第1章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 反比例函数单元强化卷，涵盖定义、图像性质、几何综合及跨学科应用，适配单元复习，注重通过真实情境发展抽象能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|定义（第1题）、图像性质（第3题）|跨学科情境（二胡演奏频率与弦长关系）| |填空题|8/16|几何结合（第11题平行四边形）、实际应用（溶液稀释）|生活情境（双曲线冷却塔纵截面）| |解答题|11/68|一次函数综合（第18题）、探究题（第26题平行四边形存在性）|分层设计（基础计算到综合探究）|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章反比例函数（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.若少-2 是反比例函数，则”的值为() A.2 B.1 c.0 D.-1 2.下列给出的各个点中，不在双曲线y=一式上的点为( A.(16) B.(2,-3) c.(16) D.（-2,3) M(a,-3)N(2,b) 3.反比例函数图象经过 两点，若a<-2,则b的取值范围是() A.b<-3 B.b>-3 C.b<3 D.b>3 4已知发去0则反比制证数y-产和次西数y三-2+3的图象可他是《) ) 5.知图。点A在反比例函数-(X<0)的图象上，点B是O4上一点，作4C1抽于点C:蓝接C 若0B=兮01，AO8C的面积为2：则k的值为（） 1/11 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 A.6 B.-6 C.12 D.-12 6.如图，点A、B是反比例函数》=文(k≠0)图象上的两点，延长线段BA交y轴于点C,且点A为线段 BC中点，连接 1、0B,若5n=3, ,则的值为() B A.1 B.2 C.3 D.4 7./跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率」（单位：Hz)与振动弦 长！（单位：m)近似成反比例函数关系，其图像如图所示.根据图像，下列结论正确的是（） fHz 240 0.5 l/m A,该函数图像满足的表达式为「-240 B.当振动弦长1为0.6m时，振动频率∫为200Hz C.当振动弦长1<0.5m时，振动频率∫<240Hz D.该函数图像与坐标轴有一个交点 8.如图，一次函数y=x+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=x的图象相交于CD 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F,连接CFDE,有下列结论：①ACEF与 ADEF的面积相等；②EF∥CD:③ADCE≌ACDF;④AC=BD:⑤aCEF的面积等于2，其中正确的个 数是() A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.己知点4(2，)，B(3,)都在反比例函数y=的图象上，比较片与y,的大小： 10.将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度 (g/D)与溶液总体积 心)之间满足反比例函数 关系，其图象如图所示，当溶液总体积为12L时，氯化钠的浓度为gL」 y(g/L) x(L) 1如图、在T面直角≤标系中，点有B均在稻数y=（>0)的图象上，AC1:箱于点C·DB1x精 于点D,连接01，BC,若点C(2,0),BD=4,Sac=16,则Sam 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 12.如图，反比例函数y=(x>0)的图像经过。AB0的顶点A,点B在y轴上，∠AB0=135, OA2-0B2=6k= ,则 .2 13.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=x上， 6 顶点B在反比例函数y=t上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形O4BC的面积是 14,如图，点4在反比例西数y-<0)的图象上，点B是O1上一点，过点A作AC1x铂于点C,连结 BC.若OBOL,AOBC的面为1：则k的值为 3 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 15.火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1）， 它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平 分线为y轴建立平面直角坐标系，其中曲线DE和曲线CF分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔 的高度为l10m,BC=20m,上口宽EF=l6m,则底部直径AB的长为m. D C A B衣 图1 图2 16.如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数'=x的图象上，且它 们的底边都相等.若a018,△44品，△44A,△4eB的面积分别为， S S2 S 2026 Sw的值 B B2 B3 A2 A3 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18题6分，19题4分，20-21每题5分，22-25 题每题6分，26题11分，27题10分。 17.在功W(单位：J)一定的条件下，功率P(单位：W)与做功时间t(单位：s)成反比例，P与t 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 之间的函数关系如图所示.求当t=30时，P的值. AP/W 20---- o1 60 18.如图，在平面直角坐标系中，48两点的坐标分别是3-(m,3),过48两点的直线 y=r+ba≠0)与x轴，y轴分别胶于点C.D,双曲线y-+0)与该直线交于么B两点 (1)求直线和双曲线的函数的表达式： (②根据图象直接写出不等式ar+b x的解集： )在第三象限的反比例函数图象上有一点P,满足SAon=45om 求点P的坐标. 19.世蜘反比剂酒数-套(50>的同象经过点（代 (1)求k的值： (2)判断点（山，6）是否在该反比例函数的图象上. 20.如图，反比例函数y=(x>0)与一次函数”，=-x+a的图象交于点A,B,且B点坐标为(6,1). 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ①求反比例函数-兰x>0)和一次面数=一+a的解析式 ②点P为线段B上的一点，过P作y轴的垂线，重足为以，PH与反比例函数片-（x>0)的图象交于点 C,当点C为PH中点时，求点C的坐标 21.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液 中的高度 h(cm) 是液体的密度 p(glcm) 的反比例函数，其图像如图所示(P>0), 根据函数图像， 回答下列问题： 个h(cm) 20 o 1 p/(g/cm2) (1)写出浸液高度 (cm关于液体密度P(g/cm 的反比例函数解析式： ②)当溶液密度P=2g/cm 时，密度计浸在溶液中的高度为_cm (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm(高度过低会导致密度计倾倒失效)，求该密度计 可正常测量的溶液密度P的取值范围. 22.如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，对角线OB,AC相交于点D,已知点 (8,4) ,反比例 函数y(x>0)的图象经过点D. 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)求反比例函数的解析式： (2)延长BC交反比例函数的图象于点E,交y轴于点F,连接DE,求△ODE的面积. 23.图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升16C,加热到100°C时，停止加热，水温开始下 y(C) x(min） 降，此时水温 是通电时间 的反比例函数，若在水温为20C时开始加热，水温'与通电时间x 之间的函数关系如图2所示. ◆y/C 100 20 0 x/min (1)将水从20°C加热到100C需要 min; (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式： (3)加热一次，水温不低于50°C的时间有多长？ 24、如图。在平面直角坐标系中，直线B分别与镇、y轴交于点有a,与反比例面数y冬 =x（k>0） k 的图象交于点c,已知点4的坐标为(-3,0)，点c的坐标为(1,8)，点D在反比例函数y=x(k>0)的图 象上，纵坐标为3. 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点B的坐标： (2)连接BD,OD,求四边形ABDO的面积 25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于A,B两点，其中点 A、点B的横坐标分别是4和3. 山当+b>产动、自变世x的取位童调为 (2)求出一次函数和反比例函数的表达式： (③)将直线AB向上平移l个单位长度后，与反比例函数图象交于C,D两点，与两坐标轴分别相交于E,F 两点.若 S.A8C=14 ,求的值， 26。如图1，已知点1(2,0，B(Q,4),平行四边形ABCD的边4D与y轴交于点E0,),且8为4D的中 点，双曲线y=经过C、D两点. 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)求反比例函数表达式： (②)点P在双曲线y=x上，点O在x轴上，若以点1、B,卫、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要 求的所有点Q的坐标： (3)以线段AB为对角线作正方形AFBH(如图3)，点P为对角线AB上一动点，连接PH,过点P作 PM⊥PH.交BF于点M,以PH、PM为邻边作矩形PMNH,连接BN.试探究：BP+BN的值是否为 定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出BP+BN值的范围. 1 27.如图1，在平面直角坐标系中，直线1B:y=2x+2分别交x轴，y轴于点A和点B,交反比例函数 y=《(x>0)的图象于点C,点C的横坐标为2， 图1 图2 图3 (1)求k的值： (②)E为直线AB上一点，且位于点C右侧. ①如图2，连接OE,交反比例函数的图象于点P,过点E作EFLx轴于点F,交反比例函数的图象于点 EO O,若OP=PE,求FO的值： CE 3 ②如图3，过点E作DE⊥AB,交直线AB下方的反比例函数图象于点D,连接0C,OD,CD,若DE4, 求△COD的面积. 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11/11 第1章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 2．下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的坐标特征，双曲线上任意一点的横纵坐标乘积满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，找出乘积不等于的点即可． 【详解】∵ ， ∴ 双曲线上的点一定满足。 A. ，因此该点不在双曲线上，符合要求； B. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； C. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； D. ，因此该点在双曲线上，不符合要求． 3．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 4．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 5．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 6．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 7．/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 【答案】B 【分析】首先结合图像确定该反比例函数的解析式，然后结合反比例函数的图像与性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：设弦的振动频率与振动弦长的函数关系为， 由图可知，该函数图像经过点，即， 解得， ∴该函数图像满足的表达式为，故选项A错误，不符合题意； 当振动弦长为时，振动频率，B选项正确，符合题意； ∵， ∴该函数图像在第一象限内，随的增大而减小， 当振动弦长时，振动频率， 故选项C错误，不符合题意； 该反比例函数的图像只会与坐标轴无限接近，不会与坐标轴相交， 故D选项错误，不符合题意． 8．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】（1）求出，同理，可判断⑤①；分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则，根据，可得，可得四边形为平行四边形，可判断②；证明四边形和是平行四边形，可判断④． 【详解】解：∵轴， ∴， 同理，故⑤正确； ∴，故①正确； 如图，分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，故②正确； ③根据题意无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； 根据题意可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理四边形是平行四边形， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 10．将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 【答案】2 【分析】根据函数图象求出反比例函数的解析式，令，求解y． 【详解】解：已知氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系， ∴设y与x之间的函数解析式为， 由图象可得函数图象过点， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为． 11．如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义求出，再根据的长求出点的坐标，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：轴，， ∴， 反比例函数解析式为， ∵， ， 轴，， 点的纵坐标为4， 当时，， 解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 12．如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 【答案】3 【分析】设，过A作轴于D，证明是等腰直角三角形，得到，，利用已知条件和勾股定理求得，再利用反比例函数图像上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：设，过A作轴于D，则，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴ ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 14．如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 【答案】 【分析】设点的坐标是，可得：，根据，可得：，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， ， ， , ， ． 15．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 16．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18题6分，19题4分，20-21每题5分，22-25题每题6分，26题11分，27题10分。 17．在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．求当时，P的值． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用． 根据图象可得点在反比例函数图象上，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得当时的P值即可． 【详解】解：由图象知，点在反比例函数图象上， 设反比例函数的解析式为，则， ∴该反比例函数的解析式为， 当时，． 18．如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． (1)求直线和双曲线的函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将 代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得， ， 点P坐标为． 19．已知反比例函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】(1) ； (2) 点不在该反比例函数的图象上． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）将代入即可求解； （2）计算当时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得； （2）解：， 当时，， ∴点不在该反比例函数的图象上． 20．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： (2)或 【分析】（1）运用待定系数法，将分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它们的函数解析式； （2）设点P的纵坐标为m，由点P为线段上的一点，则有，由已知可得，，根据点C为中点，可得，最后由点C在反比例函数图象上，将点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，B点坐标为， ∴将代入反比例函数中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：； 同理，将代入一次函数中， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设点P的纵坐标为m， ∵点P为线段上的一点，一次函数的解析式为：， ∴， ∵过P作y轴的垂线，垂足为H， ∴， ∵点C为中点， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或． 21．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 22．如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据中点坐标公式先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点的坐标为，从而得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：点D是菱形的对角线的交点， ∴点D是的中点， ∵点，点， 点D的坐标为：，即， 将点代入反比例函数中得， 解得：； ； （2）解：四边形是菱形， ，， ． 点的纵坐标为4， 当时，， ， 点的坐标为， ， ． 23．图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要________； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 【详解】（1）解：升温总温差：， 用时：； （2）由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； （3）在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 【点睛】升温阶段和降温阶段共用分界点是解题关键，把“温度不低于”转化为函数取值范围，分段求解自变量取值,再计算时长，是函数应用题常用方法． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)17 【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可； （2）根据，解答即可； 【详解】（1）解：反比例函数（）经过点， ， 解得， 故反比例函数的解析式为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为， 当时，， 故点B的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， ， 解得， ， ， ． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3) 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 26．如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围． 【答案】(1)； (2)或或； (3)是，． 【分析】（1）求解，设，结合，可得，可得，进一步可得答案； （2）如图，当为对角线时，四边形为平行四边形；如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，进一步结合平移性质与平行四边形的性质求解即可； （3）如图，作于，于，证明四边形为正方形，可得，证明，可得，证明矩形为正方形，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，为中点， ∴， 设， 又∵， ∴， ∵点，都在双曲线上， ∴， ∴， ∴； ∴反比例函数表达式为：； （2）解：如图，当为对角线时，四边形为平行四边形； ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 综上：或或； （3）解：如图，作于，于，   点是正方形对角线上的点， ∴，， ， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴矩形为正方形， 正方形和正方形， ，，， ， ， ， ∴是定值． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 27．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，交反比例函数的图象于点C，点C的横坐标为2． (1)求k的值； (2)E为直线上一点，且位于点C右侧． ①如图2，连接，交反比例函数的图象于点P，过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q，若，求的值； ②如图3，过点E作，交直线下方的反比例函数图象于点D，连接，若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）先求出，再把代入得； （2）①设，且，由垂直得，，则，再根据，得中点代入得，整理得，整体代入求值即可； ②设，过作轴于，过作轴于，过作轴交于，与交于，则，得到，再证明，得到，结合，代入解得得，最后求梯形面积即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵直线交反比例函数的图象于点C， ∴把代入得， 解得； （2）解：由（1）得反比例函数， ∵E为直线上一点，且位于点C右侧， ∴设，且， ①∵过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴中点， 把代入得， 整理得， ∴； ②过作轴于，过作轴于，过作轴交于，与交于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， 消去整理得， 解得， ∴， ∴，，， ∴ ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 2 3 4 6 7 8 答案 D A D C D D B C 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.> 10.2 11.12 12.3 13.4 14.-3 15.88 1 16.4051 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18题6分，19题4分，20-21每题5分，22-25 题每题6分，26题11分，27题10分。 17.40W 60,20) 【详解】解：由图象知，点 在反比例函数图象上， 设反比例函数的解析式为P= =k(k≠0，则k=60×20=1200,7 该反比例函数的解析式为P-1200 t, 当1=30时，P=1200 40W 30 3 18.(①)y=,y=x+2 (2)x<-3或0<x<1 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】少解：将A(-3-)代入=得，1-冬 k -3 .k=3, 3 反比例函数的解析式为’= 将B(3)代入=得，3= m,则m=1 点B的坐标为 1,3) 将点A和点B的坐标代入y=ar+ba≠0)得， -3a+b=-1 1a+b=3, a=1 解得b=2, ·一次函数的解析式为 =x+2 (2)解：根据所给函数图象可知， 当x<-3或0<x<1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即欧+b<冬 (不等武+b<的解集为：x<3政0<x< (3)解：将x=0代入y=x+2得，y=2, 点D的坐标为 则0D=2 0,2) 1 Som-2×2x1=l, .SAOCP =4SAOBD=4 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将y=0代入y=x+2,得x=-2, “点C的坐标为-2,0)，则0C=2, Sm=2×2x刘=4， 解得4 ,点P在第三象限， %4 将=4代入少得，= 4 19.(1) k=12; ②点6 不在该反比例函数的图象上 【详解】（山）解：将(4,3)代入y= 得3-音 解得k=3×4=12: 12 (2)解：y= 当x1时，y=2=12≠6 1 ，6)不在该反比例函数的图象上 点 20,Q①反比例西数的解析式为：片（x>0),一次函数的解析式为：为=-+7 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】()解：：反比捌函数(x>0)与一次函数：-x+口的图象交于点4，B,8点坐标为 (6,1) 将B6)代入反比例函数y-x>0)中， 得：1← 6 解得：k=6, “反比例函数的解析式为：y-(x>0): 同理，将 (6,1代入一次函数-+0中， 得：1=-6+a, 解得：a=7, 3=-x+7 ∴.一次函数的解析式为： (2)解：设点P的纵坐标为m, :点P为线段1B上的一点，一次函数的解析式为：片=一x+7, :P(7-mm） ,过P作y轴的垂线，垂足为H, .H(0,m) 点C为PH中点， ,点C在反比例函数图象上， (7-mm=6 (2 整理得：m2-7m+12=0, 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：m=3或m=4, c)安[. 21.(1)反比例函数解析式为 p (2)10 (3)该密度计可正常测量的溶液密度P的取值范围为 <p≤4g/cm3 【详解】(1)解：设反比例函数的解析式为”P,代入图像上点(L,20)得k=1×20=20, :hs20 p: 20 h= (2)解：p,p=2, 0 得h=2 =10 0 (3)解：由题意可知，h≥5：即p 5，解得p≤4' 又P>0 0<p≤4g/cm3 <p≤4g/cm3 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 8 22.(1)y= (2)6 【详解】(1)解：？点D是菱形OABC的对角线的交点， ∴点D是OB的中点， 点O0,0),点B(84) 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0+80+4 点D的坐标为： 22,即D4,2), 将点D4,2)代入反比例两数y-x>0)中得2-年 解得：k=8； y=8 x (2)解：四边形OABC是菱形， ∴.BCIIOA OD=BD .∠BFO=∠AOF=90° 点E的纵坐标为4， 当=4时，4=8 x=2, 点E的坐标为 2,4) .BE=8-2=6 1 11 1 ×二×BE×OF=二×6×4=6 4 23.(1)5 ay=9列 (i) 【详解】(1)解：升温总温差：100-20=80C, 80÷16=5(min) 用时： (2②)由(1)得停止加热点坐标为610) :降温时，水温(C)是通电时间x(mi)的反比例函数， 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设降温过程中，即x≥5时，水温y关于通电时间x的函数表达式为少=（化≠0）。 把(5,10)代入y=k≠0)中得：100《 5, 解得：k=500, 一在水温下降的过程中，水温y关于通电时间x的函数表达式为y 500(x≥5)， (3)在升温段，即0≤5时， 50-2015 :水温从20°C升到50°C时所用时间为16=8 (min). .15 ∴当8≤x<5时，水温不低于50C, 在降温段，即x≥5时， 500 :当y=50时，x= =10 50 ∴.当5≤x≤10时，水温不低于50C, 综上所述：当 5≤x≤10时，水温不低于50C 水温不低于50C的时长为10-5=6 88(min). 24.(0)y=8 ’y=2x+6,(0,6) (2)17 【详解】(1)解：反比例函数y=x(k>0)经过点C(L,8), 8 1 解得k=8, 故反比例函数的解析式为少=8 设AB的解析式为y=a+b, 「k+b=8 根据题意，得-3k+b=0, 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [k=2 解得b=6, ∴.AB y=2x+6 的解析式为 当x=0时，y=6, 0,6) 故点B的坐标为 8 (2)解：点D在反比例函数y=的图象上，且纵坐标为3， 38 x' 解得 A(-3,0),B(0,6) ∴.OA=3,OB=6 ·Sg边形BD0=S。AB0+S,BD0 =04:0B+号0BxD 2 1 .18 =2X3x6+2×兮x6=9+8=17. 25.(1)-4<x<0或x>3 ③一次函数的表达式为：y=x+1,反比例函数的表达式为少-2 (3)m=4 【详解】(1)解：：一次函数y=x+b与反比例函数y=,的图象交于A,B两点，且点A、点B的横坐标 分别是-4和3. 心由图象可得：当x+b> x时，自变量x的取值范围为-4<x<0或x>3: (2)解：，点A、点B的横坐标分别是-4和3， 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 à点)凯 书4分引.小写)人-该函数=保 4+b=-k 4 k=12 解得：b=1, 小一次函数的表达式为：y=x+1,反比例函数的表达式为=2 (3)解：：直线ABICD, S△ABc=S△MBE=14 设直线AB与y轴交于点G, 令x=0,则y=1, .G(0,1) SABE =SAGE+SBGE 又 GE化-，)=14， 即cEx[3-(4]=14, 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得GE=4, .0E=4+1=5, :E(05) 设平移后的函数解析式为：y=x+d 把E(0,5)代入=x+d,得d=5 ·直线的表达式为 CD =x+5 ,直线AB向上平移m个单位长度， ∴.平移后的函数解析式为：y=x+1+m, .1+m=5, 解得：m=4. 26.0y=16 x i 2960)或6.0)或2,0 ③)是， BP+BN=25 【详解】山)解：：4(2,0，B(0,).E为D中点， ,to=2 设D2) 又，DC∥AB, :C(4,t-4) k 上， ,点C(4,t-4),D(2,t)都在双曲线y= :21=4-4) .t=8. 10116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .k=2×8=16: 反比例函数表达式为：y=16 x: (2)解：如图，当AQ为对角线时，四边形ABQP为平行四边形： .ABI‖PQ,AB=PQ, VA (16 Q(m,0) [x+2=m 6-4=0,解得： x=4 x m=6: :(60) 如图，当AP为对角线时，四边形AQPB为平行四边形， .ABI‖PO,AB=PQ 11/16 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 设. .16 g(m,0). [x-2=m 6+4=0,解得：1 x=-4 :.x m=-6? :(-6.0) 如图，当PO为对角线时，四边形ABPQ为平行四边形， .AP∥BQ,AP=BQ, 16 Px, 设（”x Q(m,0) 〔-2-x=m ÷0-0-(到，解得 x=-4 m=2: :(2,0) 综上：06.0)或-6,0)或2,0) (3)解：如图，作PO⊥BF于O,PG⊥BH于G, 12116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点 是正方形 对角线上的点， F AFBH ∴.∠FBH=90°，∠PBQ=∠PBG=45o ∴.PQ=PG .∠PQB=∠QBG=∠PGB=90° 、四边形PQBG为正方形， .∠QPG=90° ,PM⊥PH, ∴.∠MPH=90°， :.∠QPM+∠MPG=∠MPG+∠HPG=90° .∠QPM=∠HPG :∠PQM=∠PGH=90° ∴△POM≌△PGH(ASA) ∴.PM=PH, ∴，矩形PMNH为正方形， 正方形AFBH和正方形PMNH, ∴AH=BH,PH=NH,∠AHB=∠PHN=90°， .∠AHP=∠BHN, ,∴.△AHP≌ABHN(SAS) 13116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AP=BN, :BP+BN=BP+AP=AB=V2+4=25是定值， 27.(1)k=6 №=3 (2)0F0:②SACOD=8 【详解】（山解：当x=2时，分+2=×2+2=3， 2 .C(2,3) k :直线4B:y=2x+2交反比例函数y=(r>0)的图象于点C, 把C2,3)代入y=r>0)得3= 2 解得k=6: (2)解：由(1)得反比例数=x>0. E为直线AB上一点，且位于点C右侧， 设m2m+2 1 ,且m>2,, ①，过点E作EFLx轴于点F,交反比例函数的图象于点Q, 6 m, .m, F(m,0) a0-m+2-合f0-9 1 m :22m+261m 1 m2m+2m-6m2+4m-12 ..Fo 6 6 12 m .OP=PE. 0中传 14116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 11 m+1=1 把P2m4 m+1 代入y=x>0)得4” 2m, 整理得m2+4m=48, Eg_m2+4m-12_48-12=3 ..FO 12 12 ②过D作DN⊥x轴于N,过C作CM⊥x轴于M,过E作EG∥x轴交CM于G,与DN交于H,则 S.COM =S.DON =3 B .DE⊥AB, ∴.∠G=∠H=∠CED=90°， ∴.∠GEC=∠EDH=9O°-∠HED. ∴，△GECAHDE. GE CE CG ·DH DE EH, m2m+2 C(2,3), .CG+2-3-2m-l.EG-m-2. .m+2-g n CE 3 :DE4' 1 m-2。=32m- m+2-64n-m, 1 2 n 15116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 消去m整理得n2-8n+12=0, 1=2,n2=6 解得 :D6) .CM=3,DN=1,MN=6-2=4, .ScoD=S四边形OcDN-S.DON =S梯形CDNw+S,cOM-S.DoN =S梯形CDNM+3-3 =S梯形CDNM 0+3x4=-8 16116