专题01 集合的概念与表示三大常考问题（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念与表示的三大常考参数问题，通过题型分类构建从元素关系到集合相等的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据元素与集合的关系求参数|10题|含单选、多选、填空，考查元素确定性与互异性|以集合概念为基础，通过元素属于关系建立参数方程，强化抽象能力| |根据集合中元素的个数求参数|13题|含基础选择与综合解答，涉及方程解的个数讨论|从元素个数切入，关联方程根的判别，培养逻辑推理与分类讨论能力| |利用集合间的相等关系求参数|11题|涵盖选择、填空与解答，强调集合元素对应关系|深化集合相等定义，通过元素对应构建参数方程组，提升数学语言表达能力|

专题01 集合的概念与表示三大常考问题 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 根据集合中元素的个数求参数 题型三 利用集合间的相等关系求参数 题型一：根据元素与集合的关系求参数 1．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 2．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 3．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 4．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 5．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 6．（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】BC 【分析】讨论或两种情况，解等式即可求解. 【详解】由题意得，或．若，则，解得或． 当时，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则，解得或．当时，，当时，舍去． 综上，x可能为，． 故选：BC 7．（多选）已知集合，且，则的值可以为（ ） A．1 B．3 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，得到或，求得的值，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合，且， 可得或，解得或或， 当时，可得集合，此时满足题意； 当时，可得集合，此时满足题意； 当时，可得，此时不满足集合元素的互异性，舍去， 综上可得：或. 故选：AB. 8．已知集合，若，则________ 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 9．已知集合，若，则________. 【答案】1 【分析】根据进行一一验证可得. 【详解】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 10．已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 题型二：根据集合中元素的个数求参数 1．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果. 【详解】 解：①当时，，此时满足条件； ②当时，中只有一个元素的话，，解得， 综上，的取值集合为，． 故选：D． 2．若集合中只有一个元素，则　　 A． B． C．0 D．0或 【答案】D 【分析】分与两种情况讨论元素的个数可得答案． 【详解】解：集合中只有一个元素， 当时，可得，集合只有一个元素为：． 当时：方程只有一个解：即， 可得：． 故选：． 3．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 4．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】C 【分析】集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根.分k＝0时和k≠0时，两种情况求得k的值. 【详解】集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根. 当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根； 当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1. 所以实数k的值为0或1. 故选：C. 5．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值集合是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分方程为一次方程和二次方程两种情况分别求解. 【详解】由集合中有且只有一个元素， 得a=0或, ∴实数a的取值集合是{0, } 故选B． 6．若集合A=只有一个元素，则= A．-4 B．0 C．4 D．0或-4 【答案】A 【分析】根据方程只有一个根，结合函数图象确定的值 【详解】只有一个实根，所以，选A. 【点睛】本题考查方程的根与集合元素关系，考查基本分析求解能力. 7．已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 8．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 9．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 10．已知集合，为实数． (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有1个整数元素0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合与元素之间的包含关系列不等式求解； （2）根据集合与元素的包含关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则由条件可得， 解得． （2）由知， 因为中有且仅有1个整数元素，故必然有 解得． 11．已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 12．已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)0或 (3)且 【分析】（1）将代入方程解得答案. （2）考虑和两种情况，根据得到答案. （3）考虑且，计算得到答案. 【详解】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 13．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值； (3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将代入方程求解即可； （2）分、两种情况求解即可； （3）由条件可得，且，解出即可. 【详解】（1）∵，∴， ∴； （2）当时，，符合题意； 当时，，∴． 综上，或； （3）集合中含有两个元素，即关于的方程有两个不相等的实数解， ∴，且， 解得且， ∴实数的取值范围为． 题型三：利用集合间的相等关系求参数 1．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 2．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 3．已知实数集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个集合中的元素完全相同，结合集合中元素的互异性来确定、的值，进而求出的值. 【详解】因为，所以集合与集合中的元素完全相同， 已知，，由于在两个集合中都有，那么就有两种情况： 情况一：， 情况二：， 求解情况一： 由，可得或， 当时，集合，不满足集合中元素的互异性，所以舍去， 当时，将代入，得到，即，解得， 此时，，满足； 求解情况二： 由和，将代入中，得到，即，解得， 当时，集合，不满足集合中元素的互异性，所以舍去这种情况； ​所以，，所以. 故选：A. 4．已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合相等可知关于的方程只有一个实数根，从而可得的值，即可得所求. 【详解】因为集合，，若， 所以关于的方程只有一个实数根，则，故， 所以， 则，故，所以， 故. 故选：B. 5．已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 6．（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【分析】分或或三种情况讨论的值即可求解. 【详解】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 故选：AC 7．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 8．已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 9．若集合，则实数a的取值范围为________________． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的性质结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令，则， 化简得，即， 而集合， 可得，解得. 故答案为： 10．已知集合，且，则__________. 【答案】0或 【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 11．已知，，.求： （1）使，的 的值； （2）使的 的值. 【答案】（1），或，；（2），或， 【分析】（1）由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，，，联立方程即可得出结果. （2）根据集合相等，集合中的元素相同，可得，解方程即可得出结果 。 【详解】（1）因为，所以 又因为，所以，解得或 当时，，解得 当时，，解得 所以，，或，； （2），，解得或 所以，，或，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合的概念与表示三大常考问题 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 根据集合中元素的个数求参数 题型三 利用集合间的相等关系求参数 题型一：根据元素与集合的关系求参数 1．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 2．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 5．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 7．（多选）已知集合，且，则的值可以为（ ） A．1 B．3 C． D． 8．已知集合，若，则________ 9．已知集合，若，则________. 10．已知集合，，且，求集合． 题型二：根据集合中元素的个数求参数 1．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．若集合中只有一个元素，则　　 A． B． C．0 D．0或 3．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 5．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值集合是 A． B． C． D． 6．若集合A=只有一个元素，则= A．-4 B．0 C．4 D．0或-4 7．已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 8．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 9．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 10．已知集合，为实数． (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有1个整数元素0，求的取值范围． 11．已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 12．已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 13．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值； (3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围． 题型三：利用集合间的相等关系求参数 1．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 2．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知实数集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 5．已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 7．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 8．已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 9．若集合，则实数a的取值范围为________________． 10．已知集合，且，则__________. 11．已知，，.求： （1）使，的 的值； （2）使的 的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $