第1章 反比例函数 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 以反比例函数概念-性质-应用为主线，系统整合定义辨析、图象性质、k的几何意义及跨学科应用，通过分层题型提炼待定系数法、数形结合等解题方法，逻辑链条完整。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念判定|3类选择/填空|定义三形式辨析、k≠0核心条件|从概念内涵（定义）到外延（判定），构建反比例关系认知框架| |图象性质|5类解答题|描点法作图、k符号与象限/增减性关联、几何意义面积公式|从图象画法到性质推导，形成“形-数”互化思维（几何直观）| |实际应用|3类综合题|建模四步法（审题-设元-求解-应用）、跨学科（物理/工程）关联|从数学模型到现实问题，培养模型观念与应用意识|

第1章 反比例函数 思维导图 1.1 反比例函数 1.1.1 反比例函数的概念 一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 除了标准形式外，反比例函数还有两种常见的等价表达形式： 1. 乘积形式：（），由两边同乘x变形得到，这种形式可以快速判断两个变量是否成反比例关系。 2. 负指数形式：（），这是根据负整数指数幂的定义改写得到的形式。 反比例函数需要满足两个核心条件：第一，比例系数k是非零常数；第二，自变量x的次数是，且x的取值范围是，因此反比例函数。 1.1.2 反比例函数的判定 判定一个函数是否为反比例函数，需要满足：函数表达式符合上述三种形式之一，且比例系数不为0。例如： · 是反比例函数，比例系数； · 不是反比例函数，因为自变量是而非x； · 是反比例函数，可以变形为，比例系数； · ，只有当时才是反比例函数，如果则不是反比例函数。 1.1.3 反比例函数中自变量与函数值的取值范围 对于反比例函数： · 自变量x的取值范围：的一切实数，因为分母不能为零； · 函数值y的取值范围：的一切实数，因为且，所以y不可能为0。 在实际问题中建立的反比例函数，自变量和函数值的取值范围还需要根据实际意义确定，比如路程一定时，速度v与时间t满足，这里v>0,t>0。 1.1.4 反比例函数解析式的确定（待定系数法） 因为反比例函数解析式中只有一个未知系数k，所以只需要一组对应x、y的值（或一个点的坐标），就可以求出k的值，进而确定解析式，步骤如下： 1. 设：设反比例函数解析式为； 2. 代：将已知点的坐标（或x、y的对应值）代入解析式，得到关于k的方程； 3. 解：解方程求出k的值； 4. 写：将k的值代入所设解析式，得到最终的反比例函数解析式。 例：已知反比例函数经过点(2,3)，求解析式。解：设，代入得，解得，所以解析式为。 1.2 反比例函数的图象与性质 1.2.1 反比例函数图象的画法（描点法） 画反比例函数图象的步骤和一次函数类似，分为三步： 1. 列表：在的两侧对称选取x的值，一般选取互为相反数的自变量值，计算对应的y值，列表； 2. 描点：根据列表中的坐标在平面直角坐标系中描出对应的点； 3. 连线：用平滑的曲线依次连接各点，形成两支曲线，注意反比例函数的图象是断开的两支，延伸部分逐渐靠近坐标轴但永远不与坐标轴相交。 1.2.2 反比例函数图象的特征 反比例函数的图象叫做双曲线，它具有以下特征： 1. 图象由两支曲线组成； 2. 图象关于原点中心对称，也关于直线和轴对称； 3. 双曲线无限接近坐标轴（x轴和y轴），但永远不会和坐标轴相交，因为； 4. 两支曲线分别位于两个象限，象限位置由k的符号决定。 1.2.3 反比例函数的性质（按k的符号分类） 反比例函数的性质主要体现在图象位置、增减性两个方面，核心由比例系数k的符号决定： 1.比例系数k的符号 2.图象所在象限 3.增减性（在每个象限内） k>0， 第一、第三象限 | y随x的增大而减小 k<0 ，第二、第四象限 | y随x的增大而增大 特别需要注意：增减性必须限定在每个象限内叙述，不能笼统说“k>0时y随x增大而减小”。例如对于，当时，时，这里但，如果不限定象限，结论就不成立。 1.2.4 反比例函数中比例系数k的几何意义 这是反比例函数非常重要的性质：过反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积|k|；若连接该点和原点，围成的直角三角形的面积为。 推导过程：设反比例函数上任意一点P(x,y)，则，过P作PM⊥ x轴于M，PN⊥ y轴于N，则矩形PMON的长，宽，所以面积。直角三角形POM的面积。 利用k的几何意义，可以快速求解图形面积，也可以根据图形面积求k的值，需要注意：根据图象所在象限确定k的符号，若图象在一、三象限则k为正，二、四象限则k为负。 1.2.5 反比例函数与正比例函数的交点性质 当正比例函数和反比例函数相交时： 1. 若和同号，两个函数有两个交点，且两个交点关于原点中心对称； 2. 若和异号，两个函数没有交点。 1.3 用反比例函数解决问题 1.3.1 利用反比例函数解决实际问题的步骤 用反比例函数解决实际问题，一般遵循以下步骤： 1. 审题：分析实际问题中的变量关系，判断两个变量是否成反比例关系； 2. 设元：设出变量，根据反比例关系设出反比例函数解析式，确定未知系数； 3. 求解：利用题目给出的已知条件，求出未知系数k，确定反比例函数解析式，注意自变量的取值范围（符合实际意义）； 4. 应用：根据题目要求，利用反比例函数的性质求解对应的问题，比如已知一个变量求另一个变量，或者分析变量的变化趋势。 1.3.2 常见的反比例函数实际问题模型 反比例函数常见的实际应用场景主要有以下几类： 1. 面积问题：当面积一定时，矩形的长和宽成反比例，三角形的底和高成反比例，即，S一定时，； 2. 行程问题：当路程一定时，速度和时间成反比例，即，s一定时，； 3. 工程问题：当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例，即，W一定时，； 4. 压强体积问题：物理中，一定质量的气体，压强和体积成反比例，即（C为常数），所以； 5. 杠杆原理问题：杠杆平衡时，阻力和阻力臂一定，动力和动力臂成反比例，即，一定时，。 1.3.3 利用反比例函数解决跨学科问题 反比例函数常和物理、地理等学科结合出题，比如电路中，电压一定时，电流和电阻成反比例（，U一定）；在运输问题中，货物总量一定，每天的运输量和运输天数成反比例等等，解题核心是抓住“总量一定，两个变量乘积为定值”这一核心特征，确定反比例函数关系后求解。 1.3.4 反比例函数与其他函数结合的应用问题 在一些综合问题中，会出现反比例函数和一次函数结合的应用，解题方法是：先根据已知条件分别求出两个函数的解析式，再根据交点坐标分析实际问题中的临界情况，比如比较两个函数值的大小，确定自变量的取值范围，解决方案选择类问题。 例如：某化工厂加工原料，方案一是用旧设备加工，总费用和加工量满足一次函数关系，方案二是新设备加工，满足反比例函数关系，通过求交点坐标，分情况讨论加工量多少时选择哪个方案更省钱。 【类型一】反比例函数的定义 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有______（填序号）． 【类型二】用反比例函数描述数量关系 1．下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 2．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 3．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【类型三】求反比例函数值 1．下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 3．在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【类型四】反比例函数的增减性 1．下列关于函数的说法正确的是（     ） A．函数图象位于第一、第三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．点和点都在函数图象上 2．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 3．已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围为________ ． 【类型五】反比例函数的对称性 1．已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 2．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．直线与双曲线交于、两点，则____________． 【类型六】求反比例函数的解析式 1．已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点P，连接，且．    (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P的坐标为，求直线的函数表达式． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点， (1)求，，的值； (2)观察图象，直接写出当时，的取值范围； (3)是轴上一点，且满足的面积等于．求点坐标． 【类型七】反比例函数的应用 1．某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 2．制作古筝钢丝弦时，需保持琴弦材质、粗细、张力不变，琴弦振动频率（单位：）与弦长（单位：）成反比例．已知弦长时，振动频率为． (1)求与的函数关系式； (2)工匠裁剪两根琴弦，弦长分别为、，对应频率、．若，且，求两根弦长的长度． 3．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【类型八】画反比例函数图像 1．在中，的长为，边上的高为，的面积为2． (1)关于与的函数关系式是______，的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点，点是轴上的点，若的面积等于面积的5倍，求点的坐标． 2．如图，单位长度为1的网格坐标系中，格点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求，的值及一次函数的解析式． (2)描出点和点，并作出反比例函数的图象． (3)将直线向下平移个单位长度使之经过点，求的值． 3．已知一次函数图象和反比例函数图象的两个交点A，B的横坐标分别为2和． (1)求反比例函数的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (3)直接写出不等式的解集． 【类型九】正反比例结合构造关系式 1．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 2．已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 3．已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 【类型一】已知k求面积 1．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 2．如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【类型二】已知面积求k 1．如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的负半轴上，且．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．9 C．18 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数（，）图象上一点，线段于点，交反比例函数（，）图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积是15，则__________． 【类型三】反比例函数中的新定义运算 1．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 2．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 3．给出如下定义：对于函数y，若当时，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”． （1）已知一次函数（），则它是“________型闭函数”； （2）已知反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则________． 【类型四】一次函数与反比例函数中的关系式 1．一次函数与反比例函数（，，为常数，）的图象交于点，． (1)求、的值； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围． 2．如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点和点B． (1)求点A，B的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 【类型五】一次函数与反比例函数中的不等式 1．如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． (1)求一次函数和反比例函数的解释式． (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 2．如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数和正比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 3．如图，一次函数与反比例函数相交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式． (2)直接写出当时，的取值范围． (3)将直线向上平移个单位长度后，所得直线与轴交于点．若，求点的坐标． 【类型六】一次函数与反比例函数中的面积问题 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)求的面积． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图象，不等式的解集为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． 【类型七】反比例函数作图 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接，，则四边形是________． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上、点在反比例函数的图象上，D是x轴正半轴上一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (3)若（2）中所作的角平分线交于点E，连接，求的度数． 3．如图，点在反比例函数的图象上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作点A关于点O的对称点； (2)在图2中，若点B的坐标为，请作出直线． 【类型一】反比例函数中的几何最值 1．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 2．如图，点都在双曲线上，P，Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为______． 【类型二】反比例函数中的增减性最值 1．已知反比例函数，当时，函数的最小值为，则当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 2．已知反比例函数，当时，y的最大值是，则当时，y有（    ） A．最大值，且最大值为 B．最大值，且最大值为 C．最小值，且最小值为 D．最小值，且最小值为 3．已知反比例函数与，当时，的最小值为，的最小值为，则的值是_____． 【类型三】反比例函数中的平移翻折旋转 1．阅读材料：曲线向右平移个单位后的表达式是什么？针对这个问题，小媛同学给出了以下猜想及证明： 猜想：平移后的表达式为 证明：设上任意一点坐标为，则平移后的坐标为，令，，所以，则． （）利用以上结论，写出向左平移个单位后的表达式为 ； （）仿照上述证明过程，请写出向上平移个单位后的表达式，并证明 问题解决： （）请根据以上结论，直接填空 绕顺时针旋转后的表达式为 ； 绕顺时针旋转后的表达式为 ． 2．如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”． (1)当OP＝3时： ①点M “的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是 ； (2)过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长． (3)如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是 ． 3．反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 【类型四】反比例函数中的绝对值 1．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 2．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质． (1)绘制函数图象 ①列表；下表是x与y的几组对应值，其中__________； x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 2 3 6 3 2 m 1 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象． (2)探究函数性质 写出函数的一条性质：__________． (3)运用函数图象及性质 ①观察你所画的函数图象，回答问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则__________； ②根据函数图象，写出不等式的解集是__________． 3．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【类型五】反比例函数中的特殊三角形 1．如图，点、是反比例函数与一次函数的交点． (1)连接，求的面积； (2)一次函数与轴相交于点，在坐标轴上存在点使得是等腰三角形，求点的坐标． 2．探究以下问题： (1)【情境引入】 如图1，等腰直角三角形中，，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得（无需证明），这就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，此时所运用的三角形全等的判定定理是________．（填序号） ①；②；③；④ (2)【类比探究】如图2，点分别在轴，轴上，若直线的函数关系式为： ①则点坐标为________，点坐标为________； ②将线段绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为________； (3)如图3，点在反比例函数图象上，连接，将绕点顺时针旋转到，求直线的解析式； (4)【拓展延伸】 如图4，在（1）的条件下（即直线的解析式为），若点在第二象限，且是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 3．如图，在平行四边形中，，，，反比例函数在第二象限内的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【类型六】反比例函数中的特殊四边形 1．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 2．【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【类型七】反比例函数中的角度问题 1．【探索发现】 如图1，四边形、、都是边长为1的正方形， 在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号） 【问题解决】 如图1，在线段上取点I，使得为，则______．          【拓展应用】 如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接． （1）如图3，当轴时， ①求点A的坐标； ②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______． （2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【类型八】反比例函数中的比值与定值 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 2．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 3．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标； (2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【类型九】反比例函数中的新定义应用 1．【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 2．定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数． (1)求函数的“镜子”函数． (2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点． ①当时，求函数的“镜子”函数． ②若，且点的横坐标为，求点的横坐标． 3．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点______“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； (3)在（2）的条件下，平面内找一点，使四点组成平行四边形，则点坐标为______． 1．（25-26八年级下·河南·阶段检测）点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 4．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 6．（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）在压力大小不变的情况下，压强（单位：）与受力面积（单位：）是反比例函数关系．当时，．则压强与受力面积之间的函数表达式为_______． 7．（25-26九年级下·海南海口·阶段检测）如图，小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，点B的坐标为，含角的三角板的直角顶点C在反比例函数的图象上．则__________． 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求的值； (2)将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为，连接，求线段的长； (3)是平面直角坐标系内一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数的图象位于第二、四象限 B．点在该函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）若点都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 6．（25-26八年级下·山西长治·期中）已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 7．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，与y轴交于点 C，P是x轴上一点，且 ， 则点 P的坐标为 ________ ． 8．（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 9．（25-26九年级下·安徽阜阳·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． 10．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 1．（25-26八年级下·上海静安·期末）下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（  ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别位于轴、轴的正半轴上，、、、分别是、、、的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．12 B．6 C．3 D．2 3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且，点均在双曲线的一支上，若双曲线与线段有交点，则的整数值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）反比例函数如图，则矩形的面积是________． 6．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 7．（25-26八年级下·全国·期末）如图，P是函数的图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，过点P作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F，当时，k的值为________． 8．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． 1 2 3 2 6 (1)直接写出各字母表示的数值： ； ； ； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，指出当时自变量的取值范围． 9．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若，请直接写出关于的不等式的解． (3)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 10．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数 思维导图 1.1 反比例函数 1.1.1 反比例函数的概念 一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 除了标准形式外，反比例函数还有两种常见的等价表达形式： 1. 乘积形式：（），由两边同乘x变形得到，这种形式可以快速判断两个变量是否成反比例关系。 2. 负指数形式：（），这是根据负整数指数幂的定义改写得到的形式。 反比例函数需要满足两个核心条件：第一，比例系数k是非零常数；第二，自变量x的次数是，且x的取值范围是，因此反比例函数。 1.1.2 反比例函数的判定 判定一个函数是否为反比例函数，需要满足：函数表达式符合上述三种形式之一，且比例系数不为0。例如： · 是反比例函数，比例系数； · 不是反比例函数，因为自变量是而非x； · 是反比例函数，可以变形为，比例系数； · ，只有当时才是反比例函数，如果则不是反比例函数。 1.1.3 反比例函数中自变量与函数值的取值范围 对于反比例函数： · 自变量x的取值范围：的一切实数，因为分母不能为零； · 函数值y的取值范围：的一切实数，因为且，所以y不可能为0。 在实际问题中建立的反比例函数，自变量和函数值的取值范围还需要根据实际意义确定，比如路程一定时，速度v与时间t满足，这里v>0,t>0。 1.1.4 反比例函数解析式的确定（待定系数法） 因为反比例函数解析式中只有一个未知系数k，所以只需要一组对应x、y的值（或一个点的坐标），就可以求出k的值，进而确定解析式，步骤如下： 1. 设：设反比例函数解析式为； 2. 代：将已知点的坐标（或x、y的对应值）代入解析式，得到关于k的方程； 3. 解：解方程求出k的值； 4. 写：将k的值代入所设解析式，得到最终的反比例函数解析式。 例：已知反比例函数经过点(2,3)，求解析式。解：设，代入得，解得，所以解析式为。 1.2 反比例函数的图象与性质 1.2.1 反比例函数图象的画法（描点法） 画反比例函数图象的步骤和一次函数类似，分为三步： 1. 列表：在的两侧对称选取x的值，一般选取互为相反数的自变量值，计算对应的y值，列表； 2. 描点：根据列表中的坐标在平面直角坐标系中描出对应的点； 3. 连线：用平滑的曲线依次连接各点，形成两支曲线，注意反比例函数的图象是断开的两支，延伸部分逐渐靠近坐标轴但永远不与坐标轴相交。 1.2.2 反比例函数图象的特征 反比例函数的图象叫做双曲线，它具有以下特征： 1. 图象由两支曲线组成； 2. 图象关于原点中心对称，也关于直线和轴对称； 3. 双曲线无限接近坐标轴（x轴和y轴），但永远不会和坐标轴相交，因为； 4. 两支曲线分别位于两个象限，象限位置由k的符号决定。 1.2.3 反比例函数的性质（按k的符号分类） 反比例函数的性质主要体现在图象位置、增减性两个方面，核心由比例系数k的符号决定： 1.比例系数k的符号 2.图象所在象限 3.增减性（在每个象限内） k>0， 第一、第三象限 | y随x的增大而减小 k<0 ，第二、第四象限 | y随x的增大而增大 特别需要注意：增减性必须限定在每个象限内叙述，不能笼统说“k>0时y随x增大而减小”。例如对于，当时，时，这里但，如果不限定象限，结论就不成立。 1.2.4 反比例函数中比例系数k的几何意义 这是反比例函数非常重要的性质：过反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积|k|；若连接该点和原点，围成的直角三角形的面积为。 推导过程：设反比例函数上任意一点P(x,y)，则，过P作PM⊥ x轴于M，PN⊥ y轴于N，则矩形PMON的长，宽，所以面积。直角三角形POM的面积。 利用k的几何意义，可以快速求解图形面积，也可以根据图形面积求k的值，需要注意：根据图象所在象限确定k的符号，若图象在一、三象限则k为正，二、四象限则k为负。 1.2.5 反比例函数与正比例函数的交点性质 当正比例函数和反比例函数相交时： 1. 若和同号，两个函数有两个交点，且两个交点关于原点中心对称； 2. 若和异号，两个函数没有交点。 1.3 用反比例函数解决问题 1.3.1 利用反比例函数解决实际问题的步骤 用反比例函数解决实际问题，一般遵循以下步骤： 1. 审题：分析实际问题中的变量关系，判断两个变量是否成反比例关系； 2. 设元：设出变量，根据反比例关系设出反比例函数解析式，确定未知系数； 3. 求解：利用题目给出的已知条件，求出未知系数k，确定反比例函数解析式，注意自变量的取值范围（符合实际意义）； 4. 应用：根据题目要求，利用反比例函数的性质求解对应的问题，比如已知一个变量求另一个变量，或者分析变量的变化趋势。 1.3.2 常见的反比例函数实际问题模型 反比例函数常见的实际应用场景主要有以下几类： 1. 面积问题：当面积一定时，矩形的长和宽成反比例，三角形的底和高成反比例，即，S一定时，； 2. 行程问题：当路程一定时，速度和时间成反比例，即，s一定时，； 3. 工程问题：当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例，即，W一定时，； 4. 压强体积问题：物理中，一定质量的气体，压强和体积成反比例，即（C为常数），所以； 5. 杠杆原理问题：杠杆平衡时，阻力和阻力臂一定，动力和动力臂成反比例，即，一定时，。 1.3.3 利用反比例函数解决跨学科问题 反比例函数常和物理、地理等学科结合出题，比如电路中，电压一定时，电流和电阻成反比例（，U一定）；在运输问题中，货物总量一定，每天的运输量和运输天数成反比例等等，解题核心是抓住“总量一定，两个变量乘积为定值”这一核心特征，确定反比例函数关系后求解。 1.3.4 反比例函数与其他函数结合的应用问题 在一些综合问题中，会出现反比例函数和一次函数结合的应用，解题方法是：先根据已知条件分别求出两个函数的解析式，再根据交点坐标分析实际问题中的临界情况，比如比较两个函数值的大小，确定自变量的取值范围，解决方案选择类问题。 例如：某化工厂加工原料，方案一是用旧设备加工，总费用和加工量满足一次函数关系，方案二是新设备加工，满足反比例函数关系，通过求交点坐标，分情况讨论加工量多少时选择哪个方案更省钱。 【类型一】反比例函数的定义 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的一般形式，逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B选项符合的形式，是反比例函数，符合题意； C选项是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D选项不是反比例函数，不符合题意． 2．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，）或（为常数，）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：∵反比例函数的定义为（为常数，）或可变形为该形式， ①，符合（），是反比例函数； ②，是正比例函数，不是反比例函数； ③，符合（），是反比例函数； ④可变形为，符合（），是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ⑥，不是的形式，不是反比例函数； ∴是反比例函数的有①③④，共3个． 故选：B． 3．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有______（填序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：是的反比例函数的有，． 故答案为：②⑤ 【类型二】用反比例函数描述数量关系 1．下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【答案】C 【分析】本题根据反比例关系的定义：若两个变量m、n的乘积为非零定值，则m与n成反比例关系，结合各选项的几何公式推导出m、n的关系式，即可判断． 【详解】解：选项A：∵矩形周长为1，∴，即，两个变量和为定值，不是乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项B：∵圆柱体积为1，圆柱体积公式为，∴，即，是与n乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项C：∵菱形面积为1，菱形面积等于对角线乘积的一半，∴，即，乘积为定值，因此m与n成反比例关系，符合题意； 选项D：∵长方体体积为1，长方体体积公式为长宽高，∴，即， 是m与乘积为定值，因此m与n不成反比例关系． 2．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的判断，需依据“两个相关联的量乘积一定则成反比例关系”的知识点，逐项分析各选项的数量关系即可求解． 【详解】解：A：设进价为定值，售价为，利润为，则，是差的数量关系，乘积非定值，不成反比例关系； B：身高与体重无固定的乘积或比值关系，不成比例关系； C：设路程为定值，速度为，时间为，则，为定值，即与的乘积一定，与成反比例关系； D：设工作效率为定值，工作总量为，工作时间为，则，为定值，即与的比值一定，成正比例关系； 故选：C． 3．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 【类型三】求反比例函数值 1．下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键． 反比例函数图象上的点满足，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可求解． 【详解】解：由得， A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意． 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 3．在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 0 【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可． 【详解】解：∵点和点都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，， 整理得 ，， ∴，即 ， ∴． 【类型四】反比例函数的增减性 1．下列关于函数的说法正确的是（     ） A．函数图象位于第一、第三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．点和点都在函数图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，结合点在函数图象上的判断方法，逐一判断各选项即可. 【详解】解：对于函数，， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大； 对A，函数图象位于第二、四象限，不在第一、三象限，A错误； 对B，当时，随的增大而增大，不是减小，B错误； 对C，当时，包含，此时，因此不成立，C错误； 对D，将代入解析式，得， 点在函数图象上； 将代入解析式，得， 点在函数图象上，D正确. 2．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 3．已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数在第一象限的增减性，再根据的条件列出关于的不等式组，求解不等式组得到的取值范围． 【详解】反比例函数中，比例系数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ， ，即 解不等式，得 解不等式 移项得 解得 综上，的取值范围为． 【类型五】反比例函数的对称性 1．已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 【答案】D 【分析】利用反比例函数的平移与对称性，结合图象判断即可． 【详解】解：如图，是反比例函数向上平移1个单位得到的，对各选项逐一判断： 由图象可得：函数图象关于对称，函数图象关于直线对称， ∴A错误，B错误，C错误，D正确． 2．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 3．直线与双曲线交于、两点，则____________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性，得到、两点坐标的关系，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的图象均关于原点对称， ∴和关于原点对称， ∴，， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， ∴． 【类型六】求反比例函数的解析式 1．已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2)不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）解：不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点P，连接，且．    (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P的坐标为，求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可求，由图象即可求解； （2）求出的坐标，再根据反比例函数的对称性可求出的坐标，从而可求解． 【详解】（1）解：， ， 反比例函数的图像位于第一，三象限内， ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， ， 由对称性得：， 设直线的函数表达式为，则有 ， 解得：， 直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的几何意义、反比例函数的性质，掌握性质及解法，理解的含义是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点， (1)求，，的值； (2)观察图象，直接写出当时，的取值范围； (3)是轴上一点，且满足的面积等于．求点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)点坐标为或 【分析】（1）将点和点分别代入一次函数中，可求出，，进而得到、的坐标，将的坐标代入反比例函数中，即可求出； （2）根据一次函数与反比例函数交于点和点，结合图象，即可求解； （3）先求出，设点，则，得到，结合的面积等于，列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：已知点和点在一次函数的图象上， ，， ，， 点和点， 又反比例函数的图象过点， ； （2）一次函数与反比例函数交于点和点， 结合图象可得，当时，的取值范围是或； （3）一次函数与轴交于点， 令，得， 解得， ， 设点，则， 的面积可表示为与的面积之和， ， 的面积等于， ， 解得或， 点坐标为或． 【类型七】反比例函数的应用 1．某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【答案】(1) (2) 5000个 【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x成反比例，所以可设，其中b为材料成本，k为反比例系数，将已知的两组x、y对应值代入所设函数，得到关于b和k的二元一次方程组，解方程组求出b和k的值，即可得到y与x的函数表达式． （2）把代入已求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； （2）解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 2．制作古筝钢丝弦时，需保持琴弦材质、粗细、张力不变，琴弦振动频率（单位：）与弦长（单位：）成反比例．已知弦长时，振动频率为． (1)求与的函数关系式； (2)工匠裁剪两根琴弦，弦长分别为、，对应频率、．若，且，求两根弦长的长度． 【答案】(1)； (2)弦长、的长度分别为和． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设． 时，， ． 解得． 与的函数关系式为． （2） 解：∵弦长、，对应频率、，且， ，． ， ． 解得，． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：弦长、的长度分别为和． 3．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【答案】(1)启动阶段：，下降阶段： (2) 【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． （2）解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 【类型八】画反比例函数图像 1．在中，的长为，边上的高为，的面积为2． (1)关于与的函数关系式是______，的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点，点是轴上的点，若的面积等于面积的5倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）利用列表描点法画出函数图象即可； （3）先求出、的坐标，进而得到，设，再根据的面积等于面积的5倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，的长为，边上的高为，的面积为2， 则， 关于的函数关系式是，的取值范围是， （2）解：由（1）可知，， 列表如下： 描点连线，函数图象如下： （3）解：令，则， 则， 联立， 解得：，（舍去）， ，即点E到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， ， 点是x轴上的点， 设，则，如图 的面积等于面积的5倍， ， 即， ， 点的坐标为或． 2．如图，单位长度为1的网格坐标系中，格点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求，的值及一次函数的解析式． (2)描出点和点，并作出反比例函数的图象． (3)将直线向下平移个单位长度使之经过点，求的值． 【答案】(1)，一次函数解析式为 (2) (3) 【分析】（1）将点和点分别代入反比例函数中即可求解，再利用待定系数法将点和点代入即可； （2）由（1）知点和点的坐标，在图像中描出来，再根据这两点画反比例函数图象； （3）利用一次函数图象平移的性质将新一次函数设出来，再将该图像上的点代入求解即可． 【详解】（1）解：∵格点，在反比例函数的图象上， ∴将，分别代入中， 得，解得， ∴，， ∵点和点在一次函数图象上， ∴将分别代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）略 （3）解：一次数向下平移个单位长度， 则新一次函数解析式为， 该一次函数经过点， 将点代入中， 得，解得． 3．已知一次函数图象和反比例函数图象的两个交点A，B的横坐标分别为2和． (1)求反比例函数的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据一次函数的表达式和点A的横坐标求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）根据题意画函数图象即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入反比例函数的关系式得，解得， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 【类型九】正反比例结合构造关系式 1．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，． 2．已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，进而得到，待定系数法求出，即可； （2）把代入（1）中解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，． 3．已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的表达式及待定系数法求函数关系式，熟练掌握待定系数法，准确设出函数表达式并代入已知条件列方程组求解是解题的关键．先设出、的表达式，进而得到的表达式，再将已知的、值代入，通过解方程组求出未知系数，确定函数关系式． 【详解】解：设（），（）．则． 当时，，代入可得：①； 当时，，代入可得：②． 由①得，即，将其代入②得 解得． 把代入，得． 所以关于的函数关系式为． 【类型一】已知k求面积 1．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 2．如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】分别过点A，D作轴于点，轴于点，可得四边形是矩形，再根据求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A，D作轴于点，轴于点， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， 又轴，则 ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴ 3．如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 【类型二】已知面积求k 1．如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的相关知识，难度不大但需注意最后所求k值的符号，此为易错点． 根据反比例函数的性质，将k用、表示出来；再根据线段之间的关系得出两个同高的三角形的面积关系，进而求出，再根据，即可求出解． 【详解】解：∵轴， ∴，， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的负半轴上，且．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．9 C．18 D． 【答案】D 【分析】连接交于，证明，，进一步可得，再解方程进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接交于， ∵正方形的顶点在轴的负半轴上，且． ∴，， ∴， ∴， ∵， 解得：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数（，）图象上一点，线段于点，交反比例函数（，）图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积是15，则__________． 【答案】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 【类型三】反比例函数中的新定义运算 1．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 2．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 3．给出如下定义：对于函数y，若当时，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”． （1）已知一次函数（），则它是“________型闭函数”； （2）已知反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则________． 【答案】 2 2024 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先得到故，，则，再由定义得到，可得，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）对于一次函数，可知随的增大而增大， 根据定义，当时，；时，， ，故； （2）对于反比例函数（，且），可知在第一象限内，随的增大而减小， 故，， ， 又∵反比例函数（，且）是“型闭函数”，， 可得， ， ． 【类型四】一次函数与反比例函数中的关系式 1．一次函数与反比例函数（，，为常数，）的图象交于点，． (1)求、的值； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出的值，再求出点的坐标即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入 ，得 ，解得， ∴反比例函数的解析式为 ． 将点坐标代入， 得 ． （2）解：如图所示， 将点和点坐标代入，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． 由得，， ∴点M坐标为． 由函数图象可知， 当时，一次函数和反比例函数的图象在轴的两侧，满足函数值之积小于零， ∴由得，． 2．如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点和点B． (1)求点A，B的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先得出点A的坐标，然后求出一次函数的解析式，进而问题可求解； （2）根据图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 联立得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； （2）解：由（1）及图象可知：不等式的解集为或． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数中求出的值即可求反比例函数的解析式，通过反比例函数解析式求出点的坐标，将和代入一次函数中联立方程组即可求出一次函数的解析式． （2）根据两交点的纵坐标值相等，观察图象即可求出时x的取值范围． （3）根据函数平移的性质求出平移后的直线解析式，将其与反比例函数联立方程，求出点坐标，在直角坐标系中，分别过点，，作轴的垂线和平行线，构造矩形，通过矩形的性质和，，三点的坐标，求出对应的线段的长度，最后根据割补法求出面积即可． 【详解】（1）解：在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为． ， ， ， ． 将和代入中联立方程组得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，即在第二象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． 当时，即在第四象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． ． 综上所述，时x的取值范围是或． （3）解：一次函数的图象向上平移5个单位长度后为，如图所示，画出，过点作轴的平行线交过点作的垂线于点，过点作轴的垂线交过点作的平行线于点，过点作的垂线交过点作的平行线于点， 即，，， 交轴于点， ． 与交点， ， ， ， 或， ， （舍去）． ， 的横坐标为2， 将的横坐标代入中得， ． ，，，，，， 四边形为矩形，，，， ，，， ，，， ，， ． ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数交点的问题，一次函数与反比例函数图象综合判断问题，因式分解解一元二次方程，割补法求面积，解题的关键是画出平移后的直线解析式，准确找出点坐标与位置，学会观察图象找出取值范围． 【类型五】一次函数与反比例函数中的不等式 1．如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． (1)求一次函数和反比例函数的解释式． (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先把代入可得反比例函数解析式，再把点代入反比例函数关系式求出坐标，然后将两个点的坐标代入直线关系式，求出一次函数的解析式； （2）求出C点的坐标，结合得出答案； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：把代入得到， 所以反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 把和代入得， 解得． 所以一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 所以C点坐标为， 则， ； （3）解：由图象得不等式的解集为或． 2．如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数和正比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)12 (3)或 【分析】（1）把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式，再把点代入可得m的值，求得正比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把点代入（）得 ∴反比例函数的解析式为     把点代入（）得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B， ， ∵点C与点A关于y轴对称， ， ，     ； （3）解：根据图象得不等式的解集为或． 3．如图，一次函数与反比例函数相交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式． (2)直接写出当时，的取值范围． (3)将直线向上平移个单位长度后，所得直线与轴交于点．若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）先求得k值得到，进而求得n值得到，再利用待定系数法求得k、b即可； （2）利用图象得到反比例函数图象位于一次函数图象上方部分的横坐标的取值范围即可求解； （3）先利用坐标与图形性质列方程求得p值，进而得到平移后的函数表达式为，令即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的表达式为， 将点代入，得， 点的坐标为， 将点，代入，得， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：由图象，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴当时，的取值范围为或； （3）解：如图，设直线与y轴的交点为D， 由题意，，又，， ∴， 解得． 将直线向上平移4个单位长度后，得到直线． 令，则， 点的坐标为． 【类型六】一次函数与反比例函数中的面积问题 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入求出，得出反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出，最后将，代入一次函数解析式利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质得出，，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴代入得，即，     ， 将点代入可得， 解得：， ∴， 将，代入得， 解得：，， ． （2）解：根据平移可得轴， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图象，不等式的解集为 ． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)35 (3)或 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出m的值，从而得到反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式中求出k和b的值即可得到一次函数的表达式； （2）求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图所示， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可求得反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据，求出，即可求出． 