第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学上学期暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：一元二次不等式的概念 知识点02：一元二次不等式的解法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：解不含参数的一元二次不等式 题型02：解含有参数的一元二次不等式 题型03：由一元二次不等式的解确定参数 题型04：一元二次方程根的分布问题 题型05：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型06：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型07：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型08：一元二次不等式的实际应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 【例1】判断下列式子是否为一元二次不等式，并说明理由；若为一元二次不等式，写出其标准形式：。 【知识点02】一元二次不等式的解法 1．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2. 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 【例2】解一元二次不等式：。 【题型01】解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（26-27高一·全国·暑假作业）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1-1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）“”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1) (2) 【题型02】解含有参数的一元二次不等式 【典例2-1】（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·吉林松原·期中）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为______． 【变式2-3】（25-26高一上·吉林·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 【题型03】由一元二次不等式的解确定参数 【典例3-1】（25-26高一上·浙江·期末）关于的不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·河北·期末）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若关于x的不等式的解集是，则实数__________. 【变式3-3】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2) (3)已知不等式的解集为或.求实数，的值； 【题型04】一元二次方程根的分布问题 【典例4-1】（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【变式4-2】（2025高一上·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围． 【变式4-3】（26-27高一·全国·暑假作业）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【题型05】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【典例5-1】如果关于的不等式的解集是，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【变式5-2】（多选）（25-26高一下·吉林长春）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是__________.    【题型06】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例6-1】（25-26高一上·广东·期末）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·湖北恩施·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【变式6-3】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【题型07】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【典例7-1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·河北秦皇岛·期中）若 则b的取值范围为_______. 【变式7-3】（26-27高一·全国·暑假作业）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【题型08】一元二次不等式的实际应用 【典例8-1】（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课后作业）某农户想在一边靠墙（墙长20m）的空地上修建一个矩形养鸡场，另三边用总长为48m的栅栏围住，若要使养鸡场面积不小于，设养鸡场的宽为（宽小于长，），求的取值范围. 【变式8-3】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. (1)当杂志提价后销售总收入是21万元时，求每本杂志的售价为多少元？ (2)如何定价才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元？ 知识点01一元二次不等式的概念 1. 严格定义 只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式不等式，称为一元二次不等式。 2. 标准形式 当 时，一元二次不等式的四种标准形式： 3. 判定三要素 ① 整式形式（无分母含未知数、无根号含未知数）； ② 仅有一个未知数； ③ 最高次数为2，且二次项系数 。 4. 规范整理规则 解题统一规范：将不等式整理为 、右侧为0的标准形式，方便后续求解。 5. 解集定义 能使一元二次不等式成立的所有未知数的值构成的集合，即为一元二次不等式的解集。 知识点02一元二次不等式核心解题依据 1. 判别式公式（核心工具） 对于一元二次式 ，判别式： 判别式决定对应方程根的个数，直接决定不等式解集形式。 2. 三者对应关系 二次函数 、一元二次方程 、一元二次不等式解集三者紧密关联，通过函数图像位置可快速求解不等式。 知识点03一元二次不等式通用解法（必考步骤） 适用于所有 的一元二次不等式，四步标准解题法： 第一步：化标准 整理不等式，保证二次项系数 ，不等号右侧化为0。 第二步：算判别、求方程根 计算 ，求解对应方程 的实数根。 第三步：判图像趋势 ，抛物线开口向上；根据与x轴交点个数判断区间。 第四步：写解集 大于零取两边区间，小于零取中间区间；含等号则包含端点值。 知识点04一元二次不等式解集总表（a＞0） 1. 当 ，方程有两个不等实根 ，解集： ，解集： 2. 当 ，方程有两个相等实根 ，解集： ，解集：（空集） 3. 当 ，方程无实数根 ，解集：（全体实数） ，解集：（空集） 知识点05核心口诀与易错点总结 1. 解题万能口诀（a＞0） 有根不等：大于取两边，小于取中间； 有根相等：大于全体去端点，小于为空； 无根无交：大于全体实数，小于为空。 2. 高频易错点 ① 未将二次项系数化为正数直接求解，导致解集区间颠倒； ② 忽略等号，遗漏端点取值； ③ 特殊情况解集记忆混淆； ④ 最终结果未按要求写成集合或区间形式。 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，则“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一·全国·暑假作业）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高一上·安徽宿州·期末）已知关于的不等式的解集为，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 8．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 11．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 12．（26-27高一·全国·暑假作业）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 13．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若不等式的解集是，求不等式的解集_____. 14．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 16．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)求关于的不等式的解集. 17．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 18．（2025高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 19．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：一元二次不等式的概念 知识点02：一元二次不等式的解法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：解不含参数的一元二次不等式 题型02：解含有参数的一元二次不等式 题型03：由一元二次不等式的解确定参数 题型04：一元二次方程根的分布问题 题型05：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型06：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型07：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型08：一元二次不等式的实际应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 【例1】判断下列式子是否为一元二次不等式，并说明理由；若为一元二次不等式，写出其标准形式：。 解：步骤1：判断类型 该式子为整式不等式，仅含未知数 ，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，符合一元二次不等式定义。 步骤2：整理为规范标准形式 一元二次不等式标准形式习惯将二次项系数化为正数，对原式移项整理： 结论：该式子是一元二次不等式，规范标准形式为。 【知识点02】一元二次不等式的解法 1．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2. 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 【例2】解一元二次不等式：。 解：步骤1：确认标准形式 不等式 中，二次项系数 ，已为标准形式。 步骤2：计算判别式、求解对应方程 对应方程： 方程有两个不相等的实数根，因式分解求解： 解得： 步骤3：结合函数图像确定解集 二次函数 开口向上，图像在x轴上方的部分对应，即 或 。 结论：不等式的解集为 。 【题型01】解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（26-27高一·全国·暑假作业）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 【变式1-1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）“”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出一元二次不等式的解，再利用充分不必要条件定义判断得解. 【详解】由，得， 因此“”，“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充分必要条件； “”是“”的充分不必要条件. 故选：ABD 【变式1-3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为． （2）将不等式， 化简为，即， 解得或， 所以解集为． 【题型02】解含有参数的一元二次不等式 【典例2-1】（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·吉林松原·期中）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】CD 【分析】分类讨论的范围即可求解. 【详解】当时，关于实数的一元二次不等式的解集为； 当时，关于实数的一元二次不等式的解集为; 当时，关于实数的一元二次不等式的解集为; 故选：CD 【变式2-2】（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】求方程的根，结合一元二次不等式的解法求结论. 【详解】当时，设方程的两根为，， 则和， 因为，所以，又， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 【变式2-3】（25-26高一上·吉林·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】（1）讨论判别式的正负，结合一元二次方程与不等式的关系，即可求解； （2）分类讨论a的取值情况，结合一元二次方程与不等式的关系，即可求解. 【详解】（1）对于，， 当，即或时， 有两不相等实数解， 则的解集为； 当，即时，有两相等实数解， 此时的解集为； 当，即时，无实数解， 此时的解集为； 综合上述：或时，解集为； 时，解集为； （2）对于， 当时，不等式为，即得； 当时，不等式为， 当时，，则可得或， 当时，，此时不等式化为， 解得， 当时，，此时不等式化为，此时； 当时，，此时不等式为， 解得， 综合可得解集为：当时，； 当时， 或， 当时，， 当时,； 当时，。 【题型03】由一元二次不等式的解确定参数 【典例3-1】（25-26高一上·浙江·期末）关于的不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，且，利用韦达定理可得出、的值，即可得出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根分别为、，且， 由韦达定理可得，解得，，故. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·河北·期末）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得关于的方程的根为和，利用韦达定理求出、的值，即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根为和， 所以，解得， 所以. 故选：B 【变式3-2】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若关于x的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】10 【分析】根据给定的解集，结合韦达定理列式求解. 【详解】由不等式的解集是，得是方程的二根，且， 因此，所以. 故答案为：10 【变式3-3】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2) (3)已知不等式的解集为或.求实数，的值； 【答案】(1)或 (2) (3)， 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）不等式化为，结合，即可求解； （3）根据三个二次式的关系，结合韦达定理，即可求解. 【详解】（1）由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）由不等式，可得， 因为  所以原不等式解集为. （3）由不等式的解集为或， 可得和是方程两个实数根， 可得，且，解得. 【题型04】一元二次方程根的分布问题 【典例4-1】（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 【变式4-1】（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】BC 【分析】由一元二次方程根的分布逐项判断即可. 【详解】对于A:当时，方程为：解得：，只有一根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则解得：或，故B正确； 对于C：方程有两个正根等价于解得：，故C正确； 对于D：当时，方程为：，方程无解，故D错误. 故选：BC 【变式4-2】（2025高一上·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围． 【答案】 【分析】根据方程的所在的区间，得到不等式组，解出即可. 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内， 令，则，解得 【变式4-3】（26-27高一·全国·暑假作业）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 【题型05】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【典例5-1】如果关于的不等式的解集是，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可求得的值，进而得到结果. 【详解】不等式的解集为， 方程的两根分别为和， ，即，，. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，求出、的值，进而求出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两个根， 所以，，所以，. 所以. 故选：C. 【变式5-2】（多选）（25-26高一下·吉林长春）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一元二次方程与一元二次函数的关系，结合韦达定理逐项判断即可． 【详解】由不等式的解集为， 所以，，故A错误； 方程的两个根为， ，则，故B正确，C错误； ，故D正确． 【变式5-3】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是__________.    【答案】 【分析】根据一元二次函数的图象与的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【详解】由二次函数的图象，可得函数的图象与的交点的横坐标分别为， 即方程的两根分别为 结合函数的图象，可得不等式的解集为. 故答案为：. 【题型06】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例6-1】（25-26高一上·广东·期末）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分式不等式恒成立转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式可得答案. 【详解】由 ，得： ， 由于分母 ，故只需满足 ， 即原不等式恒成立等价于对任意实数恒成立， 即：， 解得： . 故选：D 【变式6-1】（25-26高一上·湖北恩施·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，或， (2) 【分析】（1）根据条件，利用一元二次不等式的解法知方程的两根为和，再由根与系数间的关系，即可求解； （2）根据条件得，即可求解. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则， 解得或，，所以的值为，或，. （2）当时，， 因为关于的不等式在上恒成立，所以， 解得. 【题型07】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【典例7-1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，求得，即可求解. 【详解】由时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立， 当时，可得，所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 【变式7-2】（25-26高一上·河北秦皇岛·期中）若 则b的取值范围为_______. 【答案】 【分析】令，再结合一次函数性质分及进行讨论即可得. 【详解】令， 当时，，不满足，舍去； 当时，是关于的一次函数， 则有，结合，解得. 故答案为：. 【变式7-3】（26-27高一·全国·暑假作业）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可. 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 【题型08】一元二次不等式的实际应用 【典例8-1】（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【答案】2 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课后作业）某农户想在一边靠墙（墙长20m）的空地上修建一个矩形养鸡场，另三边用总长为48m的栅栏围住，若要使养鸡场面积不小于，设养鸡场的宽为（宽小于长，），求的取值范围. 【答案】 【分析】讨论矩形的长靠墙以及宽靠墙的情况，由题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】若矩形养鸡场的长靠墙，则矩形的长为. 由题意，解得， 即. 若矩形养鸡场的宽靠墙，则长为. 由题意，解得， 即无解. 综上，的取值范围为. 【变式8-3】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. (1)当杂志提价后销售总收入是21万元时，求每本杂志的售价为多少元？ (2)如何定价才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元？ 【答案】(1)3元或3.5元 (2)每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元 【分析】（1）设每本杂志的售价为元，由题意可得，进而解方程即可求解； （2）设每本杂志的售价为元，由题意可得，进而解不等式即可求解. 【详解】（1）设每本杂志的售价为元， 由题意，，解得或， 则当杂志提价后销售总收入是21万元时，每本杂志的售价为3元或3.5元. （2）设每本杂志的售价为元， 由题意，，解得， 则每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元时，才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元. 知识点01一元二次不等式的概念 1. 严格定义 只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式不等式，称为一元二次不等式。 2. 标准形式 当 时，一元二次不等式的四种标准形式： 3. 判定三要素 ① 整式形式（无分母含未知数、无根号含未知数）； ② 仅有一个未知数； ③ 最高次数为2，且二次项系数 。 4. 规范整理规则 解题统一规范：将不等式整理为 、右侧为0的标准形式，方便后续求解。 5. 解集定义 能使一元二次不等式成立的所有未知数的值构成的集合，即为一元二次不等式的解集。 知识点02一元二次不等式核心解题依据 1. 判别式公式（核心工具） 对于一元二次式 ，判别式： 判别式决定对应方程根的个数，直接决定不等式解集形式。 2. 三者对应关系 二次函数 、一元二次方程 、一元二次不等式解集三者紧密关联，通过函数图像位置可快速求解不等式。 知识点03一元二次不等式通用解法（必考步骤） 适用于所有 的一元二次不等式，四步标准解题法： 第一步：化标准 整理不等式，保证二次项系数 ，不等号右侧化为0。 第二步：算判别、求方程根 计算 ，求解对应方程 的实数根。 第三步：判图像趋势 ，抛物线开口向上；根据与x轴交点个数判断区间。 第四步：写解集 大于零取两边区间，小于零取中间区间；含等号则包含端点值。 知识点04一元二次不等式解集总表（a＞0） 1. 当 ，方程有两个不等实根 ，解集： ，解集： 2. 当 ，方程有两个相等实根 ，解集： ，解集：（空集） 3. 当 ，方程无实数根 ，解集：（全体实数） ，解集：（空集） 知识点05核心口诀与易错点总结 1. 解题万能口诀（a＞0） 有根不等：大于取两边，小于取中间； 有根相等：大于全体去端点，小于为空； 无根无交：大于全体实数，小于为空。 2. 高频易错点 ① 未将二次项系数化为正数直接求解，导致解集区间颠倒； ② 忽略等号，遗漏端点取值； ③ 特殊情况解集记忆混淆； ④ 最终结果未按要求写成集合或区间形式。 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，则“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，结合充分条件与必要条件的定义逐项判断即可得结论. 【详解】由，得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 由，得，所以，解得， 所以“”是“”的充要条件，故B错误； 由，得，解得， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 由，得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 3．（25-26高一上·安徽宿州·期末）已知关于的不等式的解集为，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. 故选：D 4．（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元后结合二次函数的性质分对称轴的位置讨论可得. 【详解】令， 则不等式变为在上恒成立， 设，对称轴， 当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以； 当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以， 综上，a的取值范围为. 故选：C. 5．（24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 6．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设关于的方程对应的函数，根据二次函数的零点即可求解. 【详解】依题意，设函数，则函数有两个零点，且一个比3大，一个比3小； 所以，即，解得. 故选：B. 7．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 8．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解不等式，只需是或的真子集，得到答案. 【详解】或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 10．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 11．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 三、填空题 12．（26-27高一·全国·暑假作业）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 13．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若不等式的解集是，求不等式的解集_____. 【答案】 【分析】利用韦达定理求出系数，再解不等式. 【详解】由不等式的解集是， 可知和为方程的两根，则有，即. 所以即为，即， 则解集为. 14．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围. 【详解】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）根据给定条件，按分类求解含参数的不等式. 【详解】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 16．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）方程的两根为1和，且，及求解； （2）原不等式可以化为，利用一元二次不等式的解法求解． 【详解】（1）关于的不等式的解集为 方程的两根为1和，且 由韦达定理得：， 解得. （2）原不等式可以化为. ， 令， 解得：或且， 所以不等式的解为：或， 故不等式的解集为：. 17．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则 ， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 18．（2025高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 19．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【分析】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 1 学科网（北京）股份有限公司 $