．    答：点A和点C间的距离为． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某医院高12米的大楼上有一块高3米的宣传牌，为美化环境，对宣传牌进行维护．一辆工程车在大楼前点处，伸长20米的云梯（云梯最长20米）刚好接触到的底部点处．问工程车向大楼方向行驶多少米时，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 题型06 用HL证全等 【典例6】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，利用“HL”判定与全等，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点D在上，于点E，交于点F，，，若，则 度． 【变式2】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，于点为上一点，连接交于点．若． 求证： (1)； (2)． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. (1)求证：≌； (2)若，求的度数. 题型07 全等的性质和HL综合 【典例7】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，垂足分别为D，C，且．求证：． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型08 角平分线 【典例8】（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，平分交于D，于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在中，，的角平分线交于点D，，，则的面积是 ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，是△ABC的角平分线，、分别是和的高． (1)若，，，求的长． (2)证明：垂直平分． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，平分，于点E，，交的延长线于点F，且． (1)求证：． (2)求之间的数量关系． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，可以判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为 ． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，交于点，则 ． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． (1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为8个平方单位的等腰三角形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条斜边长为的直角三角形． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一架梯子搭在墙上．已知梯子每两根横木之间的距离（包括一根横木的宽在内）以及梯子下端到第一根横木的距离都是，梯子下端A到墙脚B的距离是．求墙高． 13．（22-23八年级上·福建福州·月考）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明： (1)； (2)． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，与交于，． (1)求证：； (2)当时，直接写出图中所有等于的角． 15．（25-26八年级上·河南郑州·月考）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 16．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期中）阅读理解： 在中，，，； ①我们知道，若为直角，则三边满足勾股定理，即； ②其实若为锐角，则与的关系为：，推导过程如下： 证明：如图①过作于，则， 在中： 在中： ∴ ∵，， ∴， ∴． 探究问题： (1)下列三组三角形三边，能构成锐角三角形的是 （填序号） ①3，5，7    ②30，34，16   ③11，8，9 (2)如图②若为钝角，试用上述方法推导与的关系． (3)在中，，，；若是钝角三角形，求第三边的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $