精品解析： 山东省青岛市李沧区、城阳区、西海岸、平度市、胶州市五区 2024-2025学年八年级下学期期末联考数学试题

2024—2025学年度第二学期期末学业水平检测 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 未来的生活中，将扮演非常重要的角色．下列四个人工智能品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式中同时扩大为原来的3倍，分式的值将（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 缩小为原来 D. 缩小为原来的 6. 正三角形地砖广泛应用于园林景观设计中，如花坛边缘、露天步道等，还常与其他形状的正多边形地砖组合作为铺装材料．现有若干正三角形地砖，打算再购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖进行密铺，则不应购买的地砖形状是（　　） A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 7. 如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接．下列结论：①平分；②是等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是___________． 10. 一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式______． 11. 如图，在中，，，点在上，，将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，那么四边形的面积为______． 12. 如图，在中，，，对角线与相交于点，，交于点，则的周长为______． 13. 已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为______． 14. 如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，则的长度为______． 15. 如图，在四边形中，，平分．将四边形绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是______． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：，直线及上两点．求作：，使点在直线的上方，且，． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. （1）解不等式组： （2）化简：． 19. （1）因式分解：； （2）已知，，求的值． 20. “火灾无情，预防先行，未雨绸缪，方能化险为夷”．为加强消防安全，某工厂计划购买二氧化碳灭火器和干粉灭火器共100个．已知二氧化碳灭火器单价为68元，干粉灭火器的单价为90元．若该工厂购买这两种灭火器的总价不超过8000元，则最多可购买干粉灭火器多少个？ 21. 已知：如图，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 22. 如图，在四边形中，是的中点，，相交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 23. 年春晚，宇树科技机器人的秧歌舞惊艳了无数观众．某校积极响应国家“科教兴国”战略，拟开设智能机器人编程校本课程．学校计划购买A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型单价多元，用元购买A型机器人模型数量是用元购买B型数量的倍． （1）A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买A型和B型机器人模型共台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．那么购买A型机器人模型多少台时，费用最少？最少费用是多少？ 24. 定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． （1）下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． （2）已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； （3）若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； （4）若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 25. 已知，在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求的值； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点关于直线的对称点在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）连接，当以三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期末学业水平检测 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 未来的生活中，将扮演非常重要的角色．下列四个人工智能品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形和轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； B、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意， 故选：A． 2. “限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 故选：A． 3. 等腰中，，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质，底角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在等腰中，， 故． ∵， ∴； 故选B． 4. 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，需识别多项式是否符合的结构， 平方差公式为，其结构为两项且符号相反，据此求解即可． 【详解】解：A、为两项平方相加，无法用平方差公式分解，不符合题意． B、为完全平方式，可写为，不符合平方差结构，不符合题意． C、中，是，是，符合结构，分解为，符合题意． D、为完全平方式，可写为，不符合平方差结构，不符合题意． 故选：C． 5. 将分式中的同时扩大为原来的3倍，分式的值将（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质．熟练掌握分式的性质是解题的关键． 将分式中的m、n同时扩大为原来的3倍，分别代入计算新分式，并与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：原分式为，当m、n同时扩大3倍后，变为， 因此，新分式为， 这表明分式的值缩小为原来的， 故选D． 6. 正三角形地砖广泛应用于园林景观设计中，如花坛边缘、露天步道等，还常与其他形状的正多边形地砖组合作为铺装材料．现有若干正三角形地砖，打算再购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖进行密铺，则不应购买的地砖形状是（　　） A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，根据密铺的条件得，两个多边形内角和必须是，计算每个选项的内角，看是能和正三角形的内角和是否为，即可得． 【详解】A．正方形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意； B．正六边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意； C．正八边形的每个内角是，与不能组成的角，所以不能密铺，选项说法错误，符合题意； D．正十二边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，相交于点P， 则是由绕点P逆时针旋转得到， ∴点P的坐标为． 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接．下列结论：①平分；②是等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，由作图可知，平分，证明四边形是菱形，可得结论． 【详解】解：由作图可知，平分，故①正确， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 无法判断是等边三角形， 故①③④正确． 故选：B． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据数轴上折线的方向及圆点的特点可直接解答． 【详解】解：从图上可知，折线从2出发向左，且是空心圆点，所以解集为， 它的正整数解为1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是熟练掌握在数轴上表示不等式的解集． 10. 一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法是解题的关键． 利用提公因式法进行因式分解即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：(答案不唯一)． 11. 如图，在中，，，点在上，，将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，那么四边形的面积为______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了平移性质、等腰三角形的性质（等角对等边、三线合一）、勾股定理、平行四边形的判定及平行四边形面积的计算；掌握通过平移和等腰三角形性质求出梯形的高是解题的关键．根据平移性质得到及的长度，利用等腰三角形性质推出，作高后结合勾股定理求出，再证明平行四边形，进而计算四边形的面积． 【详解】解：∵将线段沿着的方向平移得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，对角线与相交于点，，交于点，则的周长为______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ， 的周长， 故答案为：19． 13. 已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据图象即可求解． 【详解】解：画出函数的大致图象如图： 由图象可知，当时，直线都在直线的上方， 所以关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由含30度角的直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理可得，由旋转的性质得到，证明是等边三角形，得到，则可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，，平分．将四边形绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，角平分线的定义 ，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义和旋转的性质的度数即可． 【详解】解：，平分． ， 又旋转的性质，可得， ， 即四边形旋转的角度是． 故答案为：75． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形变换与点坐标．根据正六边形的特点分别求出每个内角，外角的度数，以及边长的关系，再根据旋转的特殊计算出旋转规律，由此可知当时，点所在位置，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，未旋转时，连接，，正六边形的边长为1， ∵正六边形， ∴每个内角的度数为，即， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴， 当正六边形绕点顺时针旋转， ∴，即旋转12次，正六边形回到起始位置， ∴当时，，即旋转168轮后，点回到了的位置，如图所示， 同理，，， ∴，根据勾股定理得，， ∴， 即当时，顶点的坐标是， 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：，直线及上两点．求作：，使点在直线的上方，且，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图．在线段上方作，过点B作于点C，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． ． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. （1）解不等式组： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分式的混合运算，熟练掌握解不等式组的方法及相关运算法则是解题的关键． （1）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分即可； （2）将括号内的分式通分并计算，然后将除法化为乘法并约分即可． 【详解】（1）解：不等式组：， 由①得， 由②得． 解得； （2） ． 19. （1）因式分解：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （2）将通分后可求得的值，然后将原式因式分解后代入数值计算即可． 【详解】解：（1） ． （2），， ， ． 20. “火灾无情，预防先行，未雨绸缪，方能化险为夷”．为加强消防安全，某工厂计划购买二氧化碳灭火器和干粉灭火器共100个．已知二氧化碳灭火器的单价为68元，干粉灭火器的单价为90元．若该工厂购买这两种灭火器的总价不超过8000元，则最多可购买干粉灭火器多少个？ 【答案】54个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买干粉灭火器个，则购买二氧化碳灭火器个，利用总结单价数量，结合总价不超过8000元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设购买干粉灭火器个，则购买二氧化碳灭火器个． 由题意得， 解得． 为非负整数， 取54． 答：最多可购买干粉灭火器54个． 21. 已知：如图，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得，则，由线段的和差即可得． 【小问1详解】 证明：是的角平分线， ． ∵， ， ． 【小问2详解】 解：．理由： ， ． ∵， ，， ， ， ， ． 22. 如图，在四边形中，是的中点，，相交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理是，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明为的中位线，得出，即可得证； （2）由题意可得，由三角形中位线的性质可得，由平行四边形的性质可得，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， 是的中点． 又是的中点， 为的中位线， ∴，即． 又， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：，是的中点， ． 为的中位线，， ． 四边形为平行四边形， ． ，， ． 在中，， 在中，． 23. 年春晚，宇树科技机器人的秧歌舞惊艳了无数观众．某校积极响应国家“科教兴国”战略，拟开设智能机器人编程校本课程．学校计划购买A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型单价多元，用元购买A型机器人模型数量是用元购买B型数量的倍． （1）A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买A型和B型机器人模型共台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．那么购买A型机器人模型多少台时，费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价是元，B型机器人模型的单价是元 （2）购买A型机器人模型台时花费最少，最少花费是元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意列出式子是解题的关键． （1）设B型机器人模型的单价为元，A型机器人模型的单价为元．根据“A型机器人模型单价比B型单价多元，用元购买A型机器人模型数量是用元购买B型数量的倍”列式求解即可； （2）设购买A型机器人模型台，则B型机器人模型台，学校购买机器人模型的费用为元．利用“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出的取值范围，得出关于的一次函数关系式，利用一次函数性质即可求解． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型的单价为元，A型机器人模型的单价为元． 由题意得， 解得． 经检验是原方程的解． ， 答：A型机器人模型的单价是元，B型机器人模型的单价是元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型台，则B型机器人模型台，学校购买机器人模型的费用为元． 由题意得， 解得． ． ，随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为． 答：购买A型机器人模型台时花费最少，最少花费是元． 24. 定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． （1）下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． （2）已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； （3）若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； （4）若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 【答案】（1）②④ （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算、解一元一次方程方程，解决本题的关键是对新定义“n倍和积分式”的理解与应用，涉及分式的运算、方程求解及代数变形能力． （1）逐一验证各选项的和与积是否成固定倍数关系； （2）正确通分并化简，注意分母变形技巧； （3）设未知分式A，建立方程并解出A； （4）通过分式恒等条件，建立关于p和q的方程，消去n后求代数式的值． 【小问1详解】 解：对于①，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于②，， ， 所以与互为“4倍和积分式”； 对于③，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于④，， ，， 所以与互为“倍和积分式”； 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：因为与互为“n倍和积分式”， 所以， ， ， 所以与互为“倍和积分式”， n的值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：分式与分式互为“倍和积分式”， 所以，即， 所以， 所以， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”， 所以 ， ， 所以可得：，， 即，． 故答案为：． 25. 已知，在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求的值； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点关于直线的对称点在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）连接，当以三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）不存在，见解析 （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论； （2）由点关于直线的对称点在直线上，得到为的角平分线，即，根据平行线的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （3）过点作，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （4）根据平行四边形 到现在得到，得到，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵点关于直线的对称点在直线上， ∴为的角平分线， 即， 又 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴不存在合题意的的值； 小问3详解】 解：过点作， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵以三点为顶点的三角形是等腰三角形， ①当时，即， ∴， ②当时， 过作于， 则， ， ∴； ③当时， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为 2 或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $