专题03 交集、并集中的五大常考问题（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合运算参数求解与应用，以五大题型系统覆盖交集、并集核心问题，强化逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交集求参数|12题|含单选、多选、填空、解答，涉及子集个数等|从基础交集定义到参数范围推理，构建"结果→条件"逆向思维| |并集求参数|13题|包含区间与离散集合，多解问题占比高|通过并集结果反推集合关系，强化分类讨论思想| |交并补混合运算|14题|结合全集与补集，综合性逐步提升|融合交并补概念，形成集合运算完整认知链| |Veen图应用|12题|以实际情境为主，涉及容斥原理|将抽象集合关系转化为直观图形，培养几何直观| |新定义问题|12题|定义新运算与距离概念，创新性强|基于集合基本概念拓展，提升数学抽象与创新意识|

专题03 交集、并集中的五大常考问题 题型一 利用交集结果求参数 题型二 利用并集结果求参数 题型三 利用交并补混合运算结果求参数 题型四 Veen图在集合运算中的应用 题型五 集合运算中的新定义问题 题型一：利用交集结果求参数 1．已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 2．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 3．已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 4．已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 5．已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 6．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 7．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 8．（多选）设，下列选项正确的是（ ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D. 【详解】因为，所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，此时必有成立，故C正确； 对D，当时，，满足， 当时，，当时，，即，此时， 当时，，当时，，即，此时， 综上，，故D不正确. 故选：ABC 9．设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【分析】由，得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. 10．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 11．设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 12．已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合B后，再求两者交集即可； （2）根据可得，解出即可． 【详解】（1）当时，或， 故． （2）由，有，解得， 所以实数的取值范围为． 题型二：利用并集结果求参数 1．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 2．已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 3．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据得出集合与集合的关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】由，解不等式得，因此集合； 因为，所以； 已知，且，所以必须满足，即实数的取值范围是. 故选：D. 5．已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】解不等式化简集合A，根据可得，结合选项分析判断. 【详解】因为集合，， 若，则， 结合选项可知：ABD错误，C正确； 故选：C. 6．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用并集的结果列式求解. 【详解】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 7．（多选）已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意，讨论参数列方程求参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，令，得，令，得， 故的值可以为. 故选：ABD 8．（多选）已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】A解即可；B根据列不等式组；C根据，再分类讨论即可；D假设可得，再根据以及即可求出. 【详解】若，则，得，故A正确； 若，则，则，得，故B正确； 若，则， 若为空集，则，得； 若不为空集，则，，，得， 综上，，故C正确； 若，则，，且，由C选项可知，， 假设，则，得，故， 综上，，故D错误； 故选：ABC 9．设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由得集合是集合的真子集，根据集合的包含关系求解即可. 【详解】因为， 所以集合是集合的真子集， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 10．已知集合，若，则实数的取值集合为_____ 【答案】 【分析】由题意可得，再分与讨论即可得. 【详解】， 由，则， 当时，； 当时，， 则或，解得或； 综上所述：实数的取值集合为. 故答案为：. 11．设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论集合是否为空集并将结果取并集即可. 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 12．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 13．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，然后利用集合的并集运算求解； （2）先求出，然后利用并集运算，求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为，， 所以，  解得：. 故的取值范围为：. 题型三：利用交并补混合运算结果求参数 1．已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 2．已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 3．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 4．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 5．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 6．已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 7．已知集合，且，则实数的值为_______. 【答案】或或 【分析】计算出集合后，分及进行讨论即可得. 【详解】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 8．已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 9．设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】求出集合，根据可得出实数的取值范围. 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 11．已知集合，．，，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）分和两种情况讨论，当时，首先求出，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以，解得， 所以实数的取值集合. （2）因为，， 若，则，即，此时，所以成立； 若，则或， 则，解得； 综上，实数的取值范围为. 12．已知集合，.，，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，解出即可求解； （2）由得到，再分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，解得， 所以实数的取值集合； （2）由可得， 若，则，即，此时，即成立； 若，则或， 则，解得， 综上，实数的取值范围为. 13．已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 14．已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 题型四：Veen图在集合运算中的应用 1．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得，故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故选：C 2．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（    ）人. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，利用文氏图辅助解答. 【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有人， 结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人， 只参加田径比赛的有人， 故，解得， 从而只参加球类一项比赛的有8人. 故选：B 3．为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．13人 D．15人 【答案】D 【分析】利用Venn图求解即可. 【详解】如图所示： 设恰好参加一个社团的人数为，恰好参加两个社团的人数为，则①， 又②， 联立①②得，. 故选：D. 4．高一二班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人，物理、化学只选一科的学生都至少5人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】把学生50人看作一个集合，选择物理科的人数组成为集合， 选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其他科选择人数均为最少， 因为物理、化学只选一科的学生都至少5人， 即得到单选物理的最少5人，单选化学的最少5人， 因为在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人， 单选化学、生物的最少4人，单选物理、生物的最少4人， 因为选择物理、化学、生物的学生各有至少20人， 所以单选生物的最少2人， 以上人数最少30人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多10人， 所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人. 故选：C. 5．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可. 【详解】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 因为全班共36名同学参加课外探究小组， 所以， 解得， 即同时参加数学和化学小组的有8人． 故选：B. 6．（多选）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（   ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对，都赞成的有21人 D．对，都不赞成的有8人 【答案】ACD 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成的人数为，赞成的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合，如图所示， 设对事件，都赞成的学生人数为， 则对，都不赞成的学生人数为， 赞成而不赞成的人数为， 赞成而不赞成的人数为， 依题意，解得. 所以赞成的不赞成的有9人，故A正确； 赞成的不赞成的有12人，故B错误； 对，都赞成的有21人，故C正确； 对，都不赞成的有8人，故D正确. 故选：ACD 7．（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 8．对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 9．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 10．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 11．为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查. (1)小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围； (2)某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数. 【答案】(1) (2)28人 【分析】（1）由条件得到，求解即可； （2）借助venn图即可求解. 【详解】（1）由题意得，且，解得， 故的取值范围为； （2）设只玩的人数为， 由图得，解得， 则人. 故班上这三种游戏都不玩的同学有28人.    12．（1）已知全集，集合，集合，集合N是U的子集，且N既不是A的子集也不是B的子集，请问集合N有多少种可能情况？ （2）一般地，已知全集中有n个元素，集合A、B都是U的子集，且满足以下条件：①，②集合A中有i个元素，集合B中有j个元素，③中有k个元素（i，j，），若存在集合N是U的子集，但不是A的子集，也不是B的子集，请问这样的集合N有多少种情况？ （3）更进一步，已知全集中有n个元素，集合A、B、C都是U的子集，且满足以下条件：①；②集合A中有e个元素，集合B中有f个元素，集合C中有g个元素；③中有h个元素，中有i个元素，中有j个元素，中有k个元素（以上涉及数量的字母均为正整数），若存在集合N是U的子集，但不是A的子集，也不是B的子集，也不是C的子集，请问这样的集合N有多少种情况？ 【答案】（1）36；（2）；（3）. 【分析】（1）若用全集子集个数分别减去子集个数，则会多减一部分（的子集部分），故该部分应该加上，利用此种算法即可求解； （2）由（1）直接将数值替换成字母即可求解； （3）由（2）可知重叠一次的算法应为，最后再研究部分的算法，即可求解. 【详解】（1）有6个元素，子集有个，有4个元素，子集有个，有4个元素，子集有个，有2个元素，的子集有个，因为N既不是A的子集也不是B的子集，故N的情况数为； （2）由（1）知，全集子集个数为：，的子集个数为，的子集个数为，的子集个数为，则N的情况数为； （3）因为；由（2）可知，U的子集应有个，但部分我们并没考虑，接下来分析此部分，对于的运算，相当于多减了两次最中心重叠部分，对于部分，相当于又加了三次最中心重叠部分，故最后需要再减去，故最终N有种情况. 题型五：集合运算中的新定义问题 1．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 2．定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 3．设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，再根据的定义写出运算结果. 【详解】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B 4．定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【分析】利用集合新运算把问题转化为熟悉的问题来求解. 【详解】或，或， 或， 或，①正确； 或且，②正确. 故选：B 5．设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【分析】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【详解】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 6．对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【详解】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 7．（多选）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可确定正确选项. 【详解】∵，， ∴， ∴，，选项A、B正确. ∵，∴， ∴，选项C错误. ∵，∴， ∴，选项D正确. 故选：ABD. 8．（多选）定义集合运算且，称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，通过题意得到；BCD选项，通过韦恩图进行推理求解. 【详解】A选项，由题意得，， 故，，A正确； B选项，由题意，表示的运算为集合与的并集中去掉与的交集部分， 不妨设均有交集，如图所示，    故表示①②⑥⑦部分的并集，表示①②⑥⑦与③④⑥⑦的并集去掉两者的交集， 即表示①②③④部分的并集， 表示②③⑤⑥部分的并集，表示②③⑤⑥与①④⑤⑥的并集去掉两者的交集， 即表示①②③④部分的并集，故，B正确； C选项，通过推理均表示⑤⑥部分的并集，C正确； D选项，通过推理得到表示①②③④⑤⑥部分的并集， 表示①②④⑤⑥⑦部分的并集，表示①③④⑤⑥⑦部分的并集， 表示①②④⑤⑥⑦与①③④⑤⑥⑦的并集去掉两者的交集， 即②③部分的并集，D错误. 故选：ABC 9．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合_________．    【答案】 【分析】根据集合的新定义求出，再根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】由题意可知，故， 又，是偶数， 故， 故答案为： 10．“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 【答案】 /0.4 【分析】根据“杰卡德距离”的定义，求出集合的元素个数即可；利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最大值. 【详解】当，时，，， 所以； 由，得，由，得， 因此，，则， 所以的最大值为. 故答案为：； 11．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是“好集”，理由如下： 由，得. 因为， 所以是“好集”． (2)，，，， 【分析】（1）根据好集的定义判断即可； （2）判断包含于的好集的特征，再求得满足条件的集合A. 【详解】（1）略 （2）由于 所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 12．对于集合，定义集合且． (1)若，求集合和； (2)给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； (3)用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接根据定义求解即可； （2）根据题设定义及韦恩图，结合集合方程组用表示出即可； （3）分中至少含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可. 【详解】（1）由，则，； （2）由，则或， 再结合，则， 所以 （3）表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 交集、并集中的五大常考问题 题型一 利用交集结果求参数 题型二 利用并集结果求参数 题型三 利用交并补混合运算结果求参数 题型四 Veen图在集合运算中的应用 题型五 集合运算中的新定义问题 题型一：利用交集结果求参数 1．已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 2．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 4．已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（多选）设，下列选项正确的是（ ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．设，，若，则实数的值可以为_____． 10．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 11．设 ．若 ，求 的取值范围． 12．已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型二：利用并集结果求参数 1．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 2．已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 6．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 8．（多选）已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 9．设集合，，若，则实数的取值范围是______. 10．已知集合，若，则实数的取值集合为_____ 11．设已知集合，若，求实数a的取值范围. 12．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 13．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型三：利用交并补混合运算结果求参数 1．已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 2．已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 3．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 6．已知集合，，若，则的取值范围为______ 7．已知集合，且，则实数的值为_______. 8．已知或，，若，则m的取值范围是______. 9．设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 10．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 11．已知集合，．，，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 12．已知集合，.，，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围. 13．已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 14．已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 题型四：Veen图在集合运算中的应用 1．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（    ）人. A．7 B．8 C．9 D．10 3．为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．13人 D．15人 4．高一二班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人，物理、化学只选一科的学生都至少5人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 5．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（多选）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（   ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对，都赞成的有21人 D．对，都不赞成的有8人 7．（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 8．对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 9．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 10．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 11．为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查. (1)小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围； (2)某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数. 12．（1）已知全集，集合，集合，集合N是U的子集，且N既不是A的子集也不是B的子集，请问集合N有多少种可能情况？ （2）一般地，已知全集中有n个元素，集合A、B都是U的子集，且满足以下条件：①，②集合A中有i个元素，集合B中有j个元素，③中有k个元素（i，j，），若存在集合N是U的子集，但不是A的子集，也不是B的子集，请问这样的集合N有多少种情况？ （3）更进一步，已知全集中有n个元素，集合A、B、C都是U的子集，且满足以下条件：①；②集合A中有e个元素，集合B中有f个元素，集合C中有g个元素；③中有h个元素，中有i个元素，中有j个元素，中有k个元素（以上涉及数量的字母均为正整数），若存在集合N是U的子集，但不是A的子集，也不是B的子集，也不是C的子集，请问这样的集合N有多少种情况？ 题型五：集合运算中的新定义问题 1．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 2．定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 4．定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①②都错误 D．①错误，②正确 5．设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 6．对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）定义集合运算且，称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合_________． 10．“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 11．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 12．对于集合，定义集合且． (1)若，求集合和； (2)给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； (3)用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $