2025年中考数学复习——反比例函数与一次函数综合

2025年中考数学复习——反比例函数与一次函数综合 1．直线与双曲线交于点，点，与坐标轴分别交于点和点，．   （1）求直线的解析式．     （2）在轴上求出点，使以为顶点的三角形与相似． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=（k≠0）的图象于点C，连接BC． (1)求反比例函数的表达式及△ABC的面积； (2)直接写出当x＜1时，y=（k≠0）中y的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C． (1)当时． （ⅰ）分别求A，B两点的坐标； （ⅱ）P为x轴上一动点，当时，求点P的坐标； (2)取点，连接，当时，求k的值． 4．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且.    （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标. 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M作轴于N，且． （1）求反比例函数解析式； （2）在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果） （3）若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积． 6．如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接．点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． (1)求反比例函数的解析式；(2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值． 7．如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，且点的横坐标为． 为双曲线上一动点．过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，． (1)求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，，当与的重合部分的面积为时，求的面积． 8．设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 9．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．    10．如图，双曲线上有一点，过点A的直线与该双曲线交于点B，且点B的纵坐标为1    (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)连接，求的面积． (3)根据图象直接写出在第一象限内一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围； 11．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 12．在平面直角坐标系中，函数图象G与直线，点（，n为整数）在直线l上．    (1)对于任意的k直线必过一定点，直接写出这个点的坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W． ①当时，求k的值，并写出区域W内的整点个数； ②若区域W内整点个数m满足时，结合函数图象，求k的取值范围． 13．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边），BD与AC交于点E． （1）求一次函数的解析式； （2）求点D的坐标和反比例函数的解析式； （3）求点A的坐标． 14．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点（点在点的左侧），已知点的坐标为，的面积为8 （1）填空：反比例函数的关系式为__________； （2）试求直线的函数表达式； （3）试判断反比例函数图象上是否存在点，使与面积相等，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限的A、B两点，与x轴交于点C．已知，，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△OBC的面积． 16．如图，一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3． (1)求一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)写出不等式kx+b＞的解集．    17．如图，已知直线与双曲线 的图象交于，两点，且点的坐标为，．设点，，过点作 轴，交直线于点，交双曲线于点E．    (1)求反比例函数解析式； (2)若，结合函数的图象，直接写出的取值范围； (3)当直线在轴的右侧，且线段的长为时，求的值． 18．如下图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． (1)求双曲线的解析式． (2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． (3)如下图，平移直线交双曲线于点，交直线于点，连接，并延长交于第一象限内一点，若，求平移后的直线的解析式． 19．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点A，且点A的纵坐标为4． (1)求a的值； (2)将点O绕点A逆时针旋转至点B，求直线的函数解析式； (3)若点C是射线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交双曲线的图像于点D，交x轴于点E，且，求点C坐标． 参考答案 1．（1）解：将代入双曲线，得．   ∴． ∴． 作轴于，轴于 ∴,． ∵ ，∴． ∴． 将代入双曲线，得． ∴． ∴． 将，代入直线，得 解得, 直线的解析式为 y= ； （2）解：如图，①由（1)，点符合．   , ∴∽． 此时． ②当时，∽． 此时，∽． ∴．． ，∴． 由，得． ∴∴ ∴． ∴ ∴ ∴． ∴． 综上，满足条件的点坐标为，或． 2．（1）解：∵一次函数y=3x+1的图象过点B，且点B的横坐标为1， ∴y=3×1+1=4， ∴点B的坐标为（1，4）． ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴k=1×4=4， ∴反比例函数的表达式为y=， ∵一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A， ∴当x=0时，y=1， ∴点A的坐标为（0，1）， ∵AC⊥y轴， ∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是1， ∵点C在反比例函数y=的图象上， ∴当y=1时，1=，解得x=4， ∴AC=4． 过B作BD⊥AC于D，则BD=yB﹣yC=4﹣1=3， ∴S△ABC=AC•BD=×4×3=6； （2）由图形得：∵当0＜x＜1时，， ∴y＞4， 当x＜0时，y＜0． 3．（1）解：（ⅰ）当时，直线解析式为，反比例函数解析式为， 解方程组：，解得或， ∴； （ⅱ）如图，对于，令，得， ∴， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴； 设点，则， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； （2）解：联立方程组： ，消去y得， ∴，； 设，则， ∴； 如图，过A作轴于点F，过B作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即, ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 4．（l）过点作轴于点 ∵ ∴ ∴ ∵∴ 在中， ∴∴ ∵经过点∴∴ ∴反比例函数表达式为 ∵经过点，点 ∴解得 ∴一次函数表达式为    （2）本题分三种情况 ①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、 ②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点 ③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求 由（1）得， 在中， ∵ ∴∴∴∴ ∴ 5．解：（1）解：∵ON＝1， 把＝1代入中，得＝2， ∴M（1,2） 把＝1，＝2代入中，得＝2， ∴反比例函数解析式为； （2）∵， ∴一次函数的图像要在反比例函数图像的上方， ∴结合函数图像可知时，满足题意， ∴当时，； （3）过B作BE⊥轴于E， 把＝3代入中，得， ∴B（3，）， ∴BE＝， 又∵M（1，2）    ∴MN＝2 ，ON＝1，EN=2， ∵A是直线y=x+1与y轴的交点， ∴A（0，1）， ∴OA=1 ∴＝＋－ ＝×1＋－ ＝＝． 6．（1）解：，， 由刻度尺可得：， 点坐标为， 将点坐标代入， 得：， ； （2）解：根据图象可知： 不等式的解集为：； （3）解：，， ， ， ， 将和分别代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为， 依题意得：， 解得或． 7．（1）解：点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 点在双曲线上， ； （2）由（1）可得双曲线的函数表达式为， 点的纵坐标为， ． ， ， 点的纵坐标为， 点的双曲线上， 点的横坐标为， 点的坐标为； （3）如图，设与相交于点，则与的重合部分即为． 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为， 轴于点，且点在上， 点的横坐标为， 点在双曲线上， 点的纵坐标为， ，， 点，轴于点， ，， ， ， ． 8．（1）解：①把点B(3，1)代入，得， ∴． ∵函数的图象过点， ∴， ∴点B(3，1)代入，得： ，解得， ∴． ②根据题意，画出函数图象，如图∶ 观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方， ∴． （2）解∶∵点在函数的图象上， ∴， ∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D， ∴点D的坐标为， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， ∴， 解得． 9．（1）∵AB⊥x轴于点B，点A（m，2），∴点B（m，0），AB=2， ∵点C（﹣1，0），∴BC=﹣1﹣m， ∴S△ABC=AB•BC=﹣1﹣m=3，∴m=﹣4，∴点A（﹣4，2）， ∵点A在反比例函数y=（a≠0）的图象上，∴a=﹣4×2=﹣8， ∴反比例函数的解析式为y=﹣， 将A（﹣4，2）、C（﹣1，0）代入y=kx+b，得： ，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣； （2）当x=0时，y=﹣x﹣=﹣， ∴点D（0，﹣）， ∴OD=， ∴S△BCD=BC•OD=×3×=1．    10．（1）解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； 在中，当时，，则 ∴； 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于G，过点B作轴于H， ∴， ∴， ∵，， ∴ ；    （3）解：由函数图象可知当是，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 11．（1）解：点在一次函数的图象上， ， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为， 联立， 解得： 或， ； （2）观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在的图象的下方， 当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示． 点， 点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 直线的表达式为， 在中，令，则， 点， ，，， ，， 的周长为．    12．（1）解：∵直线， ∴直线必过一定点； （2）解：①当时，，将代入， 得：， 解得， 如图所示，    区域W内的整点有，有2个； ②直线过时，区域W内没有整点， 直线过时，，区域W内有2个整点， 直线过时，，区域W内恰有4个整点， 直线过时，，区域W内恰有5个整点， 当时，区域内的整点的个数大于5， ∴区域W内整点个数m满足时，k的取值范围是． 13．解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点B（0，2）， ∴b=2， ∴一次函数的解析式为； （2）作DF⊥x轴于F，∵B（0，2），∴OB=2， 当y=x+2=0时， ,解得x=， ∴E点坐标（，0）， ∴OE=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BE=ED， ∵DF⊥x轴，BO⊥x轴， ∴∠DFE=∠BOE=90°， ∵∠DEF=∠BEO, ∴△DEF≌△BEO, ∴OB=DF=2, EF=OE=， ∴OF= OE+EF=3， ∴D（-3，-2）， ∵点D在反比例函数y＝的图象上，   ∴k＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝． （或：不求E点坐标，得到OB＝DF＝2，则D点纵坐标为-2， ∴当y=-2时，x+2=-2， 则x=-3，  ∴D（﹣3，﹣2）， ∵点D在反比例函数y＝的图象上，   ∴k＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝．） （3）在Rt△BOE中，， 在矩形ABCD中，BE＝BD，AE＝AC，BD＝ AC， ∴AE＝BE＝， ∴OA＝AE－EO＝－＝1， ∴A（1，0）． 14．解：（1）∵点A（6，1）在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， （2）如图所示，分别过点B作BE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F， 设B（m，），直线AB的解析式为， ∴，， ∵A（6，1）， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴B（2，3） ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为； （3）存在，理由如下： 设直线AB与x轴的交点为M，在x轴上取点N，使得OM=NM，过点N作直线n∥AB，交反比例函数于P，则点P即为所求； ∵n∥AB，且OM=MN， ∴△PAB与△AOB面积相等（同底等高） ∵M是直线AB与x轴的交点， ∴M（8，0）， ∴N（16，0）， 设直线n的解析式为， ∴即， ∴直线n的解析式为， 联立得， 解得或， ∴P点的坐标为或． 15．（1）如图，过B作BM⊥x轴于M， ∵，，∴BM=2，.∴OM=5，即B的坐标是（-5，-2）. 把B的坐标代入得：k=10， ∴反比例函数的解析式是. 把A（2，m）代入得：m=5，即A的坐标是（2，5）， 把A、B的坐标代入得：解得：. ∴一次函数的解析式是. （2）∵把y=0代入得：x=-3，即OC=3， ∴△OBC的面积是×3×2=3． 16(1)∵A点的横坐标与B点的纵坐标都是3， ∴， 解得：x＝﹣4， y＝﹣＝﹣4， 故B(﹣4，3)，A(3，﹣4)， 把A，B点代入y＝kx+b得： ， 解得：， 故直线解析式为：y＝﹣x﹣1； (2)y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1， 故C点坐标为：(﹣1，0)， 则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝； (3)不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3． 17．（1）已知直线与双曲线的图象交于，两点，且点的坐标为． ， 的坐标为． 把代入，得 ， ∴； （2）解：∵，， ∴，即 联立 解得或 由函数图像可知：当时，， 当时， 当时，， 当时，， 综上所述或； （3）解：如图所示，当在点的右侧时，   点， 解得 当直线在轴的右侧， ， 当在点的左侧时， 同理可得：， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或． 18．（1）解：如图1中，作轴于， ， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，，解得， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴； （2）解：如图2中，作轴于，轴于， 设， ， ，， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或3（舍去）． 综上所述，满足条件的点的坐标为或； （3）解：如图3中， ， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴垂直平分， 关于直线对称， ∵点在上， ∴点也在上， 又∵点Q在直线上， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 19．（1）解：∵直线与双曲线交第一象限于点A，且点A的纵坐标为4， ∴，即， ∴， 整理得：， ∵双曲线位于一、象限， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∴点， 将点O绕点A逆时针旋转至点B，如图： 作轴于点，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点，即， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为； （3）∵， ∴反比例函数解析式为， 联立， 解得：或， ∴射线与双曲线交于， 设点，则点， 当， ∵，∴， 解得：（负舍）， ∴点的坐标为； 当时， ∵， ∴， 解得：（负舍），∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$