第1章 集合（高效培优单元测试·强化卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合核心概念，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配高中数学集合单元复习，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|元素与集合关系、子集个数、集合运算|第6题结合机器学习情境，考察集合相似度计算，体现数学眼光| |多选|3/18|子集判断、集合运算、戴德金分割|第11题引入戴德金分割，深化逻辑推理，呼应核心素养| |填空|3/15|集合相等、参数范围、杰卡德距离|第14题关联数据科学，考察新定义应用，培养数学语言表达| |解答|5/77|集合运算、参数范围、乘法封闭集|第18题创设“乘法封闭集”新定义，综合考察创新思维，契合单元复习拔高需求|

第一章 集合（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B C D A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．5 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 16．（15分） 【详解】（1）由题意得，， 若时，； 若，则，则或，得或， 所以时，的值为； （2）由于，则且， 由（1）可知，当为非空集合且时，或； 当时，，， 因为，则，得，此时，符合题意； 当时，，， 因，则，得，此时，符合题意， 综上，或 17．（15分） 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 18．（17分） 【详解】（1）由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. (2)当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. (3)由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 19．（17分） 【详解】（1）依题意，. （2）依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负， 记，不妨设或者， ①当时，且， 相乘得，解得， 因此，； ②当时，同理得到，， 所以或. （3）先证明中元素个数不小于13， 若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数， ①集合中没有负数， 不妨设，则 积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14， ②集合中至少有一个负数， 设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，， 于是有， 以上是中的个非正数元素，又， 它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13， 因此中元素个数不小于13， 取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 5．已知集合，若，则实数a组成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 7．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（    ） A． B．0 C．3 D．2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 10．已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 11．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N．且，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割，例如：集合，，则为戴德金分割，若为戴德金分割，则下列结论正确的是（    ）． A．若集合A确定，则集合B一定是唯一的 B．若集合A中没有最大值，则集合B中一定有最小值 C．若集合A中有最大值，则集合B中一定没有最小值 D．若集合A中没有最大值，则集合B中一定没有最小值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知且，集合，．若，则______． 13．已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 14．“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（15分）已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 18．（17分）设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 19．（17分）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 2．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 3．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 4．如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 5．已知集合，若，则实数a组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分和两种情况运算求解，注意集合的互异性. 【详解】，则有或，解得 或或， 实数a组成的集合为. 故选：D 6．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 7．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 8．用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（    ） A． B．0 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据集合的新定义，由判断或3，结合集合的元素组成分类讨论求解并验证，求得实数a的所有可能的值即可. 【详解】根据题意，已知，则， 又由，可知或3，即方程有1个根或3个根； 由，可得或， 若，可得或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为0和，此时有两类情况： ①有两等根且根不为0和，由，解得， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意. ②当是的根时，解得； 若，则，，符合题意； 若，则， ，符合题意. 综上，可得a可取的值为0，，． 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 10．已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 11．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N．且，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割，例如：集合，，则为戴德金分割，若为戴德金分割，则下列结论正确的是（    ）． A．若集合A确定，则集合B一定是唯一的 B．若集合A中没有最大值，则集合B中一定有最小值 C．若集合A中有最大值，则集合B中一定没有最小值 D．若集合A中没有最大值，则集合B中一定没有最小值 【答案】AC 【分析】根据戴德金分割的定义，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】因为为戴德金分割，所以集合A确定，则集合B一定是唯一的，A正确； 当集合，时，集合A中没有最大值，集合B中没有最小值，B错误； 若集合A中有最大值，则，所以， 所以集合B中一定没有最小值，C正确； 当集合，时，集合A中没有最大值，集合B中有最小值，D错误．故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 13．已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】首先求出集合，然后根据以及，解不等式求得的取值范围. 【详解】因为化简得，由于， 又因为且，即，得， 综上所述，实数的取值范围为. 14．“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 【答案】 /0.4 【分析】根据“杰卡德距离”的定义，求出集合的元素个数即可；利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最大值. 【详解】当，时，，， 所以； 由，得，由，得， 因此，，则， 所以的最大值为. 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合交集、并集、补集的概念，以及运算法则，求出结果即可. （2）根据题干，判断两个集合的包含关系，再分类讨论，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】（1）由，得， 又， 所以，. 或，则. （2）因为，所以， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 16．（15分）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）由条件可知，，分和两种情况列式求解； （2）分和两种情况，结合数轴，比较端点值，列式求解. 【详解】（1）由条件可知，， 当时，，得， 当时，，得， 综上可知，或； （2）当时，，得， 当时，或， 得或， 综上可知，或. 17．（15分）已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，再对进行分类讨论，由此求得的取值范围. （2）先判断出有个元素，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 18．（17分）设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)，或 (2)（i）是，证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义求解即可； （2）（i）根据“乘法封闭集”的定义进行证明即可； （ii）根据“完美元素”的定义，得到和的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设集合， 因为集合是一个“乘法封闭集”，所以，，， 所以或， 解得或，解得或， 所以或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时， 若令，则，所以，或，解得或（舍去），此时，或， 综上，，或； （2）（i）设，则， 所以， 因为，所以，， 所以，所以是一个“乘法封闭集”； （ii）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以或， 假设，则，即为3的倍数， 设，若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 所以. 19．（17分）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）将代入方程，求解即可； （2）由为方程的根可求出a的值，再讨论是否为的根即可. （3）分类讨论，是的根时，确定a的值，再考虑另一个方程的判别式情况，验证是否符合题意，同理讨论-2是的根，综合即可求得答案. 【详解】（1）若，则方程为， 即，解得或，故； （2）由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或； （3）由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $