专题02 反比例函数与一次函数的综合（举一反三专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例与一次函数综合，通过10类题型构建“图象识别-方程求解-几何应用-实际建模”的递进式方法体系，强化数形结合与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象综合判断|1例+3变式|k值符号与象限分布关联法|从函数性质到图象特征的推理| |方程解与不等式解集|2例+6变式|交点坐标转化法|函数图象与代数方程的转化| |面积与k值计算|3例+9变式|割补法与k的几何意义|几何图形与函数参数的关联| |实际应用|2例+6变式|分段函数建模法|数学模型对现实问题的表达|

专题02 反比例函数与一次函数的综合（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 单反比例函数中由模型求面积】 1 【题型2 单反比例函数中等积变形】 3 【题型3 双反比例函数中由模型求面积】 6 【题型4 双反比例函数中等积变形】 10 【题型5 知三角形面积求k】 12 【题型6 知四边形面积求k】 16 【题型7 知阴影部分面积求k】 21 【题型8 知面积之间的关系求解】 26 【题型9 求阴影部分图形面积】 32 【题型10 确定面积之间的关系】 37 【题型1 反比例函数与一次函数的图象综合判断】 【例1】（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 【变式1-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第_______象限．    【答案】一、三 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a的符号，进而结合反比例函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三象限， ∴， ∴反比例函数的图象经过第经过一、三象限， 故答案为：一、三． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案． 【详解】解：A，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； B，由一次函数图象在第二、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第一、三象限，而不是第二、四象限，不合题意； C，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，符合题意； D，由一次函数图象在第一、二、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； 故选C． 【题型2 根据反比例函数与一次函数的图象求方程的解】 【例2】数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线与双曲线相交于点．根据图象可知关于的方程的解是（    ）    A．或1 B．或2 C．1或2 D．或 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图像的交点直接判断即可． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于点， ∴关于的方程的解是或1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象和一次函数图像的交点问题，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键． 【变式2-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数）与正比例函数的图象交点的纵坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，解一元一次方程，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据反比例函数解析式求出交点为，再代入一次函数解析式求出，即可得到方程的解． 【详解】解：由题意得，将代入得， ∴， ∴交点为， 将代入得：， 解得：， ∴关于的方程，即为， 解得：， 故选：A． 【变式2-2】（2025·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题．根据一次函数与反比例函数交点确定方程的解即可． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ∴点的横坐标为， ∵是一次函数向下平移了个单位，根据反比例函数关于原点对称可得，一次函数与反比例函数在第三象限的交点为， ∴关于方程的解是， 故选：D． 【变式2-3】解方程“”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为(   ) A． B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，由图象可得：两函数图象的一个交点坐标是，再根据函数的对称性可得另外一个交点为，即可求解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：两函数图象的一个交点坐标是， ∵反比例函数与一次函数的两个交点关于原点对称， ∴两个函数的另外一个交点是， 方程的解是，， 故选：C． 【题型3 根据反比例函数与一次函数的图象求不等式的解集】 【例3】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象交点及不等式解集的结合，利用函数图象的位置关系确定不等式的解集，即一次函数图象在反比例函数图象上方(包括交点)时对应的的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方(包括交点)时的取值范围． 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足； 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：B． 【变式3-1】如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，不等式的解集为（    ）    A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数解析式，图象法解不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．把点B的坐标代入一次函数解析式，求出n的值，然后根据不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的x的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 由图象知，不等式的解集为或． 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求的值及点B的坐标； (2)结合图象，请直接写出当时，不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，反比例函数与不等式问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数与不等式问题是关键． （1）点代入求解，即可求出的值；由反比例函数的图象关于原点中心对称，即可求得点B的坐标； （2）根据点A的坐标，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图像过点， ， 解得， 反比例函数的图象关于原点中心对称， 点A与点B关于原点对称， ； （2）解：结合函数图象可知，此时． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求的值； (2)根据图象直接写出不等式时的取值范围； (3)若动点在轴上，求的最小值． 【答案】(1)8，8 (2)或 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径． （1）将点代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出n值即可； （2）根据题意得到x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，利用勾股定理求出的长，即可解题． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， 即反比例函数表达式为 又点在反比例函数上 ； （2）解：由图象可知，当或时，， 故不等式时的取值范围为或； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则的最小值等于的长， 过点作于点 点， ， 在中，． 的最小值为． 【题型4 结合反比例函数与一次函数的交点求代数式的值】 【例4】（2026·浙江温州·模拟预测）在直角坐标系中，若与的函数图象交点坐标为，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】分别代入点到与，得到，，根据分式的加法法则化简式子，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵与的函数图象交点坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 【变式4-1】（2026·广东中山·一模）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______． 【答案】 【分析】把点P的坐标分别代入两个函数的表达式中可推出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，也在双曲线上， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-2】（2026·陕西汉中·二模）若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的对称性，可知两交点、关于原点对称，即，结合反比例函数性质得将坐标关系代入式子化简计算． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴两交点关于原点对称，即． 又∵点A、B在反比例函数的图象上， ∴． ∴ ． 【变式4-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）已知正比例函数与反比例函数的图像交于两点，则式子的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，联立两个函数解析式得到一个关于x的一元二次方程，进而得到，再求出，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：联立得， ∵正比例函数与反比例函数的图像交于两点， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【题型5 结合反比例函数与一次函数的交点比较大小】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小：_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，由正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，，从而结合正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称，故 ，，又，则，再由，可得，即进而函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大，又故可判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，， 又∵正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称， ∴，，， ， ， ， ， ∴函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大， 又 ， 故答案为：． 【变式5-1】（2025·浙江·模拟预测）已知反比例函数的图象经过两点． (1)当时，求的取值范围． (2)设一次函数，当时，比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，一次函数和反比例函数交点问题，熟记相关结论是解题关键． （1）首先求出的函数表达式为，然后根据反比例函数的增减性求解即可； （2）首先判断出直线经过点，得到与函数图象的一个交点为，进而求解即可． 【详解】（1）反比例函数的图象经过点， ， 的函数表达式为． ， 图象位于第二、四象限， 在图象所在的每个象限内，随的增大而增大， 当时，． （2）由可知，直线经过点 与函数图象的一个交点为． 又 随的增大而减小， 当时，； 当时，； 当时，． 【变式5-2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值； （2）根据反比例函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴． （2）解：∵反比例函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， 且点在第三象限， ，在第一象限， ∴． 【变式5-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知直线（为常数，且）与双曲线（为常数，且）相交于A，B两点． (1)若点A的坐标是，求点B的坐标． (2)若点A，B的横坐标分别为m，． ①求m的值． ②若点在直线上，点在双曲线上，且，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的性质． （1）根据正比例函数和反比例函数的性质，求出点的坐标． （2）①利用正比例函数和反比例函数的交点性质列出方程，求解的值． ②根据函数性质，结合的取值范围，比较与的大小． 【详解】（1）解：直线与双曲线的交点关于原点对称，已知点的坐标是， 点的坐标为； （2）解：①联立直线与反比例函数解析式， 得， 消去得：，， 点A横坐标为，代入得：， 点B横坐标为，代入得：， 联立得：， 解得：； ②∵点在直线上， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 由第（2）题①知， 故， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型6 结合反比例函数与一次函数的图象求面积】 【例6】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 【变式6-1】（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：作于，如图： 函数（）与反比例函数（）交于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 【变式6-2】（24-25九年级上·山东济南·月考）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 如图，过C作轴于D，交于E．由是等腰直角三角形得到，设，则，设，则，，反比例函数的图象过点B，C，则，解得，则，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过C作轴于D，交于E． ∵轴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 设，则，， ∵反比例函数的图象过点B，C， ∴， 解得，则， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-3】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、 点． (1)求一次函数的解析式及 面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点 坐标轴上的一点，且满足的面积等于 面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 【题型7 结合反比例函数与一次函数的图象求k】 【例7】（2026·江苏南京·一模）如图，正比例函数图像与反比例函数的图像交于点、，点在轴上，若，的面积是6，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作轴，先证明，从而可得，结合的面积得出，进而可得的值． 【详解】解：由题意，过点作轴， ∵正比例函数图像与反比例函数的图像交于点、， ∴． ∵， ∴， ， ， 又该反比例函数图象在第二、四象限，即， ． 【变式7-1】如图，直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点．连接OA，OB，若△AOB的面积是6.则双曲线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）的对称性求得△AOC≌△BOD，即可求得S△AOC＝1，利用三角形面积公式求得A的纵坐标，进而求得横坐标，进一步求得反比例函数的解析式． 【详解】解：如图，∵直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）关于直线y＝x对称， ∴△AOC≌△BOD， ∵直线y＝﹣x＋4与x轴相交于C点，与y轴交于D， ∴C（4，0），D（0，4）， ∴S△COD8， ∵△AOB的面积是6， ∴S△AOC＝1， ∴4×yA＝1， 解得：yA， 代入y＝﹣x＋4得，x＋4， 解得x， ∴A（，）， ∵直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）相交于A，B两点， ∴k， ∴双曲线的表达式是：y， 故答案为：y． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数的对称性，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得A的坐标是解题的关键． 【变式7-2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）设的坐标是，由的面积等于正方形面积的一半，得到，求解，即可求解坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：设的坐标是， ∵的面积等于正方形面积的一半 ， ， ， 的坐标是． 【变式7-3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求，，的值； (2)点是（）的图象上一点，轴交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入，即可求得，将代入，即可求得的值，进而得到点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得的值； （2）由题意可设，所以，又的面积小于四边形的面积，所以，结合，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：在上， ， ， ， 在上， ， ， 在上， ，即，，； （2）解：由题意可设， ， ， ， ， ． 【题型8 结合反比例函数与一次函数的图象求坐标】 【例8】（2026·江苏常州·一模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴，轴交于、两点，与反比例函数的图像交于点．已知点的坐标，点的坐标． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)点是的中点，将向右平移，使点落在反比例函数的图像上，此时点的坐标为______． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设将向右平移m个单位，使点在落在反比例函数的图像上，此时平移后点D的坐标为，点A的坐标为，把点代入，求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 将点和点分别代入，得∶ 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， ∵点是的中点， ∴点， 设将向右平移m个单位，使点落在反比例函数的图像上， 此时平移后点D的坐标为，点A的坐标为， 把点代入，得：， 解得：， ∴点A的坐标为． 【变式8-1】（2026九年级下·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边交于点F．若点D的坐标为，则点F的坐标是________． 【答案】 【分析】过点D作于点M，过点C作于点N，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A和点C的坐标，进一步即可利用待定系数法求出反比例函数的解析式和直线的解析式，然后解由直线和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于点M，过点C作于点N， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵A是菱形的对角线交点，即点A为的中点， ∴点A的横坐标为，纵坐标为， 即，代入反比例函数，得， ∴反比例函数的关系式为， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数解析式和直线的解析式得， 解得（负值已舍去）， ∴点F的坐标为． 【变式8-2】（2025·河北邢台·二模）如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在y轴上，，且轴，函数的图象过点，且与交于点D，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合及等腰三角形的性质是解题的关键；过点A作于点E，由题意易得，然后可得，进而可得直线的解析式为，联立函数解析式可得点D坐标． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴， 过点A作于点E，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴； 故选A． 【变式8-3】（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点坐标为，一次函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，的解集； (3)在轴上找一点，使得的值最小．直接写出此时点的坐标为____，_____． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2) (3)； 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点B作轴于点D，则，可证明得到，则可求出点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点A关于x轴的对称点E，则，设点是轴上的任意一点，连接，由轴对称的性质可得，可证明当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则点M的坐标为． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴于点D，则， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把点B的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的解析式为； 把点B和点C的坐标代入得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为； （3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点E，则，设点是轴上的任意一点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点M的坐标为． 【题型9 反比例函数与一次函数的图象的实际应用】 【例9】（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【答案】D 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了，可判断B，设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为，利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【详解】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了，故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为， 将和代入， 得，解得 故加热一壶水时，与的函数表达式为． 当时，， 解得．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后与的函数关系式为（为常数，且）， 将代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得， （分钟）， 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意． 当时，，解得， 当时，，解得， 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟， 故C正确，不符合题意． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 【变式9-2】研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． （1）根据图像经过点和点，利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式即可； （2）分当，即时，当，即时，两种情况根据眼疲劳系数恰好减少了4，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间不大于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， ∵图像经过点， ∴． 解得． ∴眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为； 当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， ∵图像经过点和， ∴， ∴解得， ∴眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，． 【变式9-3】如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效． (1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度； (2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗? (3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药? 【答案】(1)第16小时的血液浓度为3微克/毫升，第22小时的血液浓度为11微克/毫升 (2)不超过6小时 (3)48小时 【分析】（1）先求双曲线的函数解析式，可得第16小时的血液浓度，再求直线的解析式，得，再求直线的函数解析式，即可得第22小时的血液浓度； （2）将代入直线的解析式和双曲线的解析式，即可得答案； （3）曲线的函数解析式为，将代入，即可得答案． 【详解】（1）解：把点代入双曲线的解析式得，， 双曲线的函数解析式， 当时，，即第16小时的血液浓度为3微克/毫升， 设直线的解析式为，把点代入得，， ∵OA与BC平行， ∴直线、OB的解析式中的k一样， 设直线的解析式为，把点代入得， 直线的函数解析式， 当时，，即第22小时的血液浓度为11微克/毫升； （2）当时，若，则，解得， 当时，若，则，解得， ． 这16小时内药物有疗效的持续时间不超过6小时； （3）把点代入得，． 曲线的函数解析式为，当时，，． ∴受试者第二次服药后至少过48小时，才能进行第三次服药． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的应用，解题的关键是正确的求出函数的解析式． 【题型10 反比例函数与一次函数关系式的实际应用】 【例10】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表： 流程 变量 加热过程 水温下降过程 0 1 2 3 4 … 8 10 20 … 20 40 60 80 100 … 50 40 20 … (1)饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (2)饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (3)已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间． 【答案】(1)一次函数模型， (2)反比例函数模型， (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用，得到一次函数和反比例函数模型是解答的关键． （1）先根据表格数据得到加热过程中的水温与通电时间满足一次函数模型，然后利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先根据表格数据得到下降过程中的水温与通电时间满足反比例函数模型，然后利用待定系数法求解函数表达式即可； （3）求出水温是时的通电时间即可求解． 【详解】（1）解：∵每过1分钟，水温上升，所以加热过程中的水温与通电时间满足一次函数模型． 设一次函数表达式为， 过点， ，解得， ，； （2）解： 停止加热水温下降时，水温与通电时间满足反比例函数模型， 设反比例函数表达式为， 则， ； （3）解：在中，当时，由得， 在中，当时，， ∴， 从饮水机加热开始到可以饮用需要． 【变式10-1】通过市场调查发现，一段时间内某地区一种农产品的需求量与市场价格之间存在下列函数关系：，且该地区这种农产品的产量与市场价格成正比例关系：．现不计其他因素影响，若需求量y等于产量z时，则称市场处于平衡状态． (1)当市场处于平衡状态时，求该地区这种农产品的市场价格； (2)受国家政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，大力提高产品质量，此时产量z与市场价格x之间的函数关系不变，但需求量y与市场价格x之间的函数关系发生了变化，满足新的函数关系：．当市场再次处于平衡状态时，市场价格比原平衡状态时上涨了15元，求m的值． 【答案】(1) (2)320000 【分析】本题主要考查了函数与方程的应用．熟练掌握函数与方程的关系，根据“需求量=生产数量”列出方程，是解题的关键． （1）平衡状态时，让得到x的方程，求出相应的x； （2）处于平衡状态时，市场价格为40元，代入“需求量=生产数量”，求出m值，即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得 ， 经检验，，都是方程的解，不合题意，舍去， 答：当市场处于平衡状态时，该地区这种农产品的市场价格为； （2）由题意得方程的解为， ∴， 解得． 故m的值为320000． 【变式10-2】（2025·河北邯郸·二模）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 【答案】(1) (2)最小成本2640元 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质， （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出不等式，求出，设生产这200件产品的成本为，根据题意表示出W，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，由题意得， 解得， 所以； （2）解：由题意得，， 解得， 设生产这200件产品的成本为， 则 因为， 所以随的增大而减小； 所以当时，最小，最小值2640元． 【变式10-3】（2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将，代入，求出k、b的值，即可得出函数解析式； （2）根据可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得出，将，，代入求出结果即可； （3）根据反比例函数的性质得出随的增大而增大，从而得出当取最大值3时，有最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴． （2）解：由题意得：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴， 将，，代入化简得： ． （3）解：∵中，， ∴随的增大而增大，即当取最大值3时，有最大值， ∴最大为， ∵，符合的取值范围， ∴该装置可监测的最高环境温度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数与一次函数的综合（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 单反比例函数中由模型求面积】 1 【题型2 单反比例函数中等积变形】 2 【题型3 双反比例函数中由模型求面积】 3 【题型4 双反比例函数中等积变形】 5 【题型5 知三角形面积求k】 5 【题型6 知四边形面积求k】 6 【题型7 知阴影部分面积求k】 7 【题型8 知面积之间的关系求解】 9 【题型9 求阴影部分图形面积】 10 【题型10 确定面积之间的关系】 12 【题型1 反比例函数与一次函数的图象综合判断】 【例1】（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式1-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第_______象限．    