【详解】（1）解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得：， ∴， ， ， ， ， 当点的纵坐标为2时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【类型七】反比例函数作图 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接，，则四边形是________． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)菱形． 【分析】（1）根据点在正比例函数上，点的横坐标为，求出点坐标，再代入反比例函数中求出即可． （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于，两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）由作图易知：，，证明得到，，从而证出结论． 【详解】（1）解：点在正比例函数上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：如图，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于，两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）解：设垂直平分线与交于点，由作图知：，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上、点在反比例函数的图象上，D是x轴正半轴上一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (3)若（2）中所作的角平分线交于点E，连接，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接由待定系数法求解即可； （2）根据作角平分线的步骤作图即可； （3）根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∴反比例函数的表达式为； （2）解：射线即为所求； （3）解：∵四边形是菱形， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴． 3．如图，点在反比例函数的图象上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作点A关于点O的对称点； (2)在图2中，若点B的坐标为，请作出直线． 【答案】(1) 如图1，点即为所求． (2) 如图2，直线即为所求． 【分析】本题考查作图-复杂作图，一次函数的图象和性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交反比例函数图象于点，点即为所求； （2）同法作出点，连接交反比例函数图象于点C，连接，延长交反比例函数图象于点D，连接，延长交y轴于点，作直线即可． 【详解】（1）略 （2）略 【类型一】反比例函数中的几何最值 1．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变换等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于直线的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：A． 2．如图，点都在双曲线上，P，Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最值问题，解题关键是利用轴对称，将几段线段长转化为一段线段的长，从而求得最短距离．先求出A、B的坐标，如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接与x轴、y轴的交点即为点P、Q，此时，四边形的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，从而求出所在直线解析式． 【详解】解：∵点，都在双曲线上， ∴，， ∴，， 如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，则点，，，， 连接与x轴、y轴的交点即为点P、Q，此时，四边形的周长最小， 设直线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得， 所以直线的解析式为，． 即所在直线解析式为： 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合，线段最短问题，以及勾股定理．先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线对称， ∵点C在直线上， ∴当点P在直线上时，线段最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【类型二】反比例函数中的增减性最值 1．已知反比例函数，当时，函数的最小值为，则当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时，的值为， ∴， ∴当时，最小值为，最大值为； 故选：B． 2．已知反比例函数，当时，y的最大值是，则当时，y有（    ） A．最大值，且最大值为 B．最大值，且最大值为 C．最小值，且最小值为 D．最小值，且最小值为 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质可知当时，取得最大值，求出的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：反比例函数，当时，的最大值是 ， ， 在每一个象限内，随着增大而减小， 当时，取得最大值， 此时， 当时，， 当时，， 有最大值， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 3．已知反比例函数与，当时，的最小值为，的最小值为，则的值是_____． 【答案】3 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k与a的关系是解题关键．根据反比例函数在上的增减性，可得，，即可求得，的值． 【详解】对于反比例函数，当时，的最小值为， 当时，， 即， 对于反比例函数，当时，的最小值为， 当时，， ， 解得， ． 故答案为：3． 【类型三】反比例函数中的平移翻折旋转 1．阅读材料：曲线向右平移个单位后的表达式是什么？针对这个问题，小媛同学给出了以下猜想及证明： 猜想：平移后的表达式为 证明：设上任意一点坐标为，则平移后的坐标为，令，，所以，则． （）利用以上结论，写出向左平移个单位后的表达式为 ； （）仿照上述证明过程，请写出向上平移个单位后的表达式，并证明 问题解决： （）请根据以上结论，直接填空 绕顺时针旋转后的表达式为 ； 绕顺时针旋转后的表达式为 ． 【答案】（）；（），证明见解析； （）； 【分析】（）仿照证明解答即可； （）仿照证明解答即可； （）仿照证明解答即可； 本题考查了反比例函数的综合应用，解题的关键是读懂题意，正确表示出旋转后点的坐标． 【详解】解：（）设上任意一点坐标为， 将点向左平移个单位得到的点的坐标为， 令，， ∴， ∴， 故答案为：； （）解：，证明如下： 将点向上平移个单位得到的点的坐标为， 令，， ∴， ∴向上平移个单位后的表达式为； （）设上任意一点坐标为， 将绕顺时针旋转得到点， 设，， ∴， ∴， ∴绕顺时针旋转后的表达式为； 将绕顺时针旋转得到点， 设，， ∴， ∴， ∴绕顺时针旋转后的表达式为； 故答案为：；． 2．如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”． (1)当OP＝3时： ①点M “的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是 ； (2)过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长． (3)如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是 ． 【答案】(1)在； (2) (3) 【分析】（1）①当时，，该点为：，，则点，关于直线的对称点坐标为：，，即可求解； ②当时，关于的对称点的值为6，则，则，即可求解； （2）当时，则，解得：，即点，即，则，进而求解； （3）联立方程当△，则，此时两个函数只有一个交点，当直线过点关于直线的对称点时，该直线和题目中的图形只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，即， 则，则点，， 当时，，该点为：，， 则点，关于直线的对称点坐标为：，， 故点在“的镜像”， 故答案为：在； ②当时，关于的对称点的值为6， 则，则， 则“的镜像”与轴交点坐标为：，； 故答案为：，； （2）解：如图， 当时，则， 解得：，即点， 即， 点把线段划分成的两部分， 则（不成立，舍去）， 即点的横坐标为：，则点， 当时，， 即点关于的对应点的纵坐标为：2， 即， 由点、的纵坐标得到， 即； （3）联立和并整理得：， 当，则， 此时两个函数只有一个交点，设该点为点， 把代入并解得：， 则点，， 如图，求点关于直线的对称点， 则当直线过点时，该直线和题目中的图形只有一个交点， 由图形的对称性知，为等腰直角三角形， 当，则， 则点，，则， 则点的坐标为：，， 将点的坐标代入得：， 解得：， 故符合题设条件， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到点的对称性、新定义、图形的翻折等，理解新定义是解题的关键． 3．反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)点所在的函数表达式为 (3)矩形的面积为6 【分析】（1）将点和点代入，解答即可． （2）作轴，轴，构造一线三垂直全等模型，确定Q的坐标解答即可． （3）在上取点，使得，作轴，轴，根据旋转性质，三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点和点代入，得： ， 解得． （2）解：作轴，轴，    根据题意，得 ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， 设， ， 点所在的函数表达式为． （3）解：方法①：    在上取点，使得，作轴，轴， 由旋转得， ， ， 即四边形和四边形为矩形， ， 设， 矩形的面积矩形的面积． 方法②：    设，作，交延长线于点， 为等腰直角三角形， 点， 直线的函数表达式为， 设， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质，待定系数法是解题的关键． 【类型四】反比例函数中的绝对值 1．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①； ②③如图： (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②略 ③略 （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 2．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质． (1)绘制函数图象 ①列表；下表是x与y的几组对应值，其中__________； x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 2 3 6 3 2 m 1 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象． (2)探究函数性质 写出函数的一条性质：__________． (3)运用函数图象及性质 ①观察你所画的函数图象，回答问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则__________； ②根据函数图象，写出不等式的解集是__________． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3)①0；②或 【分析】本题考查了函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． （1）①直接把代入中求出的值即可得到答案； ②根据①所求描点即可； ③用平滑的曲线将所描出的点顺次连接即可； （2）写出一条符合图象的性质即可； （3）①根据函数图象可知，该函数图象关于轴对称，据此求解即可； ②利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：①把代入中得，即， 故答案为：； ②如图所示，即为所求； ③如图所示，即为所求； （2）由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故答案为：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）∵①观察函数图象可知，该函数图象关于轴对称， 点，为该函数图象上不同的两点， ∴， ∴， 故答案为：0； （2）根据函数图象可知，不等式的解集是或， 故答案为：或． 3．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【答案】(1)①1；②见解析；③见②图 (2)的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； (3)①或；②或；③或． 【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：①列表：当时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： （2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大； （3）①观察函数图象可得：当时，或， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②观察函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故答案为：或； ③观察函数图象可得，当或时，， 不等式与的解集或， 故答案为：或． 【类型五】反比例函数中的特殊三角形 1．如图，点、是反比例函数与一次函数的交点． (1)连接，求的面积； (2)一次函数与轴相交于点，在坐标轴上存在点使得是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或或或或或或 【分析】（）求出点和点坐标，进而求出一次函数解析式，再求出点坐标，最后根据解答即可求解； （）由点和点坐标可得，再分，和三种情况，利用两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了反比例函数的几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴，， 把代入一次函数，得， ∴， ∴一次函数， 把代入，得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ① 当时， 若点在轴上，设，则 ， 解得或， ∴或； 若点在轴上，设，则， 解得或 ， 当时，点与点重合，不合，舍去， ∴； ②当时， 若点在轴上，设，则， 解得， ∴或 ； 若点在轴上，设，则 ， 解得或， ∴或； ③当时， 若点在轴上，设，则， 解得， ∴； 若点在轴上，设，则， 解得， ∴; 综上所述，点的坐标为或或或或或或或或． 2．探究以下问题： (1)【情境引入】 如图1，等腰直角三角形中，，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得（无需证明），这就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，此时所运用的三角形全等的判定定理是________．（填序号） ①；②；③；④ (2)【类比探究】如图2，点分别在轴，轴上，若直线的函数关系式为： ①则点坐标为________，点坐标为________； ②将线段绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为________； (3)如图3，点在反比例函数图象上，连接，将绕点顺时针旋转到，求直线的解析式； (4)【拓展延伸】 如图4，在（1）的条件下（即直线的解析式为），若点在第二象限，且是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)② (2)①，；② (3) (4)或或 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理求证即可； （2）①由直线的函数关系式为，令和解方程即可求解；②根据题意，作出图形，过点作轴，由（1）中“一线三垂直全等模型”得到，求出相关线段长度即可得到点的对应点的坐标； （3）先由（1）中“一线三垂直全等模型”得到，确定点的坐标，再由待定系数法求直线解析式即可； （4）根据题意，分三种情况，作出图形，结合“一线三垂直全等模型”得出全等三角形，再由全等性质得到相关线段长即可确定答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 则此时所运用的三角形全等的判定定理是②； （2）解：①直线的函数关系式为，点分别在轴，轴上， 当时，，即；当时，，即； ②过点作轴，如图所示： ∵，； ∴， 由（1）中“一线三垂直全等模型”得到， ， 则， 点的对应点的坐标为； （3）解：点在反比例函数图象上， ，即， 过点作轴的垂线，如图所示： 由（1）中“一线三垂直全等模型”得到， ， 则点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得， 解得， 直线的解析式； （4）解：过的端点及中点作垂线，如图所示： 由（2）①知、， 当是等腰直角三角形时，过点作轴，如图所示： 则由（1）中“一线三垂直全等模型”得到， ， 则， ； 当是等腰直角三角形时，过点作轴、轴，连接，如图所示： 则，， 对于四边形，连接，将其分成了两个三角形，由三角形内角和定理可得四边形四个内角和为， ， ， 则， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， 则，解得， ， ； 当是等腰直角三角形时，过点作轴，如图所示： 则由（1）中“一线三垂直全等模型”得到， ， 则， ； 综上所述，若点在第二象限，且是等腰直角三角形时，点坐标为或或． 3．如图，在平行四边形中，，，，反比例函数在第二象限内的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2)点的坐标为或 【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得出，，进一步得出点的坐标为，最后将点的坐标代入解析式即可； （2）需分两种情况讨论：当时，先证出四边形是矩形，进一步得，再设点的坐标为，则，最后根据两点之间的距离公式和勾股定理求解即可；当时，设，则，再根据两点之间的距离公式和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，，， ． 四边形是平行四边形， ，， 点的坐标为． 反比例函数在第二象限内的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为：． （2）解：点是轴上一点，若是直角三角形， 有以下两种情况： 当时，如图所示： ， ． ， 四边形是矩形， ． 设点的坐标为，（），则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ，， 由，解得：不合题意，舍去， 由，解得：， 点的坐标为； 当时，如图所示： 设，（），则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【类型六】反比例函数中的特殊四边形 1．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)①不存在，理由见解析；②当时，以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形；当时，点Q在线段的延长线上，平行四边形只是矩形． 【分析】(1)根据条件可以得到点A、B、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题； (2)①可用t的代数式表示，然后根据求出t的值，得到与重合，因而不存在t，使得四边形为平行四边形； ②可分两种情况(点Q在线段和在线段的延长线上)讨论，由于，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需，只需将分别用t的式子表示，求出t，就可解决问题． 【详解】（1）解∶(1)由题意可得∶点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 设过点C的反比例函数的表达式为，则有， ∴过点C的反比例函数的表达式为． 设过A、B两点的一次函数的表达式为， 则有， 解得． ∴过A、B两点的一次函数的表达式为； （2）①不存在． 轴，轴， ． 当四边形是平行四边形，则：． 设，则， ， ．此时与重合， 不存在t的值，使四边形为平行四边形． ②存在．当时，点Q在线段上， 此时，，． 当时，， 整理可得：， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在t，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形． 当时，点在线段的延长线上， 由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ，（舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解答本题的关键． 2．【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）①或； ②如图1，画出草图 答案不唯一，只要正确即可． 当时，的值随值的增大而减小；图象关于直线成轴对称； ③不是“核心矩形”；理由如下： 方法1： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则，即． 则． ． 则“核心矩形”同时满足函数和． 画出函数的图象如图2所示， 根据图象可知， 函数与函数图象没有交点， 满足条件的，的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 方法2： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则． ，即． ，即． ， 原方程无实数根． 的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，新定义，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“核心矩形”的定义，是解题的关键． （1）根据“核心矩形”得，把代入即可求解； （2）根据“核心矩形”得，根据矩形有面积公式得，代入整理方程，得．求解得出a，即可求解； （3）①根据“核心矩形”得，则．即可求解； ②根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象抽象出函数性质即可； ③根据“核心矩形”的定义判定即可． 【详解】解：（1）依题意，知，， ． 解得，（不合题意，舍去）． ． （2）依题意，知，， ． 整理方程，得． ，． ，． （3）①依题知， ． 或． ②略 ③略 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上；②存在，该菱形的面积为或或 【分析】（1）在中，当时，，当时，，解得，即可得出点、的坐标，从而得出，，过点作轴于，证明，得出，，求出，即可得出点的坐标； （2）①作轴于，则，证明，得出，，求出，待定系数法得出反比例函数的解析式为，由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上，分两种情况求解即可；②设正方形沿轴正方向平移个单位，则直线的解析式为，当时，联立可得，结合，求出（负值不符合题意，舍去），从而得出直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度，求出点的坐标为，，再结合菱形的性质，计算即可得解；当时，正方形的边与反比例函数有两个交点；当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点，此时再结合菱形的性质分两种情况：当时，则，当时，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 如图，过点作轴于， ， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图，作轴于， ， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵正方形沿轴正方向平移，得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， ∴由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，则，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； 综上所述，正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； ②存在， 由①可得，当点在反比例函数的图象上时，正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形， 设正方形沿轴正方向平移个单位，此时直线的解析式为， 当时， ∵正方形的边与反比例函数只有一个交点， ∴联立可得：， ∴, 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即， 由解得， ∴， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，由菱形的性质可得，垂直平分， ∴点与点关于对称，此时， ∵，， ∴此时该菱形的面积为； 当为边时，此时，，即，不满足题意； 当时，正方形的边与反比例函数有两个交点， 当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点， 在中，当时，，解得，即， ∵点在上， ∴设， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，（负值不符合题意，舍去）， 当时，，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 综上所述，在坐标平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，该菱形的面积为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【类型七】反比例函数中的角度问题 1．【探索发现】 如图1，四边形、、都是边长为1的正方形， 在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号） 【问题解决】 如图1，在线段上取点I，使得为，则______．          【拓展应用】 如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接． （1）如图3，当轴时， ①求点A的坐标； ②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______． （2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______． 【答案】【探索发现】①③；【问题解决】；【拓展应用】（1）①点A的坐标为；②或；（2）或 【分析】探索发现：如图，由正方形性质及外角定理得，由勾股定理，，可证，得，于是，得出答案； 问题解决：如图，，则，可证，于是，从而，得出结论； 拓展应用：（1）如图3，当轴时，①设，，则由勾股定理，，所以，求解得；②两种情况，如图，,点P在正半轴,如图与的延长线交于点C,过点C作轴，点B作轴，垂足分别为点,,求证，得,，由,知，，，待定系数法求解析式为，从而求得；如图，,点P在负半轴,延长,交于点C,过点C作轴,垂足为F,则是等腰直角三角形,，同前一种情况,可证，可得,待定系数求解析式为，从而求得； （2）如图，分别过点B，A作轴, 轴，垂足为C, F，可知 ,，求证，得，于是，，设，得，即，解得或，或，于是A或． 