2.1 等式性质与不等式性质（习题精练）-【会一题通一类系列】备战2024-2025学年初升高暑假衔接之新高一数学黄金讲练测（人教A版2019）

2.1 等式性质与不等式性质 一、单选题 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山西临汾·模拟预测）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24高一上·广东江门·期中）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 7．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山东淄博·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高三上·江苏南通·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏扬州·期末）下列命题为真命题的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 13．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 14．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数 ，满足 ， ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·四川成都·期末）若， 则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，，的取值范围为 . 17．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设，则 （填“>”､“<”､“”或“”）. 18．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）实数，满足，．则的取值范围是 ． 19．（23-24高一上·浙江温州·期中）设实数x，y满足，，则的取值范围为 . 20．（2023高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为 . 四、解答题 21．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 22．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 23．（2023高一·全国·专题练习）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案． 24．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为，高分别为a和b；C，D的底面积均为，高分别为a和b（其中）．现规定游戏规则：甲从这四个容器中选择两个，剩下的两个给乙，盛水多者为胜，则甲有没有必胜的方案？若有的话，有几种？请写出计算过程．（提示：） 25．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有，有几种？请加以证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 等式性质与不等式性质 一、单选题 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特值法对选项进行判断. 【详解】若，可得，则，故A正确； 若，取，可知没有意义，故B错误； 若且，取，则，故C错误； 若，取，则，故D错误. 故选：A. 2．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断. 【详解】对A、B：由，不妨设，，则，，故A、B项错误； 对于C：由，所以，故C项错误； 对于D：由，所以，故D项正确. 故选：D. 3．（2023·山西临汾·模拟预测）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，有，则，故， 所以，即，即必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作差法即可比大小. 【详解】， 故， 故选：C. 5．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质和结合举反例分别对四个选项进行判断. 【详解】对A选项，反例，但，故A错误； 对B选项，由不等式的基本性质，若，则，故B正确； 对C选项，如，，而，故C错误； 对D选项，若，，则，故D错误. 故选：B. 6．（23-24高一上·广东江门·期中）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可判断AC，举反例即可判断B，作差法比较即可判断D. 【详解】因为，且，所以，故A正确； 当时，满足，，此时，不满足，故B错误； 因为，所以，又，所以，故C正确； ，又，所以， 即，故D正确. 故选：B. 7．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 8．（23-24高一上·山东淄博·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，或是代入特殊值，即可判断选项. 【详解】A：若，此时，与题意不相符，故A错误； B：若，则，与题意不相符，故B错误； C:若，则，但是，与题意不相符，故C错误； D:若，两边平方，则，与题意相符，故D正确. 故选：D 9．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴点的位置以及不等式相关性质直接求解. 【详解】对于A，由数轴可得，，， 所以，，则，故选项A错误； 对于B，由，，，得，故选项B错误； 对于C，因为，即，又，所以， 又，所以，故选项C错误； 对于D，因为，，且由图可知，即， 所以，又，所以，故选项D正确． 故选：D 10．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将等式整理成完全平方之和等于0，即可求解. 【详解】由题可知， 则， 则，则，解得， 检验各选项可知只有B选项成立. 故选：B. 二、多选题 11．（23-24高三上·江苏南通·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例排除AC，利用作差法判断BD，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为， 所以， 即，则，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，， 则，即，则，故D正确. 故选：BD. 12．（23-24高一上·江苏扬州·期末）下列命题为真命题的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】作差即可判断ABC；根据不等式的性质即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，， 因为，，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 13．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 【答案】AD 【分析】 根据不等式的性质逐个选项推导即可. 【详解】对A，如果，，则，那么，故A正确； 对B，如果，那么，则，故B错误； 对C，若，，则，故C错误； 对D，如果，，，则，故， 则，，故D正确； 故选：AD 14．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数 ，满足 ， ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据作差比较判断AB，再平方后作差比较判断CD. 【详解】因为，而，，所以， 即，故A正确，B错误； 因为，，所以，即， 故C正确，D错误. 故选：AC 15．（23-24高一上·四川成都·期末）若， 则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD，根据特殊值法可判断BC. 【详解】对A：，故A一定不成立； 对B：令，则，故B可能成立； 对C：令，则，故C可能成立； 对D：，故D一定不成立； 故选：AD. 三、填空题 16．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，，的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质，可得答案. 【详解】由，根据不等式的倒数性质，可得； 由，根据不等式的的同向同正可乘性，可得. 故答案为：. 17．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设，则 （填“>”､“<”､“”或“”）. 【答案】 【分析】运用作差法和不等式的性质，即可得到所求大小关系. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 18．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）实数，满足，．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，求出、，再根据不等式的性质计算可得. 【详解】设，所以，解得， 即， 因为，所以， 又，所以， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 19．（23-24高一上·浙江温州·期中）设实数x，y满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得出，结合不等式的基本性质即可得解. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，，所以，， 所以，即. 因此的取值范围是. 故答案为：. 20．（2023高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用待定系数法得到，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】设， 则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以． 则的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题 21．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的基本性质即可得解； （2）利用待定系数法求得，再利用不等式的基本性质即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以，； （2）设，， 则，解得， 所以， 又，， 所以，则， 所以的取值范围是. 22．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 23．（2023高一·全国·专题练习）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案． 【答案】答案见解析 【分析】由题意得到不等式组，可求x，进而可求出满足题意的方案． 【详解】由题意得， 解得， 故， 所以有三组组建方案： 方案一：组建中型图书角18个，小型图书角12个； 方案二：组建中型图书角19个，小型图书角11个； 方案三：组建中型图书角20个，小型图书角10个． 24．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为，高分别为a和b；C，D的底面积均为，高分别为a和b（其中）．现规定游戏规则：甲从这四个容器中选择两个，剩下的两个给乙，盛水多者为胜，则甲有没有必胜的方案？若有的话，有几种？请写出计算过程．（提示：） 【答案】有一种，甲先取、是唯一必胜的方案. 【分析】分3种情况：①若甲先取、，乙只能取、；②若甲先取、，乙只能取、；③若甲先取、，乙只能取、；分别作差比较大小可得． 【详解】①若甲先取、，则乙只能取、或反之， 因为， 显然，而，的大小不定，所以正负不确定， 所以这种取法没有必胜的把握； ②若甲先取、，乙只能取、或反之， 因为， 显然，而，的大小不定，所以正负不确定， 所以这种取法没有必胜的把握； ③若甲先取、，乙只能取、或反之， 因为， 又，，，所以，即， 故甲先取、是唯一必胜的方案． 25．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有，有几种？请加以证明. 【答案】有，只有1种，证明见详解 【分析】当时可得；当时可得，分情况讨论，最终有，故可得到答案. 【详解】设A，，，的体积分别为，，，， 每人从四种容器中取两个容器有三种对应情况：， 因为， 因为，的大小关系不确定，故与大小无法确定， 故不管先取者取，还是，都不能确保胜利； 因为， 因为，的大小关系不确定，故与大小无法确定， 故不管先取者取，还是，都不能确保胜利； 因为， 所以，即先取者先取，必可保证胜利； 综上，先取者有必胜方案，且只有种，就是先取． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$