【变式1-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【题型2 根据反比例函数与一次函数的图象求方程的解】 【例2】数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线与双曲线相交于点．根据图象可知关于的方程的解是（    ）    A．或1 B．或2 C．1或2 D．或 【变式2-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数）与正比例函数的图象交点的纵坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】解方程“”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为(   ) A． B．， C．， D． 【题型3 根据反比例函数与一次函数的图象求不等式的解集】 【例3】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式3-1】如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，不等式的解集为（    ）    A．或 B．或 C． D．或 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求的值及点B的坐标； (2)结合图象，请直接写出当时，不等式的解集． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求的值； (2)根据图象直接写出不等式时的取值范围； (3)若动点在轴上，求的最小值． 【题型4 结合反比例函数与一次函数的交点求代数式的值】 【例4】（2026·浙江温州·模拟预测）在直角坐标系中，若与的函数图象交点坐标为，则代数式的值为_____． 【变式4-1】（2026·广东中山·一模）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______． 【变式4-2】（2026·陕西汉中·二模）若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为________． 【变式4-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）已知正比例函数与反比例函数的图像交于两点，则式子的值是_______． 【题型5 结合反比例函数与一次函数的交点比较大小】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小：_____________． 【变式5-1】（2025·浙江·模拟预测）已知反比例函数的图象经过两点． (1)当时，求的取值范围． (2)设一次函数，当时，比较与的大小． 【变式5-2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较的大小． 【变式5-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知直线（为常数，且）与双曲线（为常数，且）相交于A，B两点． (1)若点A的坐标是，求点B的坐标． (2)若点A，B的横坐标分别为m，． ①求m的值． ②若点在直线上，点在双曲线上，且，请比较与的大小，并说明理由． 【题型6 结合反比例函数与一次函数的图象求面积】 【例6】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【变式6-1】（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【变式6-2】（24-25九年级上·山东济南·月考）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、 点． (1)求一次函数的解析式及 面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点 坐标轴上的一点，且满足的面积等于 面积的倍，直接写出点的坐标． 【题型7 结合反比例函数与一次函数的图象求k】 【例7】（2026·江苏南京·一模）如图，正比例函数图像与反比例函数的图像交于点、，点在轴上，若，的面积是6，则的值为______． 【变式7-1】如图，直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点．连接OA，OB，若△AOB的面积是6.则双曲线的表达式是______． 【变式7-2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 【变式7-3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求，，的值； (2)点是（）的图象上一点，轴交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 【题型8 结合反比例函数与一次函数的图象求坐标】 【例8】（2026·江苏常州·一模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴，轴交于、两点，与反比例函数的图像交于点．已知点的坐标，点的坐标． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)点是的中点，将向右平移，使点落在反比例函数的图像上，此时点的坐标为______． 【变式8-1】（2026九年级下·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边交于点F．若点D的坐标为，则点F的坐标是________． 【变式8-2】（2025·河北邢台·二模）如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在y轴上，，且轴，函数的图象过点，且与交于点D，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点坐标为，一次函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，的解集； (3)在轴上找一点，使得的值最小．直接写出此时点的坐标为____，_____． 【题型9 反比例函数与一次函数的图象的实际应用】 【例9】（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【变式9-2】研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 【变式9-3】如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效． (1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度； (2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗? (3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药? 【题型10 反比例函数与一次函数关系式的实际应用】 【例10】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表： 流程 变量 加热过程 水温下降过程 0 1 2 3 4 … 8 10 20 … 20 40 60 80 100 … 50 40 20 … (1)饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (2)饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (3)已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间． 【变式10-1】通过市场调查发现，一段时间内某地区一种农产品的需求量与市场价格之间存在下列函数关系：，且该地区这种农产品的产量与市场价格成正比例关系：．现不计其他因素影响，若需求量y等于产量z时，则称市场处于平衡状态． (1)当市场处于平衡状态时，求该地区这种农产品的市场价格； (2)受国家政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，大力提高产品质量，此时产量z与市场价格x之间的函数关系不变，但需求量y与市场价格x之间的函数关系发生了变化，满足新的函数关系：．当市场再次处于平衡状态时，市场价格比原平衡状态时上涨了15元，求m的值． 【变式10-2】（2025·河北邯郸·二模）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 【变式10-3】（2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $