3.2.1 单调性与最大（小）值(第1课时)（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的定义、证明及应用，通过气温变化曲线、快递运费分段计费等生活实例导入，从函数的定义与表示过渡到性质研究，搭建从直观感知到符号语言刻画的学习支架。 其亮点在于以生活现象引发认知冲突，培养“用数学的眼光观察现实世界”，通过二次函数单调性的互动探究与一次函数、对勾函数的严格证明，发展“数学思维”中的推理能力，用定义对照表、证明步骤归纳等“数学语言”梳理知识，帮助学生构建严谨逻辑体系，教师可依托实例与方法总结提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第三章 函数的概念与性质 (第1课时） 3.2.1 单调性与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 能够从具体的函数图象中，抽象概括出函数单调性的定义。 理解“任意 ∈I”的全称量词含义，能准确区分“某些点”满足与“任意点”满足的本质差异。 能利用函数单调性的定义，对一次函数、反比例型函数 、对勾函数 y= 等进行严格的单调性证明。 掌握作差比较法的变形技巧（因式分解、通分、有理化等），体会由“因”导“果”的演绎推理过程。 新课引入 我们已经掌握了函数的定义和三种表示方法,能用解析式、表格、图象刻画两个变量的对应关系. 但仅仅知道对应关系还不够,现实里很多变化现象需要我们深挖规律: 比如气温在一天里先升后降、网购运费随购买重量分段变化, 这些变化里藏着不变的特征、固定的规律,这就是函数的性质. 气温变化曲线——感知“上升与下降” 同学们，这是一天中气温随时间变化的曲线。请大家观察：从0时到4时，气温在怎样变化？从4时到14时呢？从14时到24时呢？” 下降→上升→下降。 我们能否用数学语言精确地描述这种‘随时间的增大而增大（或减小）’的现象？ 如果再给你两个时刻 ，你能确定气温 的大小关系吗？ 思考 快递运费的分段计费 某快递公司的首重/续重计费规则： “首重1kg内收费10元，续重每增加1kg加收5元。” 运费随包裹重量的增大而增大吗？这种‘增大’和我们刚才看到的气温上升是一回事吗？ 运费确实随重量增大而增大，但它是一段一段跳跃式增长的，不是“连续、平滑”地增大。 这说明‘增大’也有不同形态——有连续平稳的变化，也有分段跳跃的变化。但无论哪种，它们的共同本质是：当自变量增大时，函数值要么增大，要么减小。这种本质规律 这种本质规律就是今天我们要研究的——函数的单调性。 目标一：函数单调性定义 互动探究 回顾旧知 函数的单调性 刚才我们从生活现象中感受到了‘增减变化’的存在。在数学中，我们能不能用一套精确的符号语言，把这种‘增减’说清楚、证明白呢？让我们从一个最熟悉的函数——f(x)=——开始探索。” 初中时，我们学过二次函数 f(x)=。请大家画出它的图象，并回答：在y轴左侧，y随x的增大而怎样变化？右侧呢？” 左侧下降（y随x增大而减小），右侧上升（y随x增大而增大）。 这种性质在数学上叫做函数的‘单调性’。今天我们要做三件事：第一，用精确的符号语言重新定义它；第二，学会用定义去证明；第三，注意应用中容易出错的地方。 互动探究 用符号语言刻画单调性 函数的单调性 刻画“单调递减”——以 f(x)= 在 (-∞,0] 为例 刚才我们说‘在y轴左侧，y随x的增大而减小’ 现在，请任取 我们找到了一个规律：在区间 (-∞,0] 上，任意取 ，都有 。 这种规律，就叫做函数在该区间上‘单调递减’。” 互动探究 用符号语言刻画单调性 函数的单调性 刻画“单调递增”—以 f(x)= 在 [0,+∞) 为例 同学们自主完成： 任取 0≤，证明 。 我又找到了一个规律：在区间 [0,+∞) 上，任意取 ，都有 。 这种规律，就叫做函数在该区间上‘单调递增’。” 知识讲解 函数的单调性 单调性定义 刚才我们对具体的 f(x)= 在具体区间上作了描述。现在，我们能否将这些具体例子中的共同特征抽象出来，给出一般的定义？” 增函数： 设函数 f(x) 的定义域为 D，区间 I⊆D，如果 ，当 时，都有 ，就称 f(x) 在区间 I 上单调递增。 减函数： 设函数 f(x) 的定义域为 D，区间 I⊆D，如果 ，当 时，都有 ，就称 f(x) 在区间 I 上单调递减。 类别 增函数（单调递增） 减函数（单调递减） 共同前提 函数定义域，区间；任取 函数定义域，区间；任取 自变量关系 函数值关系 文字描述 在区间上，自变量越大，函数值越大 在区间上，自变量越大，函数值越小 图像特征 图像从左往右上升 图像从左往右下降 特别地： 在整个定义域上单调递增的叫增函数，单调递减的叫减函数。 增减定义对照表 定义解读——三个“关键词” 关键词一：“任意” ——必须是区间内所有的自变量都满足条件，不能仅凭“某些”或“很多”点来判断。例如，不能因为 f(1)<f(2)<f(3) 就说函数在 [1,3] 上递增。 关键词二：“区间 I” ——单调性是函数的局部性质，必须指明在哪个区间上单调。同一个函数在不同区间上可能有不同的单调性，比如 f(x)= 在 (-∞,0] 递减，在 [0,+∞) 递增。 关键词三：“都有” ——必须确保每一个 都满足同一方向的不等号，不能有的满足、有的不满足。 目标二：定义应用---证明函数单调性 典例分析 证明单调性 设元 例1 作差 定号 一次函数 f(x)=kx+b（k≠0）的单调性 分析思路：要判断单调性，只需考察 K的正负影响到差的符号，需要分类讨论。 情况一：若 k>0则 由单调递增的定义可知，f(x)=kx+b 在 R 上单调递增。 情况二：若 k<0则 由单调递减的定义可知，f(x)=kx+b 在 R 上单调递减。 当 k>0 时，在 R 上单调递增； 当 k<0 时，在 R 上单调递减。 典例分析 证明单调性 设元 例2 作差 定号 玻意耳定律 p=（V∈(0,+∞)，k>0） 物理学中，温度不变时，体积减小压强增大。这用数学语言说就是压强 p 关于体积 V 单调递减。请大家尝试用定义证明。 证明 在 (0,+∞) 上单调递减。 典例分析 证明单调性 设元 例3 作差 定号 证明 y=x+ 在 (1,+∞) 上单调递增 提示变形技巧:;强调： 变形的目标是化成若干个因式的乘积，以便于判断符号。 归纳步骤： 步骤 操作内容 1. 取值 在给定区间上任取 2. 作差 计算 并变形（因式分解、通分、配方等） 3. 定号 判断差的符号，得出结论（增函数或减函数） 目标三：借助图象研究函数单调性 典例分析 图象研究函数单调性 图象 例4 单调性 验证 函数 f(x)=|x|有怎样的单调性? 定义法主要用来证明函数单调性，在非证明场合，主要是应用图象判断，也体现了数形结合.一般不需要证明。 f(x)=|x| 的图象如图 图象在 y 轴左侧从左到右是下降的, 也就是说, 当 x<0 时, y 随 x 的增大而减小, 任意 所以 f(x)=|x| 在区间 (-∞,0] 上是单调递减的. 类似地, f(x)=|x| 在区间 [0,+∞) 是单调递增的. 典例分析 图象研究函数单调性 图象 例4 单调性 函数 f(x)=有怎样的单调性? 上节研究了分段函数，它的图象是一段一段合成的，要注意把图象保留在各自的限定区间内。 图象如图所示, f(x) 在 [-1,0],[1,+∞) 上都是增函数, 在 (-∞,-1],[0,1] 上都是减函数. 特别提醒 1.并非所有函数都具有单调性. 例如: 函数 f(x)= 它的定义域为 R, 但不具有单调性. 2.对于区间端点 由于它的函数值是唯一确定的常数, 没有增减的变化, 所以不存在单调性问题, 因此在写单调区间时, 可以包括, 也可以不包括. 例如: y=-+2 的单调递增区间为 (-∞,0), 也可以写为 (-∞,0]. 但是需要注意, 函数在区间端点处无定义时, 单调区间不能包括端点. 3.单调区间不能取并集, 只能用 ” 和 ” 或 “,” 连接. (易错点) 例如: 函数 f(x)= 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上均单调递减, 若取并集, 则 ∀∈(-∞,0)∪(0,+∞), 且 可能小于 这与单调性定义矛盾. 目标四：针对训练 举一反三 1. 判断题（快速问答）： （1）若函数 f(x) 在区间 [1,3] 上满足 f(1)<f(2)<f(3)，则 f(x) 在 [1,3] 上单调递增。（） （2）函数 f(x)=的单调递减区间是 (-∞,0)∪(0,+∞)。（） 解析： × （1）单调递增要求区间内任意 仅凭三个特定点的大小关系不能保证整个区间内都递增，例如函数可能在 (1,2) 或 (2,3) 内波动。 答案：×（错误）解析：f(x)=1/x 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上分别单调递减，但不能合并为并集。因为在两个区间上取 符合递减定义。应写作：单调递减区间为 (-∞,0) 和 (0,+∞)（或分别写）。 举一反三 1. 判断题（快速问答）： （1）若函数 f(x) 在区间 [1,3] 上满足 f(1)<f(2)<f(3)，则 f(x) 在 [1,3] 上单调递增。（） （2）函数 f(x)= 的单调递减区间是 (-∞,0)∪(0,+∞)。（） （3）常数函数 f(x)=2 既具有单调递增性，也具有单调递减性。 解析：A是棱锥，B是圆台（旋转体，不是多面体），C是四棱柱，D是旋转体（圆锥），故选C。 举一反三 1. 判断题（快速问答）： （3）常数函数 f(x)=2 既具有单调递增性，也具有单调递减性。 答案：错若采用严格单调定义，则常数函数既不是严格增也不是严格减，但本题表述“单调递增性”一般指非严格单调，故判断为正确。 2.下列函数在定义域内是增函数的是( ) A. y=2x+3 B. y=-2x+3 C. y=+1 D. y=-+1 解析: 对于 A, 一次函数 y=2x+3 在定义域 R 上单调递增, A 是;对于 B, 一次函数 y=-2x+3 在定义域 R 上单调递减, B 不是;对于 C, 二次函数 y=+1 在定义域 R 上不单调, C 不是;对于 D, 二次函数 y=-+1 在定义域 R 上不单调, D 不是.故选: A. 举一反三 3.如果二次函数 f(x)=+2(a-1)x+2 在区间 (-∞,4] 上是减函数, 则 a 的取值范围是( ). A.a≤5   B.a≤-3   C.a≥3   D.a≥-3 解析: 函数 f(x)=+2(a-1)x+2 图象的对称轴为直线 x=1-a , 函数 f(x)=+2(a-1)x+2 在区间 (-∞,4] 上是减函数, 可得 1-a≥4 , 解得 a≤-3 . 4.如果函数 y=f(x) 的图象如图所示,那么此函数的减区间为 答案: [-3,-1], [1,3] 解析: 由题中图象可得函数的减区间为[-3,-1], [1,3]. 区间之间用逗号或者：或。 举一反三 5.利用函数单调性的定义, 证明: 函数 f(x)=x+ 在区间 (0,2) 上单调递减. 证明: 为区间 (0,2) 上的任意两个值, 则 故 f(x)=x+ 在区间 (0,2) 上是减函数. 目标五：小结 学海拾贝 方法层面的总结 步骤 操作要点 易错提醒 取值 在指定区间内任取 必须强调“任意”，不能取特殊值 作差 变形要彻底，化为乘积形式 定号 逐项判断每个因式的符号 注意利用 所在区间的范围 学海拾贝 注意事项（重点强调——补充） 注意事项1：单调性是局部性质，必须指明区间 “不能说‘函数 f(x)= 是减函数’，而要说‘f(x)= 在区间 (-∞,0] 上是减函数’。离开区间谈单调性是没有意义的。” 注意事项2：单调区间不能用并集符号“∪”连接 “比如 f(x)= 在 (-∞,0) 上递减，在 (0,+∞) 上也递减，但不能说在 (-∞,0)∪(0,+∞) 上递减。因为取 ，虽然 ，不符合减函数的定义。正确写法是用‘和’或逗号连接。” 学海拾贝 注意事项（重点强调——补充） 注意事项3：区间端点的处理要灵活 “写单调区间时，端点可以包括也可以不包括。比如 y=-+2 的单调递增区间可以写 (-∞,0)，也可以写 (-∞,0]。但如果函数在端点处无定义，就不能包括端点。” 注意事项4：并非所有函数都有单调性 “比如狄利克雷函数 f(x)=在任意区间上都不具有单调性。以后我们还会遇到更多不具有单调性的函数。” 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $