专题1.3 交集、并集（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题1.3 交集、并集 教学目标 1、 理解交集与并集的概念； 2、 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集； 3、 理解区间的表示方法。 教学重难点 1.重点 交集、并集的概念，会进行交集并集的运算； 2.难点 交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。 知识点01 交集 1.交集的定义 (1)自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集.记作AB（读作‘A 交B’）， (2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}. (3)图形语言：如右图所示： 　　 如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝． 又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝，B={c,d,e,f}，则AB={c,d,e}． 注：(1)A∩B是一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足既属于集合A又属于集合B． （2）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素. (3)两个集合若没有公共元素，则二者的交集为∅.　 2.交集的性质 （1）___AA=A，A=，AB=BA___ （2）___ABA, ABB___． （3）______。 【即学即练】 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集运算可得答案’ 【解析】因为，，所以， 故选：C. 2.已知集合，，若满足，则的值为（　　） A．或5 B．或5 C． D．5 【答案】C 【分析】根据可知9∈A，则或由此可求出a的值，分类讨论即可确定符合题意的a的取值． 【解析】∵，∴9∈A，或，解得或或， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 综上， 故选：C． 知识点02 并集 1.并集的定义 (1)自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：AB（读作‘A并B’） (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}. (3)图形语言：如右图所示： 如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 注：（1）A∪B也表示一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足的条件是： 属于集合A或者属于集合B． （2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示： 2.并集的性质 （1）_____AA=A______ （2）___A=A___ （3）___AB=BA___ （4）___ABＡ,ABB___ （5）______。 联系交集的性质有结论：___ABAAB___． 3.区间的概念：设是两个实数，且 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 【即学即练】 1．设全集，集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并集运算即可得解. 【解析】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的运算即可求出． 【解析】由题意得. 故选：C. 题型01 交集及其运算 【典例1】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再根据交集的运算即可求出． 【解析】因为，而， 所以． 故选：B 【变式1】已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图表示的进行计算即可. 【解析】图中阴影部分表示的集合是， 因为，， 所以. 故选：B 【变式2】已知集合，，则中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合A、B为点集求解. 【解析】= 故选：A 【变式3】已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合A为点集，集合B为数集求解. 【解析】由题意知集合A为点集，集合B为数集， 所以， 故选：D. 【变式4】已知集合或，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用交集的定义可求得结果. 【解析】由题意可得. 故选：D. 【变式5】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得结合. 【解析】因为，， 因此，. 故选：C 题型02 并集及其运算 【典例1】已知集合，，则A∪B＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的定义求解即可． 【解析】∵， ∴． 故选：B． 【变式1】已知集合，，则_________________． 【答案】 【分析】利用并集定义直接求解. 【解析】 故答案为： 【变式2】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并集定义直接求解. 【解析】 集合， . 故选：A. 【变式3】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并集定义直接求解. 【解析】 集合， . 故选：A. 【变式4】已知集合，，，则的子集共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．64个 【答案】D 【分析】先求出集合，再求出集合，从而可求出其子集的个数. 【解析】因为，， 所以， 所以，则的子集共有个， 故选：D 题型03 利用交集的性质求参数的值或范围 【典例1】已知集合，，且，则实数a的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，分和两种情况讨论，集合集合元素的互异性，即可求解. 【解析】由题意，集合，， 因为，所以， 当时，即，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去； 当时，即，解得或， 若，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去； 若，可得，此时，，符合题意， 综上可得实数的取值集合为. 故选：D. 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答 【变式1】设，，若，则实数a的值______． 【答案】0，，. 【分析】解出集合，由，可得出，然后分和两种情况讨论，可得出实数的值. 【解析】， 且， . 当时，则，此时成立； 当时，则， 此时， 则有或，解得或. 因此，实数的取值是或或. 故答案为：0，，. 【变式2】已知集合，集合．若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分两种情况，当和时，根据题意列不等式，解不等式即可求解； 【解析】（1）①当时，，可得，满足，符合题意． ②当时，若，则或， 解得：或无解， 综上所述： 所以若，实数的取值范围为：． 【变式3】已知集合，集合，且，则实数的所有可能取值组成的集合为___________. 【答案】 【分析】确定集合中的元素，由得，由子集的定义求解． 【解析】由题意 ∵，∴， 时，满足题意 时，， 或， 解得或. ∴实数的所有可能的取值组成的集合为． 故答案为：． 【变式4】已知集合，，，则a的可能取值的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据交集的结果求参数. 【解析】因为，所以或， 所以或或或或或， 解得或1或2或4， 经检验当或时，不满足集合中元素的互异性， 所以a的可能取值为1，4，共2个. 故选:B. 【变式3】设集合，，，求实数a的值； 【答案】 【分析】（1），对于集合，分类：或，检验即可； 【解析】（1），，显然， 当时，，此时，， 与题矛盾，舍去； 当时，，此时，， 符合题意， 所以. 【变式6】若． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）直接根据交集的运算求出答案即可； （2）分、两种情况求解即可. 【解析】(1)当时，， (2)当，即时，，满足 当时，若，则或，所以 综上：a的取值范围为 题型04 利用并集的性质求参数的值或范围 【典例1】（多选）集合，且，实数a的值为（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】ABC 【分析】由题设且，讨论是否为空集求对应的参数值即可. 【解析】由题设，又，故， 当时，； 当时，1或2为的解，则或. 综上，或或. 故选：ABC 【变式1】设集合，集合中所有元素之和为，则实数a的取值集合为：________． 【答案】 【分析】解一元二次方程确定集合中可能的元素，由并集的定义、集合的互异性及已知条件确定值． 【解析】解一元二次方程可得，，且， 当，或时，结合集合的互异性，满足中所有元素之和为， 否则由，解得：， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴，根据集合的运算结果即可求解. 【解析】因为集合或，，，所以． 故选：B． 【变式3】已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，由得到，分与，求出实数a的值，得到答案, 【解析】， 因为，所以， 当时，，满足要求， 当时，只有一个根， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 实数的所有值构成的集合是. 故选：D 【变式4】已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】化简集合A,B,由知，即可求解. 【解析】 由得 ， 题型05 利用交并补混合运算求参数的值或范围 【典例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合的补集，再进行集合的交运算，即可得答案； 【解析】，， ， 故选：C. 集合交并补混合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 【变式1】设全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再进行集合的补集，即可得答案； 【解析】，故， 故， 故选：A. 【变式2】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合A的补集，再与B求交集，即可得答案； 【解析】因为集合，， 所以，则. 故选：D. 【变式3】已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】先求出集合A的补集，再利用，即可得答案； 【解析】因为方程的判别式，所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用并集的定义直接求解即可 【解析】 因为集合，集合， 所以， 故选：D 2．已知集合，集合，则（　　） A．B B．A C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的定义直接求解即可 【解析】集合，，则， 所以. 故选：A 3．已知集合，，则下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据集合间的关系判断. 【解析】，， 所以，故A正确；B、C、D均不正确. 故选：A 4．已知为实数集，全集，集合，则（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据交集和补集的定义运算可得结果. 【解析】，， 或. 故选：D 5．设A、B是两个非空集合，定义且，已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别求出 和再根据新运算的定义求解. 【解析】，； 故选：C. 6．如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦恩图逐个分析各个选项，即可得出结论. 【解析】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是. 故选：D. 7．（多选）设，，若，则实数的值可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出的值. 【解析】集合，由可得， 则分和或或， 当时，满足即可； 当时，满足，解得：； 当时，满足，解得：； 当时，显然不符合条件， 所以的值可以为， 故选：ABD. 8．（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出集合中元素范围，再根据交集，并集，补集的定义逐一计算判断. 【解析】,, 则，，则AC正确， 又，， 则，则BD错误 故选：AC 9．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项CD不正确， 故选：AD. 10．已知集合，，则________；若，则________． 【答案】；∅ 【分析】根据集合A、B为点集，集合C为数集，利用交集的定义求解. 【解析】 令得，所以 ∅ 故答案为：；∅ 11．已知集合，，则___________- 【答案】 【分析】先求出集合的补集，再进行集合的交运算，即可得答案； 【解析】由，得，所以， 或， 由，得，所以， 所以. 故答案为： 12．设集合，，若，则实数m的取值范围为_________ 【答案】. 【分析】根据已知条件，求出集合间的包含关系即可求解. 【解析】若，则， 从而， 故实数m的取值范围为. 故答案为： 13．设，， （1）求; （2）若，求实数a的取值范围 【答案】(1)；或；(2) 【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集； （2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围. 【解析】(1)解不等式可得，， 所以 (2)由可得，且， 所以，解得，即. 14．已知集合，或． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据交集的定义，列出关于的不等式组即可求解； （2）由题意，，根据集合的包含关系列出关于的不等式组即可求解； 【解析】(1)∵或，且， ∴，解得， ∴a的取值范围为； (2)∵或，且， ∴， ∴或，即或， ∴a的取值范围是. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 交集、并集 教学目标 1、 理解交集与并集的概念； 2、 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集； 3、 理解区间的表示方法。 教学重难点 1.重点 交集、并集的概念，会进行交集并集的运算； 2.难点 交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。 知识点01 交集 1.交集的定义 (1)自然语言：由所有属于集合A____.属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的______.记作_________.（读作‘_____________.’）， (2)符号语言：A∩B＝______________. (3)图形语言：如右图所示： 　　 如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=______________. 又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝，B={c,d,e,f}，则AB=______________. 注：(1)A∩B是一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足既属于集合A又属于集合B． （2）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素. (3)两个集合若没有公共元素，则二者的交集为∅.　 2.交集的性质 （1）______________ （2）______________ （3）______________. 【即学即练】 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2.已知集合，，若满足，则的值为（　　） A．或5 B．或5 C． D．5 知识点02 并集 1.并集的定义 (1)自然语言：由所有属于集合A_____属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的_______.记作：__________.（读作‘______________.’） (2)符号语言：A∪B＝______________.(3)图形语言：如右图所示： 如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=______________.注：（1）A∪B也表示一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足的条件是： 属于集合A或者属于集合B． （2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示： 2.并集的性质 （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________（5）______________. 联系交集的性质有结论：______________. 3.区间的概念：设是两个实数，且 定义 名称 符号 数轴表示 【即学即练】 1．设全集，集合，则（　　） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 题型01 交集及其运算 【典例1】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（　　）    A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合或，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知，，则（ ） A． B． C． D． 题型02 并集及其运算 【典例1】已知集合，，则A∪B＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则_________________． 【变式2】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，，，则的子集共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．64个 题型03 利用交集的性质求参数的值或范围 【典例1】已知集合，，且，则实数a的取值集合为（　　） A． B． C． D． 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答 【变式1】设，，若，则实数a的值______． 【变式2】已知集合，集合．若，求实数的取值范围． 【变式3】已知集合，集合，且，则实数的所有可能取值组成的集合为___________. 【变式4】已知集合，，，则a的可能取值的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】设集合，，，求实数a的值； 【变式6】若． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 题型04 利用并集的性质求参数的值或范围 【典例1】（多选）集合，且，实数a的值为（　　） A．0 B．1 C． D．2 【变式1】设集合，集合中所有元素之和为，则实数a的取值集合为：________． 【变式2】已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，，若，求实数a的取值范围. 题型05 利用交并补混合运算求参数的值或范围 【典例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 集合交并补混合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 【变式1】设全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则（　　） A．B B．A C． D． 3．已知集合，，则下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知为实数集，全集，集合，则（　　） A． B．或 C． D．或 5．设A、B是两个非空集合，定义且，已知集合，则（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）    A． B． C． D． 7．（多选）设，，若，则实数的值可以为（　　） A． B． C． D． 8．（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 9．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（　　） A． B． C． D． 10．已知集合，，则________；若，则________． 11．已知集合，，则___________- 12．设集合，，若，则实数m的取值范围为_________ 13．设，， （1）求; （2）若，求实数a的取值范围 14．已知集合，或． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$