【详解】解：【探索发现】，如图，正方形中， ∴ 由勾股定理，， ∵ ， ∴ 而 ∴ ∴ ∴即 根据图中角的位置关系，可知其它两角不符合条件， 故选：①③；    【问题解决】如图， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    【拓展应用】（1）如图，当轴时， ①设，，则，， ， ∵ ∴ ∴，解得， ∴      ②两种情况，如图，,点P在正半轴, 如图与的延长线交于点C,过点C作轴，过点B作轴，垂足分别为点,, ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴, 由,知， ∴，，即 设直线解析式为,则 ,解得 ∴ 时, ∴ ,   如图，,点P在负半轴,延长,交于点C,过点C作轴,垂足为F, 则是等腰直角三角形,      同前一种情况,可证，而 ∴， ∴, 设直线解析式为，则 解得 ∴ 时， ∴ 综上, 或 （2）如图，分别过点B，A作轴, 轴，垂足为C, F，    ∵点A，点B在反比例函数和上 ∴, ∵， ∴ 又 ∴ ∴， ∴， 设，则，，，， ∴ 而，， ∴ 即，解得，或 ∴或，或 ∴A或 【点睛】本题考查反比例函数性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，结合条件添加辅助线，构造全等三角形、相似三角形寻求线段之间的关系是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)15 (3)存在，或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，函数与几何结合问题，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式． （1）先将代入中求出，再将代入求出反比例解析式，后将一次函数和反比例函数联立方程组，求出； （2）先求出，再利用，代入数值即可求出本题答案； （3）先在图象上作出，有两种情况，第一种情况点在第四象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标；第二种情况点在第二象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴将代入中得：， ∴， ∴将代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，，将一次函数与轴交点命名为， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①第一种情况点在第四象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：或（与重合舍去）， ∴； ②点在第二象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， 同理可得， ∴ ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：， ∴， ∴综上所述：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 【类型八】反比例函数中的比值与定值 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)是定值，该定值是2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立函数解析式求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将C、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令，则 解得， 即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 2．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，再根据解析式求出交点的坐标． 把点代入直线中，求出点的坐标，再把点的坐标代入求出反比例函数的解析式即可； 根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点的坐标，设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值． 【详解】（1）解：把点代入直线中， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 把点的坐标代入比例函数中， 可得：， 反比例函数的解析式是； （2）解：如下图所示，连接、， 解方程组， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， ，， 设点的坐标是， 则中边上的高是，中边上的高是， ，， ， ， 解得：，， 点的坐标是； （3）解：的值为定值， 点在反比例函数图象上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 是第一象限反比例函数图象上一动点， 设点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是, 当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ，， ． 3．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标； (2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，求出a的值后，再代入反比例函数的解析式，求出k的值； （2）过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为，则点G的坐标为．将转化为和，根据列方程并求解出t的值，从而得出点P的坐标； （3）过点A作的平行线，交x轴于点H，连接，容易证出，，则，．在直角中，使用勾股定理可以得到与的关系． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， 解得， ∴点A坐标为， ∵反比例函数的图象与直线都关于原点对称， ∴点A和点B也关于原点对称， ∴点B坐标为， 将点代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点G的坐标为， ∴， 点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵， ∴，即， 当时， 化简，得， 因式分解，得， ∴或（负值舍去）； 当时， 化简，得， 因式分解，得， ∴或（负值舍去）； 综上所述，或9，则点P的坐标为或． （3）解：为定值，理由如下： 如图，过点A作的平行线，交x轴于点H，连接， ∵点A和点B关于原点对称， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在直角中，， ∴, ∴为定值． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，直线围成的三角形面积问题，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握一次函数的解析式是解题关键． 【类型九】反比例函数中的新定义应用 1．【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （）根据“纵横差”的定义求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为； （2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴函数的“纵横极差”为； （3）解：∵， ∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为， 根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时， 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，符合条件； 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去， 综上所述，的值为． 2．定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数． (1)求函数的“镜子”函数． (2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点． ①当时，求函数的“镜子”函数． ②若，且点的横坐标为，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；②点横坐标为15 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，正确运用“镜子”函数的定义（若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数）是解答本题的关键． （1）设“镜子”函数上某点的坐标为，得出关于直线的对称点为，代入即可得解； （2）①依照（1）的思路可得解；②根据“镜子”函数的定义可得点的坐标为，设点坐标为，由中点坐标公式得点坐标为，结合反比例函数解析式得，进一步可得结论． 【详解】（1）解：设“镜子”函数上某点的坐标为， 则关于直线的对称点为， 所以函数的“镜子”函数为 （2）解：①设“镜子”函数上某点的坐标为， 则关于直线的对称点为， 所以函数的“镜子”函数为 ②函数的“镜子”函数为 点坐标为 设点坐标为， ，即为线段的中点， 点坐标为， ，即点横坐标为15． 3．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点______“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； (3)在（2）的条件下，平面内找一点，使四点组成平行四边形，则点坐标为______． 【答案】(1)不是 (2) (3)或或 【分析】（1）分计算矩形的周长和面积，然后结合“美好点”的定义，即可判断点是否为“美好点”； （2）①分别计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得求解即可确定点，再将其代入双曲线解析式，求解即可；②首先确定点，过点作轴，垂足为，然后由求解即可； （3）设，分为对角线、为对角线和为对角线三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：如下图， ， ， ∵四边形为矩形， ， ∴矩形的周长， 矩形的面积， 又 ∵， ∴点不是“美好点”； 故答案为：不是； （2）解：①∵点为“美好点”， ， ∵四边形为矩形， ， ∴矩形的周长， 矩形的面积， 则有， 解得：， ， ∵点在双曲线的图像上， ， 解得：， 故答案为： 18 ； ②由①可知，该双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， 则有，即， 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ， ． （3）解：如下图， 设， ， 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“美好点”、坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 1．（25-26八年级下·河南·阶段检测）点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【答案】B 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大小比较法则判断大小关系即可． 【详解】解：分别将三个点的横坐标代入反比例函数， 当时，，当时，，当时，， ， ． 3．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 4．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的实数均可） 【分析】根据反比例函数的图象性质，当图象位于第一、三象限时，比例系数大于0，由此得到关于的不等式，求出的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ，解不等式得， 因此的取值可以是任意大于的数，可以取（答案不唯一，任意满足的实数均可）． 6．（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）在压力大小不变的情况下，压强（单位：）与受力面积（单位：）是反比例函数关系．当时，．则压强与受力面积之间的函数表达式为_______． 【答案】 【分析】先设反比例函数一般形式，再用待定系数法代入已知数值求出比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设压强与受力面积之间的反比例函数表达式为，将代入表达式得： ， 因此压强与受力面积之间的函数表达式为． 7．（25-26九年级下·海南海口·阶段检测）如图，小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，点B的坐标为，含角的三角板的直角顶点C在反比例函数的图象上．则__________． 【答案】 【分析】根据点B的坐标确定点A的坐标及其长度，利用等腰直角三角形的判定与性质求出点C的坐标，最后利用待定系数法求出k的值． 【详解】解：∵含角的三角板的直角边落在y轴上，且， ∴轴， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为， ∴ ∵含角的三角板的直角顶点C在反比例函数的图象上． ∴是等腰直角三角形，且 过点作轴于， ∵，轴 ∴ ∴点的坐标为 把代入，得， 解得． 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 【答案】(1)4，3 (2) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴把，代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得； （2）解：由（1）得点，， 把，和，代入， 得 解得 ∴这个一次函数的表达式为． 9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求的值； (2)将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为，连接，求线段的长； (3)是平面直角坐标系内一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或． 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到平行四边形的性质，待定系数法求函数表达式等，分类求解是解题的关键． （1）直接将点代入求解即可； （2）过点A作轴于点B，根据题意得，然后再由旋转的性质确定，即可求解； （3）由（2）得，则，设点，分三种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点， ． （2）解：过点A作轴于点B，如图所示 ． ， ，． ． 将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为， ． ． ． （3）解：由（2）得， ，， ． 设点． 当为对角线时，由对角线中点相同，可得 解得 点； 当为对角线时，由对角线中点相同，可得 解得． 点； 当为对角线时，由对角线中点相同，可得 解得． 点； 综上所述，点的坐标为或或． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)能；40 【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数的图象位于第二、四象限 B．点在该函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：反比例函数，可得， 选项A，，反比例函数的图象位于第一、三象限，选项A错误，不符合题意； 选项B，将代入，得，点在函数图象上，选项B正确，符合题意； 选项C，在每个象限内，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，因此选项C错误，不符合题意； 选项D，没有说明在同一象限内，整个实数范围内，函数不满足y随x的增大而减小，因此选项D错误，不符合题意． 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意可得点P为线段的中点，从而得到点，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点P为线段的中点， ∵线段端点的坐标为，， ∴点， 把点代入得： ， 解得：． 3．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将点代入解答①；将代入关系式判断②； 再观察图像可知在第一象限内函数的增减性解答③；然后将，代入关系式解答④ 即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴函数关系式为，则①正确； 当时，，则②不正确； 观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确； 当时，； 当时，， ∴，则④正确． 所以正确的有①③④，一共3个． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，再利用反比例函数几何意义列式求出k的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 轴，轴， ， 与互为对顶角， ， 又， ， ， 点在反比例函数图象上， 由反比例函数几何意义可得， ， ，， ， ， ， ， ， 点在第一象限内反比例函数的图象上， ， ， ， 解得． 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）若点都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限及增减性，再根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数，因此函数图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点，的横坐标满足， 说明两点都位于第三象限， 所以． 6．（25-26八年级下·山西长治·期中）已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】 【分析】设，则，，可求出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，轴， ∴，点M的横坐标为m，点N的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，与y轴交于点 C，P是x轴上一点，且 ， 则点 P的坐标为 ________ ． 【答案】或 【分析】先求出点A，点B坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数的解析式，进而求出点C的坐标，根据坐标求出三角形面积，从而求出点P坐标． 【详解】解：因为， 在反比例函数的图象上， 所以，， 解得，， 所以， ， 将， 代入得：， 解得：， 所以一次函数解析式为：， 因为一次函数的图象与 y 轴交于点 C， 所以点C坐标为， ， 因为， 所以， 设点P坐标为， 所以， 解得，， 所以点P坐标为或． 8．（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 9．（25-26九年级下·安徽阜阳·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)的面积为24 【分析】（1）将代入得，，将和分别代入得，； （2）由所给条件得，，联立和可得它们的交点为或，故，故． 【详解】（1）解：将代入得，，解得， ∴反比例函数的表达式为； 将和分别代入，得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：轴于点，点， ，， 由得或， ∴点A的坐标为， ． 即的面积为24． 10．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标； （2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离； （3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得，即, 点在双曲线上， , 直线与双曲线的交点关于原点对称， 点B是点A关于原点的对称点， ； （2）解：设，过点作轴，过点作轴， 则， 作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接 ，即， ， 的纵坐标为， ， 解得，即， ， ， 两点之间线段最短， 最小，即最小． 此时的周长最小， 周长的最小值； （3）解：设， ，， ， ， ， 分三种情况： 当时，，即， ， 此时， 当时，，即， ，， 此时或 当时，，即 ， 此时， 综上所述，或或或． 1．（25-26八年级下·上海静安·期末）下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（  ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 【答案】D 【分析】形如（为常数，，）的函数叫做反比例函数，两个变量的乘积为定值．依次写出每个选项的函数关系式，对照定义判断． 【详解】解：A、根据题意，得，所以圆的面积与半径的关系是二次函数关系，故本选项错误； B、根据题意，得，所以正方形的周长与边长的关系是正比例函数关系，故本选项错误； C、根据题意，得，所以匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系是正比例函数关系，故本选项错误； D、根据题意，得，所以矩形的长与宽的关系是反比例函数关系，故本选项正确． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别位于轴、轴的正半轴上，、、、分别是、、、的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．12 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】连接，易得四边形均为矩形，矩形的面积等于四边形的面积，根据值的几何意义即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵、、、分别是、、、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形均为矩形， ∴， ∴四边形的面积， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴. 3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且，点均在双曲线的一支上，若双曲线与线段有交点，则的整数值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】求出两点坐标，进而求出双曲线经过点和经过点时的值，进行判断即可． 【详解】解：由题意，，C点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 当双曲线经过点时，； 当双曲线经过点时，； ∴当双曲线与线段有交点时，， ∴的整数值有，共7个． 5．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【答案】6 【分析】直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴矩形的面积是． 6．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用反比例函数的“”的几何意义求出的面积，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点P，Q分别在反比例函数和的图象上， 且轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 7．（25-26八年级下·全国·期末）如图，P是函数的图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，过点P作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F，当时，k的值为________． 【答案】5 【分析】设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点A、B， 令，则，令，则，解得， 则， 设P点坐标为． ∵点E，F分别是直线与，的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∵， ∴， 则，即 ， 解得：， ， ． 8．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． 1 2 3 2 6 (1)直接写出各字母表示的数值： ； ； ； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，指出当时自变量的取值范围． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先根据表格得出反比例函数的图象经过点，代入求出k的值；再把点，代入函数解析式求出m、n的值； （2）先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）连接点与画出函数的图象，观察函数图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对的自变量的范围即可得出当时自变量的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格可知：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把，分别代入得： ，； （2）解：反比例函数的图象，如图所示： （3）解：直线的图象，如图所示： 观察图象，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴当时，自变量的取值范围是或． 9．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若，请直接写出关于的不等式的解． (3)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求得的值，从而可得反比例函数的解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得点的坐标，再将点、的坐标代入一次函数解析式中即可得解； （2）确定一次函数的图象在反比例函数图象的下方时的取值范围即可得解； （3）设直线与 直线的交点为，求出点的坐标， 设， 根据三角形的面积公式表示出，列方程求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象， ， 反比例函数解析式为， 将代入， 得， ． 将，两点分别代入，得 ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：观察图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 不等式的解集为或． （3）解：如图，设直线与 直线的交点为， 把代入得， ，即， 设， 的面积为， ， ， 解得或， 点的坐标为或 ． 10．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，② (2)或或 (3)①；② 【分析】（1）用描点法画出函数图像，结合函数性质判断各个说法，找出错误选项； （2）分和两种情况分别解方程，得到所有符合条件的自变量的值； （3）①将方程解的个数问题转化为直线与分段函数图像交点个数问题，画出对应直线临界位置，结合图像确定参数取值范围；②先判断直线过定点，再确定分段函数平移规则，找出分段函数图像上的临界交点，代入直线解析式求出临界值，结合图像得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格描点连线画出函数图像略， 由图可得函数最小值为0，没有最大值，故①正确； 当时，，随的增大而增大即当时，随的增大而增大，故②错误； 当时，图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确． （2）解：分两种情况解方程： 当时，令，解得，满足条件； 当时，令，解得或，均满足； 因此自变量的值为或或． （3）解：①∵关于的方程有三个不同的解， ∴直线与分段函数的图象有三个交点， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得． ②直线恒过定点， ∵将函数图像进行平移后得到新函数， ∴平移规律为函数向右平移3个单位长度， ∴点向右平移3个单位得，点向右平移3个单位得， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得，直线与新函数有三个交点时，． 学科网（北京）股份有限公司 $