第1章 集合（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

第1章 集合 教学目标 1．通过复习与小结，进一步了解集合的含义与表示，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述具体问题，感受集合语言的意义与作用； 2．通过复习与小结，进一步理解集合间的关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，并在具体的情境中了解全集与补集的含义； 3．通过复习与小结，进一步理解与掌握集合的基本运算． 教学重难点 1.重点 集合语言的理解运用与集合的运算． 2.难点 掌握集合交集、并集、补集的运算和性质以及集合新定义 知识点 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 集合 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 属于 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 不属于 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 有限集 ，含有无限个元素的集合叫作 无限集 ，不含任何元素的集合叫作 空集 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 属于 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 不属于 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 5．集合间的基本关系 （1）如果集合的 任何一个元素 都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合 包含 集合，记为 . （2）如果，那么我们称集合和集合相等，记为 ． （3）如果，且存在，则称是的真子集，记为 ． （4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ;可记为 . （5）如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为 . 6．集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 或属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}     A∪B 交 集 由所有属于集合A 且属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     A∩B 补 集 由全集U中 不属于 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     7．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B = B∩A. 8．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B = B∪A. 9．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 【即学即练】 1．若，则a的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，求解并验证互异性即可. 【解析】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 2．已知集合，若，则（　　） A．或3 B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可. 【解析】， ，解得或， 当时，， 不满足集合中元素的互异性，舍去. 当时，， 此时，满足题意. 综上，. 故选：C. 3.设集合，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【解析】. 故选：B 4.已知集合，且，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【解析】由得或．又，所以，故． 故选：D 5.知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】根据交集与并集的定义，借助于数轴即可求得. 【解析】（1）当时，，则或． （2）因为，又，所以解得．故实数的取值范围是 题型01 元素与集合的关系 【典例1】已知集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合与元素的关系逐项验证即可. 【解析】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【变式1】设全集，集合M满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【解析】由题知,对比选项知，正确,错误 故选:A 【变式2】（多选）设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【解析】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 【变式3】已知集合，若且，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合与元素的关系列出不等式组求解即可。 【解析】由且，得，解得． 故选：A 【变式4】非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得. 【解析】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确； 对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数， 因此，则，B正确； 对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：D 【变式5】集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【解析】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 题型02 集合中元素的特性 【典例1】已知集合，若，则a的值可能为（　　） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 【变式1】已知集合，，则（　　） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【解析】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 【变式2】若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【解析】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 【变式3】已知实数集合，，若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据列出方程并解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【解析】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 【变式4】已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在实数a和x的值，使得 【分析】（1）根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. （2）根据列出方程并解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【解析】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 题型03 集合间的基本关系 【典例1】已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据，得，注意对的讨论；（2）根据子集个数确定集合A的元素个数进而求解；（3）根据集合的包含关系解得即可.. 【解析】（1）因为， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答 【变式1】已知集合，则A的子集个数为（　　） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 【解析】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 【变式2】若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对m讨论分析即得。 【解析】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 【变式3】已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由利用数轴即可求解. 【解析】由题意，，如图所示， 因为，所以. 故答案为：. 【变式4】（多选）设集合，，若，则的值可以为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】由，再分和两种情况讨论即可. 【解析】， 因为， 所以当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 【变式3】设集合，，若，则（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【解析】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 【变式6】已知，若，求实数a的值. 【答案】1或4 【分析】根据一元二次方程，解得集合，根据根的判别式以及根与系数关系，可得答案. 【解析】由已知可得， 因为，则或或或， 当时，，无解， 当时，则，解得， 当时，则，无解， 当时，则，解得， 综上，实数a的值为1或4. 题型04 集合基本运算 【典例1】（多选）已知集合， (1)若，求，； (2)若，则实数a的取值范围. 【答案】(1)A∩B＝； AB＝；(2) 【分析】（1）先化简集合，，再利用集合的交集和并集运算求解； （2）由，得到，分和求解. 【解析】（1）因为集合， 当时，集合， 所以，. （2），，分和两种情况； ①当时，则，解得： ，此时满足； ②当时，则，要使 成立， 则有，解得，所以， 综上可知，，所以实数a的取值范围为 （1）集合交并补混合运算的常用方法： ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 （2）利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围： 首先弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 其次看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 最后将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答 【变式1】已知集合，，且，则实数a的取值集合为___________ 【答案】 【分析】由，得到，分和两种情况讨论，集合集合元素的互异性，即可求解. 【解析】由题意，集合，， 因为，所以， 当时，即，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去； 当时，即，解得或， 若，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去； 若，可得，此时，，符合题意， 综上可得实数的取值集合为. 故答案为：. 【变式2】（多选）设，，若，则实数的值不可以是（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】先求出集合，再根据，求得的取值范围，,最后根据补集思想即得 【解析】由题意，，若，则，若，则，满足题意； 若，则，因为，所以或，则或. 综上：或或. 故选：ABC. 【变式3】若． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）直接根据交集的运算求出答案即可； （2）分、两种情况求解即可. 【解析】(1)当时，， (2)当，即时，，满足 当时，若，则或，所以 综上：a的取值范围为 【变式4】已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）条件选择见解析，. （2）由，得到，列出不等式组，即可求解； 【分析】（1）利用并集的定义得出；（2） 求出的取值范围即可. 【解析】（1）当时，集合， 因为，所以或． （2）因为，可得，则，解得． 题型05 集合新定义问题 【典例1】设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】（1）不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）675 （3）证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接判别；（2）根据新定义直接证明； （3）根据新定义以及子集、真子集的性质可得． 【解析】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【变式1】若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【解析】的子集有， 由题意知M中一定含有， 则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取3个时，或， 或或，满足题意，此时M有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“M—集合类”的个数为， 故选：D 【变式2】含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1)；(2)①；② 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 【变式3】对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A只有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 【答案】（1）不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）675 （3）证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接验证； （2）求出和，由它们的交集为空集可得； （3）求出中的可能元素，根据分析元素的性质可得． 【解析】（1）由题意，，，， ,, 所以不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，， ，则，， 又，所以的最小值是675； （3）， 则都属于集合， 又，则， 又，所以，所以， 1．设集合，若，则集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【分析】利用即可得解. 【解析】由已知，其中真子集有，，共3个． 故选：B． 2．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系，将条件，且，转化为即可得解. 【解析】若，且，则，即. 故选：D 3．已知集合，，若，则a的值是（　　） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等关系，写出所有满足条件即可得解. 【解析】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 4．已知集合，，若，则满足集合的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【解析】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合的补集，再进行集合的交运算，即可得答案； 【解析】，， ， 故选：C. 6．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，由得到，分与，求出实数a的值，得到答案, 【解析】， 因为，所以， 当时，，满足要求， 当时，只有一个根， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 实数的所有值构成的集合是. 故选：D 7．（多选）已知集合，，，且，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【解析】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选）已知集合，且，则的可能取值有（　　） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【分析】利用元素与集合的关系，将条件转化为或者讨论分析即可得解. 【解析】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 9．（多选）已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】借助韦恩图研究交并补集即得. 【解析】因为，所以， 对于A：由，可得，A正确； B：由于，故，B错误； C：因为，，则，C正确； D：由于，故，D错误． 故选：AC． 10．已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】，进而得出求出m的取值范围即可. 【解析】， 所以， 若，则， ， 若，， 则，故的取值范围为. 故答案为：；. 11.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有 ．名 【答案】10 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【解析】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故答案为：10    12．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围,最后根据补集思想即得. 【解析】， 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得 当时，或，解得：或 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为： 13．已知全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）有集合A求出进而求解；（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论 【解析】（1）当时，，所以， 所以． （2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论． 当时，，即； 当时，得即． 综上，． 14．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【分析】（1）根据集合中元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以，所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合 教学目标 1．通过复习与小结，进一步了解集合的含义与表示，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述具体问题，感受集合语言的意义与作用； 2．通过复习与小结，进一步理解集合间的关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，并在具体的情境中了解全集与补集的含义； 3．通过复习与小结，进一步理解与掌握集合的基本运算． 教学重难点 1.重点 集合语言的理解运用与集合的运算． 2.难点 掌握集合交集、并集、补集的运算和性质以及集合新定义 知识点 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 5．集合间的基本关系 （1）如果集合的 都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合 集合，记为 . （2）如果，那么我们称集合和集合相等，记为 ． （3）如果，且存在，则称是的真子集，记为 ． （4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ;可记为 . （5）如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为 . 6．集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B} 交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B} 补 集 由全集U中 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}   7．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 8．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 9．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 【即学即练】 1．若，则a的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 2．已知集合，若，则（　　） A．或3 B．0 C．3 D． 3.设集合，，则等于（　　） A． B． C． D． 4.已知集合，且，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5.知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 题型01 元素与集合的关系 【典例1】已知集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】设全集，集合M满足，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）设，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，若且，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4】非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式5】集合，，已知且，则a的取值集合为 . 题型02 集合中元素的特性 【典例1】已知集合，若，则a的值可能为（　　） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【变式1】已知集合，，则（　　） A． B．或1 C．3 D． 【变式2】若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D． 【变式3】已知实数集合，，若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式4】已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 题型03 集合间的基本关系 【典例1】已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答 【变式1】已知集合，则A的子集个数为（　　） A．4 B．7 C．8 D．16 【变式2】若，则m的取值范围为 ． 【变式3】已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【变式4】（多选）设集合，，若，则的值可以为（　　） A．1 B．0 C． D． 【变式3】设集合，，若，则（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式6】已知，若，求实数a的值. 题型04 集合基本运算 【典例1】（多选）已知集合， (1)若，求，； (2)若，则实数a的取值范围. 集合交并补混合运算的常用方法： （1）若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； （2）若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 【变式1】已知集合，，且，则实数a的取值集合为___________ 【变式2】（多选）设，，若，则实数的值不可以是（　　） A．0 B． C． D．2 【变式3】若． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【变式4】已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围． 题型05 集合新定义问题 【典例1】设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【变式1】若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 【变式3】对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A只有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 1．设集合，若，则集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 2．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则a的值是（　　） A．1或2 B．或0 C．1 D． 4．已知集合，，若，则满足集合的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）已知集合，，，且，，，则（　　） A． B． C． D． 8．（多选）已知集合，且，则的可能取值有（　　） A．1 B．－1 C．3 D．2 9．（多选）已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 . 11.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有 ．名 12．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是 ． 13．已知全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 14．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$