专题1.3 交集、并集（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦交集、并集核心知识点，通过自然语言、符号语言、图形语言三维度构建概念体系，衔接集合基础与交并补综合运算、参数问题等进阶内容，形成完整学习支架。 资料以Veen图、数轴为直观工具，结合典例变式与实际应用题，培养数学眼光（几何直观）、思维（推理运算）、语言（符号表达）。课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，如用Veen图解决观影人次问题提升应用意识。

专题1.3 交集、并集 教学目标 1、 理解交集与并集的概念； 2、 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集； 3、 理解区间的表示方法。 教学重难点 1.重点 交集、并集的概念，会进行交集并集的运算；利用Veen图理解交集、并集 2.难点 交集和并集的概念、符号之间的区别与联系，掌握集合交并补的综合运算。 知识点1 交集 1.交集的定义 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 2.交集的性质 （1）___AA=A，A=，AB=BA___ （2）___ABA, ABB___． （3）______。 【即学即练】 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 2．已知集合，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解. 【详解】由， 可得， 所以， 所以的子集个数为， 故选：B 知识点02 并集 1.并集的定义 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 注：（1）A∪B也表示一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足的条件是：属于集合A或者属于集合B． （2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示： 2.并集的性质 （1）_____AA=A______ （2）___A=A___ （3）___AB=BA___ （4）___ABＡ,ABB___ （5）______。 联系交集的性质有结论：___ABAAB___． 【即学即练】 1.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解集合，再由集合并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 2.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，再结合集合的并集即可求解. 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 故选：C. 知识点03 区间的表示 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间    开区间    半闭半开区间    半开半闭区间    半开半闭区间    开区间    半开半闭区间    开区间    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 题型01 交集及其运算 【典例1】集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过列举法求出集合，再由交集的定义即可得解. 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，， 故，，. 故选：A. 求集合交集的2个注意点： （1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果． （2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真子集的定义，结合交集定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，，即， 又，但，所以，故. 【变式2】集合，则中元素的个数为（     ） A．136 B．133 C．134 D．135 【答案】C 【分析】根据题意，分别化简，然后结合条件即可求得的整数解的个数. 【详解】由集合， 因为，， 设集合中的元素为， 令且，解得且，共有正整数， 所以中的元素个数为个. 故选：C. 【变式3】已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意化简集合B，进而求，即可得结果. 【详解】对于集合， 若，则，则，即， 又因为，可知，，，， 则，所以集合的元素个数为2. 故选：B. 【变式4】已知，，则中的元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析集合所过定点，并绘制对应函数图象，则中的元素个数为两个图象交点 【详解】因为函数过点，过点，结合二次函数，绝对值函数和反比例函数图象画法， 故A，B对应的函数图象如下图所示:    显然，两个图象有3个交点，所以中有3个元素．     故选：C. 题型02 并集及其运算 【典例1】已知集合，则______． 【答案】 【详解】， ； 故：. 求集合并集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果； （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【变式1】已知集合，，则（    ） A．S B．T C．R D． 【答案】A 【分析】对n分奇、偶讨论，判断出，即可得到. 【详解】集合，. 当时，有； 当时，有. 所以，所以. 故选：A 【变式2】已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】确定的所有子集，结合并集运算即可求解. 【详解】的子集有： ， 要满足为的真子集，且的最大， 由8个子集可知：两个元素的子集最多一个， 若两个元素的子集有两个，任意两个的并集都是，不符合题意， 单元素子集最多两个， 若单元素子集有3个，，并集为，不符合题意， 再包含一个空集， 举例：符合题意. 即的最大值是， 故选：B 【变式3】已知集合，，则中所有元素的和的可能值组成的集合为______. 【答案】 【分析】解不等式求得，根据判别式求得，由此求得，进而求得中所有元素的和构成的集合. 【详解】，所以. ， 当时，， ，所有元素的和为2025. 当时，， ，所有元素的和为. 当时，由求根公式有的两个不相等的实数根为， ，其中， 若，， ，所有元素的和为. 若，则，所有元素的和为， 综上所述，的所有情况中，所有元素的和构成的集合为. 故答案为： 【变式4】设集合 则中的元素个数为__________ 【答案】 【分析】由题可得当时，，当时，，从而可得，两集合有个相同元素，再利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案为：. 题型03 交、并、补的综合运算 【典例1】已知全集，，，，则_____. 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的交并补运算讨论求解即可. 【详解】解：已知全集，即， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 解决集合交、并、补运算的2个技巧： （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于图来求解． （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【变式1】设集合，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据集合的补集，交集运算求解即可； 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 【变式2】已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助韦恩图判断ABC三个选项；结合集合的包含关系推理判断D. 【详解】全集U的两个非空真子集A，B满足，， 如图，当时，，故A错误； 由图知，，集合不是集合的子集，故BC错误； ，，，故D正确. 故选：D. 【变式3】（多选）已知全集，集合，若，（CUA)∩B=｛2,6,7｝， A∩（CUB）=｛5｝，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．(CUA)∩(CUB)=｛4,8｝ D．(CUA)∪(CUB)=｛2,5,6,7,8｝ 【答案】AC 【分析】利用集合的运算法则求得集合，再验证各个选项. 【详解】利用集合的运算法则得： ， . 对于 A： ，故正确； 对于 B： ，故错误； 对于 C： ，故正确； 对于 D： ，故错误. 故选：AC 【变式4】已知集合，，，，，为实数集. (1)求，； (2)求，. 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据题意，求得，结合集合交集、并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，利用交集与补集的运算，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为，，可得， 则. （2）解：因为，可得， 又因为，所以. 题型04 根据集合运算求参数 【典例1】已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，由可得，利用集合间关系即可得解. 【详解】， 由，则，故， 即的取值范围为. 【典例2】设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算即可. （2）根据集合的包含关系求出参数的范围即可. 【详解】（1）时，集合，因为集合， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，要使得，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 利用集合关系求参数的2个注意点： （1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况． （2）不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集 【变式1】设集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合，，且， 所以有，解得. 故选：C. 【变式2】设，，且，则实数组成的集合是_______. 【答案】 【分析】先求出集合，再由可知，通过对参数进行分类讨论求出的取值集合. 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 【变式3】已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】分析可知，分类讨论的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4】已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 题型05 Veen图的实际应用 【典例1】为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 【变式1】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 【变式2】（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 【变式3】校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 【答案】 【分析】设三项比赛都参加的有人，分别求得只参加100米、200米、400米的同学的人数，列出方程，即可求解. 【详解】设参加100米的同学构成集合 、200米的同学构成集合、400米的同学构成集合 设三项比赛都参加的有人，如图所示， 则只参加100米的同学为人 只参加200米的同学为人； 只参加400米的同学为人， 所以，解得， 所以三项比赛都参加的有人. 故答案为：.    【变式4】已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即可得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 题型06 集合运算中的新定义 【典例1】设是非空集合，定义，已知则_______ 【答案】，或 【分析】根据文氏图判断所表示的集合，由此求得. 【详解】根据题意可知表示的图像如下图阴影部分所示，而，，，，故，或. 故填：，或. 【变式1】对于任意两集合A，B，定义且，记，则______． 【答案】或 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【详解】，，． 故答案为：或 【变式2】（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 【变式3】对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：C. 2．已知集合,,则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合所描述的性质，分别计算出两个集合的元素取值范围，再利用集合运算性质求出交集即可，要注意集合A是关于的集合，集合B是关于的集合. 【详解】由题知集合A是关于的集合，则根据， 可得，即集合； 又集合B是关于的集合，则根据， 可得，即集合， 则. 故选：A 3.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集、交集的定义进行计算. 【详解】集合，， ∴，则． 故选：C. 4．已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件判断出，然后对进行分类讨论，最后结合集合元素的互异性求解. 【详解】因为，所以，即中的所有元素都必须属于， 又因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则，，不满足集合元素的互异性， 综上所述，. 故选：B. 5.已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设分和分析求解即可. 【详解】因为， 所以当时满足题意，此时， 当时，要满足题意，则有 综上实数的取值范围为. 故选：A 6．（多选）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合交并补的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得，所以，故A正确； ，故B错误； 或，故，C正确； ，故D错误. 故选：AC. 7．设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1), (2) 【详解】（1）当时，， 所以， 又， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 8．已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用交集及并集定义计算求解； （2）根据并集结果分和列不等式计算求解. 【详解】（1）由，得，则. 因为，所以， 则. . （2）由，可得. 若，则，解得. 若，则由，可得 解得. 综上所述，的取值范围为. 1.设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合子集的定义即可判断A；结合交集的定义可判断B；结合并集的定义可判断C；分析可得，进而结合交集的定义可判断D. 【详解】因为，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； 又，而，则， 所以，故D正确. 故选：D. 2.调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 【答案】A 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式列式计算得到答案． 【详解】不妨将评价了火箭军、太空军、网络军的市民分别用集合A，B，C表示， 则，，，， 不妨设总人数为，只评价了火箭军、太空军的人数为， 只评价了太空军、网络军的人数为， 只评价了火箭军、网络军的人数为， 则. 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则，，， 由三个集合的容斥关系公式得， ， 解得，故接受调查的市民共有190人. 故选：A 3.设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 4.在某中学科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 5.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C 6.（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 7.设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【分析】根据给定条件求出，再按分类讨论求解. 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 8.已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【分析】易知，则，即集合中的元素互为倒数，由题意可求出集合，进而确定集合，根据并集的运算即可求出答案． 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 9.在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 【答案】(1)（i）   （ii）   ，两科都不喜欢的人数为5人 (2)     显然，根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论． 先证：， 任取，则，且， 由，得，或， 若，且，则，所以； 若，且，则，所以， 因此． 再证：， 任取，则，或， 若，则，且，所以，且，故； 若，则，且，所以，且，故， 因此． 综上，． 韦恩图用于证明这个的局限性：韦恩图只能展示有限集合位置的情况（比如以上和的韦恩图只是展示了，，两两相交的情况），无法覆盖所有可能的集合关系（比如，，或，，两两不相交的情况等情况），直接观察不能用于严格证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 交集、并集 教学目标 1、 理解交集与并集的概念； 2、 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集； 3、 理解区间的表示方法。 教学重难点 1.重点 交集、并集的概念，会进行交集并集的运算；利用Veen图理解交集、并集 2.难点 交集和并集的概念、符号之间的区别与联系，掌握集合交并补的综合运算。 知识点1 交集 1.交集的定义 自然语言 符号语言 图形语言 由 组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 2.交集的性质 （1）______ （2）______ ． （3）______ 。 【即学即练】 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 知识点02 并集 1.并集的定义 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 注：（1）A∪B也表示一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足的条件是：属于集合A或者属于集合B． （2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示： 2.并集的性质 （1）___________ （2）______ （3）______ ______ （5）______ 。 联系交集的性质有结论：______ ． 【即学即练】 1.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 区间的表示 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间    开区间    半闭半开区间    半开半闭区间    半开半闭区间    开区间    半开半闭区间    开区间    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 题型01 交集及其运算 【典例1】集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 求集合交集的2个注意点： （1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果． （2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】集合，则中元素的个数为（     ） A．136 B．133 C．134 D．135 【变式3】已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】已知，，则中的元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 题型02 并集及其运算 【典例1】已知集合，则______． 求集合并集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果； （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【变式1】已知集合，，则（    ） A．S B．T C．R D． 【变式2】已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】已知集合，，则中所有元素的和的可能值组成的集合为______. 【变式4】设集合 则中的元素个数为__________ 题型03 交、并、补的综合运算 【典例1】已知全集，，，，则_____. 解决集合交、并、补运算的2个技巧： （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于图来求解． （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【变式1】设集合，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知全集，集合，若，（CUA)∩B=｛2,6,7｝， A∩（CUB）=｛5｝，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．(CUA)∩(CUB)=｛4,8｝ D．(CUA)∪(CUB)=｛2,5,6,7,8｝ 【变式4】已知集合，，，，，为实数集. (1)求，； (2)求，. 题型04 根据集合运算求参数 【典例1】已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 利用集合关系求参数的2个注意点： （1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况． （2）不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集 【变式1】设集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】设，，且，则实数组成的集合是_______. 【变式3】已知集合，求实数的取值范围__________． 【变式4】已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型05 Veen图的实际应用 【典例1】为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【变式2】（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【变式3】校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 【变式4】已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 题型06 集合运算中的新定义 【典例1】设是非空集合，定义，已知则_______ 【变式1】对于任意两集合A，B，定义且，记，则______． 【变式2】（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式3】对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合,,则（     ） A． B． C． D． 3.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 5.已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 8．已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 1.设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2.调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 3.设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.在某中学科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 6.（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 7.设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 8.已知集合，，同时满足，，则___________． 9.在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $