第1章反比例函数 小结与思考 单元练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 反比例函数单元复习卷，通过生活情境（如台灯调控、蓄电池电流）与几何综合（等腰直角三角形、正方形），覆盖基础定义到实际应用，适配单元小结，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/24分|反比例函数定义、图像性质|结合平行四边形面积等实际案例考比例关系| |填空题|8题/24分|解析式求法、实际应用|阿基米德杠杆原理等跨学科情境| |解答题|8题/72分|图像综合、建模应用|21题体育课运动指标分段函数建模，20题正方形与反比例函数动态探究|

第1章 反比例函数 小结与思考 同步练习 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 4．（本题3分）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　） A．B． C． D． 5．（本题3分）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数表达式是 C．当时， D．当时，则 6．（本题3分）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）调光台灯的灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化而改变．如图是某台灯的电流与电阻的函数图象，该图象经过点．下列说法中错误的是（   ）    A． B．当时， C．当时， D．当时， 8．（本题3分）如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）已知y与x成反比例，且当时，，则当时，x的值为__________． 10．（本题3分）函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是______． 11．（本题3分）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为，当时，I的值为______A． 12．（本题3分）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则__________． 13．（本题3分）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是____________________ ． 14．（本题3分）已知函数是反比例函数，则 ____ ． 15．（本题3分）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． 当气球内的气压超过时，气球会爆炸． 由此可判断时，气球__________爆炸．（用“会”或“不会”填空）    16．（本题3分）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知y是x的反比例函数，且时，． (1)求出y与x之间的函数表达式． (2)当时，求y的值． 18．（本题8分）已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 19． （本题8分）已知函数是反比例函数，求m的值． 20．（本题8分）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本题8分）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 22．（本题8分）已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴交于点．已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式． (2)请直接写出不等式的解． (3)若点在反比例函数图象上且，求点的坐标． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式：或或的函数是反比例函数．据此解答即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数，故该选项符合题意； B．是反比例函数，故该选项不符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意． 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据在反比例函数图象上的点一定满足对应的反比例函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足对应的反比例函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为， ∴四个选项中，A、B、C三个选项中的点在反比例函数图象上，D选项中的点不在反比例函数图象上， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 4．B 【分析】根据题意有：，即；故与之间的函数图象为反比例函数，且根据，实际意义得，应大于0，其图象在第一象限．即可得出结果．考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 【详解】解：， ． 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解． 【详解】设反比例函数的解析式为， 把点坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，，故C不正确； 当时，，当时，， 图象表明当时，则，故D正确； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点，，分别代入即可求得的值，就可以判断，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解： ∵点，，在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，明确题意，用数形结合的思想解答是解题的关键． 根据函数图象中的数据逐项判断即可． 【详解】解：由函数图象可知，与成反比例关系， 当时，， ， 即， 故A选项不符合题意； 当时，， 故B选项符合题意； 当时，， 即， 故C选项不符合题意； 当时，的取值范围是， 故D选项不符合题意； 故选： B． 8．C 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 9．3 【分析】首先根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把当时，代入求出的值，进而可得当时，的值． 【详解】解：与成反比例， ， 当时，， ， 反比例函数解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式． 10．或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的性质，先代入已知数据求出是求解的关键．先把“当时，”代入函数解析式，求出值，再根据反比例函数图象的性质代入函数值的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：当时，， ， 函数解析式为，在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 解得或． 故答案为：或． 11．8 【分析】此题考查的是求反比例函数值，直接将代入中可得的值． 【详解】解：当时，， 故答案为：8． 12．4 【分析】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征解决此题． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：4． 13． 【分析】根据杠杆原理，阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，代入已知数据整理即可得到所求函数表达式． 【详解】解：由杠杆平衡条件可得， 则， 根据等式性质变形得． 14． 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 15．不会 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．设，将代入求出，求得，由时，气球将爆炸，得到，即，求得．因为，于是得到气球不会爆炸． 【详解】解：设，将代入求出， ， 当时，气球将爆炸， ，即，解得， ， 气球不会爆炸， 故答案为：不会． 16． 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数值的计算求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 因为时，， 所以有，解得， 所以y与x的函数表达式为． （2）解：把代入，得． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【详解】（1）∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）∵， ∴当时，． 19．1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 20．(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键． （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 21．(1)当时的函数解析式为；当时的函数解析式为 (2)老师的教学设计能实现，见解析 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设当时的函数解析式为，把代入求解即可；设当时的函数解析式为，把代入求解即可； （2）将代入，求得，将代入，求得，由，即可判断． 【详解】（1）解：设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 当时的函数解析式为，当时的函数解析式为； （2）解：能实现． 将代入得， 解得，（舍去）， 将代入得， 解得， ， 老师的教学设计能实现． 22．(1)，画图见详解 (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 23．(1) (2)或 (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、图象法求不等式的解集，求反比例函数与一次函数图象的交点坐标， 等面积法的运用，角平分线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线，利用数形结合思想求解是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求解即可； （2）利用函数图象，求得反比例函数图象位于一次函数图象上方部分或重合处的点的横坐标的取值范围即可； （3）当点E为第一象限内的点时，设射线与轴的交点为F，过点A作轴于点H，，交轴于点D， 设，利用勾股定理和等面积法解得，再利用角平分线的性质推出，接着可求出点F的坐标，利用待定系数法求直线的解析式， 再联立直线与反比例函数的解析式解方程求点E的坐标；过点A作，交轴于点M，可得，设， 利用等面积法求出，往下的解法同第1种情况，综合可得点E的坐标． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，可得， 反比例函数的解析式为． （2）解： 不等式可化为， 由函数图象可知，当或时，， 不等式的解集为或． （3）解：将点代入，可得，， 直线的解析式为， 当时，由解得，故， 如图1，当点E为第一象限内的点时，设射线与轴的交点为F，过点A作轴于点H，，交轴于点D， 则，，， 由勾股定理得，， 设，则，， 由勾股定理得， 由，得， ， 方程两边平方整理得，，解得， ，， ，， ， 平分， 点F到和的距离相等， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 代入点，，可得， 解得， 直线的解析式为， 解方程得，，， 当时，， ； 如图2，过点A作，交轴于点M，则， ， 设，则，， ，， ， 由得，， ， 两边平方整理得，解得， ， 同理可求直线的解析式为， 解方程得，，， 当时，， ， 综上可知点的坐标为或． 24．(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $