第五周 第5天 幂函数 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 5天 幂函数 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 　1.掌握幂函数的概念. (重点) 2.掌握幂函数y=xα的图象与性质. (重点) 3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 幂函数的概念 ❓ 问题　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=这里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v= km/s，即v=t-1，这里v是t的函数. 💡知识梳理 幂函数的概念：一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是__________，α是__________. ⚠️ 要点点拨： (1)底数是自变量x. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数. (4)函数的定义域与α有关. 🎯例1（1） (多选)下列函数中是幂函数的是(　　) A．y＝ B．y＝2x2 C．y＝2x＋1 D．y＝x （2）若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________． （3）已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(，2)，则f(9)＝________． 幂函数的判断方法： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①底数是自变量x；②幂的系数为1；③α是任意常数.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 下列函数中是幂函数的有(　　) A.y= B.y=2x2 C.y=x2+x D.y=1 🎯跟踪练习 1-2 已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，求m，n的值. 🎯跟踪练习 1-3 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=　　　　. 知识点2 幂函数的图象与性质 ❓ 问题2　请在同一坐标系下作出y=x，y=x2，y=x3，y=y=x-1这五个函数的图象. ❓ 问题3　根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 💡知识梳理 五个幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 ____ ____ R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在(-∞，+∞)上单调____ 在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调____ 在(-∞，+∞)上单调________ 在[0，+∞)上单调________ 在(-∞，0)上单调____，在(0，+∞)上单调递减 定点 ________ ⚠️ 注意点： 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小. 🎯教材例题 证明幂函数f(x)=是增函数. 🎯例2 已知幂函数f(x)=xα的图象过点P试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 幂函数图象的画法 (1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y=xα在第一象限内的图象. (2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1幂函数f(x)＝x的大致图象为(　　) 🎯跟踪练习 2-2 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-2 B.2-2 C.--2，2 D.2-2，- 知识点3 幂函数性质的综合运用 📐角度1 比较幂的大小 🎯例3-1 比较下列各组数中两个数的大小： ①； ②； 比较幂值大小的两种基本方法： 反思 归纳 🎯跟踪练习3-1 比较大小：. 📐角度2 解不等式 🎯例3-2 已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2). ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 利用幂函数的性质解不等式的步骤： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用． 反思 归纳 🎯跟踪练习3-2 已知函数f(x)＝x(m∈N*).若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． 自学小结 幂函数 1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝ B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1 2.已知f(x)=若0<m<n<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(m)<f(n)<f <f  B.f <f <f(n)<f(m) C.f(m)<f(n)<f <f  D.f <f(m)<f <f(n) 3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________． 4．判断大小：2.3________2.4.(填“>”或“<”) 5．已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 5天 幂函数 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 　1.掌握幂函数的概念. (重点) 2.掌握幂函数y=xα的图象与性质. (重点) 3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 幂函数的概念 ❓ 问题　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=这里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v= km/s，即v=t-1，这里v是t的函数. 💬提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数. 💡知识梳理 幂函数的概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. ⚠️ 要点点拨： (1)底数是自变量x. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数. (4)函数的定义域与α有关. 🎯例1（1） (多选)下列函数中是幂函数的是(　　) A．y＝ B．y＝2x2 C．y＝2x＋1 D．y＝x 【解】幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数．故选AD. （2）若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________． 【解】因为y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，所以m＝1，2n－4＝0，即m＝1，n＝2.所以m＋n＝3. 答案：3 （3）已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(，2)，则f(9)＝________． 【解】因为幂函数f(x)＝xα的图象过点(，2)，所以f()＝()α＝2，解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(9)＝92＝81. 答案：81 幂函数的判断方法： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①底数是自变量x；②幂的系数为1；③α是任意常数.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 下列函数中是幂函数的有(　　) A.y= B.y=2x2 C.y=x2+x D.y=1 【解】因为y==x-2，所以A项是幂函数；y=2x2由于自变量前出现系数2，所以B项不是幂函数；y=x2+x是两项和的形式，所以C项不是幂函数；y=1=x0(x≠0)，可以看出，常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0，1)，所以D项不是幂函数. 答案　A 🎯跟踪练习 1-2 已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，求m，n的值. 【解】由题意得解得 所以m=-3或m=1，n=. 🎯跟踪练习 1-3 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=　　　　. 【解】设f(x)=xα，∵f(4)=16，∴4α=16，解得α=2，∴f(x)=x2，∴f(-4)=(-4)2=16. 答案　16 知识点2 幂函数的图象与性质 ❓ 问题2　请在同一坐标系下作出y=x，y=x2，y=x3，y=y=x-1这五个函数的图象. 💬提示　 ❓ 问题3　根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 💬提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值或值域、奇偶性、对称性等问题. 💡知识梳理 五个幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在(-∞，+∞)上单调递增 在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 在(-∞，+∞)上单调递增 在[0，+∞)上单调递增 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 定点 (1，1) ⚠️ 注意点： 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小. 🎯教材例题 证明幂函数f(x)=是增函数. 【证明】　函数的定义域是[0，+∞). ∀x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，有 f(x1)-f(x2)===. 因为x1-x2<0，>0， 所以f(x1)<f(x2)，即幂函数f(x)=是增函数. 🎯例2 已知幂函数f(x)=xα的图象过点P试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 【解】因为f(x)=xα的图象过点P 所以f(2)=即2α= 解得α=-2， 所以f(x)=x-2，f(x)的图象如图所示， 根据图象可知，函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调递减区间为(0，+∞)，单调递增区间为(-∞，0). 幂函数图象的画法 (1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y=xα在第一象限内的图象. (2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1幂函数f(x)＝x的大致图象为(　　) 【解】由于f(0)＝0，所以排除C，D选项．而f(－x)＝(－x)＝＝＝x＝f(x)且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．故选B. 🎯跟踪练习 2-2 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-2 B.2-2 C.--2，2 D.2-2，- 【解】 根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y=xn递增的速度越快，故C1的n=2，曲线C2的n=；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-曲线C4的n=-2. 故选B 知识点3 幂函数性质的综合运用 📐角度1 比较幂的大小 🎯例3-1 比较下列各组数中两个数的大小： ①； ②； 【解】 　①因为幂函数y=x0.3在(0，+∞)上是增函数，又所以. ②因为幂函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减，又-<-所以. 比较幂值大小的两种基本方法： 反思 归纳 🎯跟踪练习3-1 比较大小：. 【解】因为幂函数y=在(0，+∞)上单调递增，又2<所以 即. 📐角度2 解不等式 🎯例3-2 已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2). ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 【解】 ①因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数，所以m2-2m+1=1，所以m=2或m=0. 当m=2时，f(x)=图象过点(4，2)； 当m=0时，f(x)=图象不过点(4，2)，舍去. 综上，f(x)=. ②函数f(x)在[0，+∞)上为增函数.证明如下： 设x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)= 因为0≤x1<x2，所以<0， 即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0，+∞)上为增函数. ③因为函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，f(a+1)>f(2a-3)，则解得≤a<4. 所以a的取值范围为. 利用幂函数的性质解不等式的步骤： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用． 反思 归纳 🎯跟踪练习3-2 已知函数f(x)＝x(m∈N*).若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． 【解】因为该函数图象过点(2，)， 所以2＝， 所以m2＋m＝2，所以m＝1或m＝－2(舍去)，所以f(x)＝x(x≥0)，在定义域上为增函数． 由f(2－a)>f(a－1)， 得解得1≤a<. 故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为. 自学小结 幂函数 1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝ B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1 【答案】C 2.已知f(x)=若0<m<n<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(m)<f(n)<f <f  B.f <f <f(n)<f(m) C.f(m)<f(n)<f <f  D.f <f(m)<f <f(n) 【解】 因为f(x)=在(0，+∞)上单调递减，且0<m<n<1，所以0<m<n<1<所以f <f<f(n)<f(m). 答案　B 3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________． 【解】因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－. 答案：－ 4．判断大小：2.3________2.4.(填“>”或“<”) 【解】因为y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，所以2.3<2.4. 答案：< 5．已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值． 【解】由题意得解得所以m＝－3，n＝. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $