2.1 命题、定理、定义 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

数学抽象：正确理解定理、定义，发展数学抽象素养．

逻辑推理：分析命题条件和结论间的推理关系，探索命题成立的过程，培养辩证思维能力与严谨治学的良好品质，发展逻辑推理素养．

[教师引导]

通过一些有趣的悖论，我们发现数学语言表达的重要性．本章我们将学习常用逻辑用语，通过学习有关逻辑知识，帮助学生完善表述方式，学会用逻辑用语表达数学内容，进而形成逻辑地表达自己的思想、判断、推理的能力．

【问题导引1】

(1)      “等角的余角相等．”与“等角的余角相等吗？”这两句话一样吗？如不一样，它们有什么不同？

(2)      “经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“经过一点作已知直线的垂线”有什么不同？

(3)      “四边形不是多边形”与“四边形不一定是多边形”又有什么不同？

一、命题的概念

【问题1】

【问题导引1】中的六句话是否都是命题？

[学生活动]

“等角的余角相等吗？”不是命题．

“经过一点作已知直线的垂线”不是命题，它是几何的作法．

“四边形不一定是多边形”不是命题．

它们都不能判断真假．

其余的都是命题．其中，“四边形不是多边形”这个句子的判断是错误的，但它依然是命题，是假命题．

形成知识

1．     在数学中，能够判断真假的陈述句叫作命题．

2．     判断一个语句是否为命题的两个要素：

(1)      是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言．

(2)      可以判断真假，即对某种事情作出判断．

【问题导引2】

试判断下列语句是否正确，并归纳这些语句表达形式的特点．

(1)      如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等；

(2)      有一个内角是的等腰三角形是正三角形；

(3)      如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；

(4)      对顶角相等；

(5)      若，则；

(6)      若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余．

答：以上语句的特点是它们都是陈述句，可以判断真假，因而它们都是命题．其中，(1)(2)(4)(6)为真命题，(3)(5)为假命题．

【问题2】

观察【问题导引2】中的(1)(3)(5)(6)，这些命题有怎样的表示形式?

[教师引导]

这些命题都表述成了“若，则”（也可表述成“如果，那么”）的形式．例如命题(1)：是“两条平行直线被第三条直线所截”，是“同位角相等”．

[学生活动]

命题(3)中：是“两个三角形的面积相等”，是“这两个三角形全等”．

命题(5)中：是“”，是“”．

命题(6)中：是“一个三角形是直角三角形”，是“这个三角形的两个锐角互余”．

形成知识

数学中，许多命题可表示为“如果，那么”或“若，则”的形式，其中叫作命题的条件，叫作命题的结论．

【例题1】

指出下列命题中的条件和结论：

(1)      若，则；

(2)      若，则；

(3)      如果二次函数的图象经过坐标原点，那么；

(4)      如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．

[解析]

(1)      ，．

(2)      ，．

(3)      ：二次函数的图象经过坐标原点，：．

(4)      ：两个三角形的三边分别对应相等，：这两个三角形全等．

【例题2】

将下列命题改写成“若，则”（或“如果，那么”）的形式．

(1)      有一个内角是的等腰三角形是正三角形；

(2)      对顶角相等；

(3)      平行四边形的对角线互相平分．

(4)      对角线互相平分的四边形是平行四边形．

[解析]

(1)      若一个等腰三角形有一个内角是，则这个三角形是正三角形．

(2)      若两个角是对顶角，则这两个角相等．

(3)      若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．

(4)      如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．

【问题3】

判断命题为真，需要进行证明，判断命题为假，又该怎么做呢？

【例题3】

判断下列命题的真假：

(1)      若，则；

(2)      若，则；

(3)      全等三角形的面积相等；

(4)      面积相等的三角形全等．

[解析]

(1)      当时，显然有．所以，命题为真．

(2)      当，时，，即由，不能推出．所以，命题为假．

(3)      由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等．所以命题为真．

(4)                                                                                                            可以通过举反例：两个三角形同底等高，面积相等，但是并不一定全等．所以，命题为假．