第1章 直线与方程（高效培优单元自测·提升卷）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学“直线与方程”单元复习，通过单选、多选、填空、解答题覆盖距离、倾斜角、垂直关系等核心知识点，注重数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|直线距离、倾斜角（如第2题）|基础巩固，强调概念辨析| |多选题|3题18分|直线过定点、垂直条件（如第9题）|能力提升，考查逻辑推理| |填空题|3题18分|平行距离、垂直参数（如第12题）|知识应用，注重计算准确性| |解答题|5题74分|直线方程应用、面积最值（如第18题）|综合创新，体现模型意识与推理能力|

第1章 直线与方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线与直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知直线l：，则直线l的倾斜角为（   ） A．120° B．60° C．30° D．150° 3．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 4．“”是“直线和直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 6．已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 10．已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（    ） A．直线l在y轴上的截距为 B．向量是直线m的方向向量 C．直线l与m的交点坐标为 D．直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 11．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．直线l恒过点 D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．平行直线与之间的距离是__________． 13．已知直线：，：，若，则实数______. 14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 16．已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 17．在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 18．已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 19．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，． (1)求边所在的直线方程； (2)若边上中线的方程为，且面积为33，求点的坐标． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线与直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 2．已知直线l：，则直线l的倾斜角为（   ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角 【分析】求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求出. 【详解】可化为， 设直线l的倾斜角为，则，得， 故直线l的倾斜角为. 故选：D 3．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 4．“”是“直线和直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为“直线和直线垂直， 所以或. 当时，直线和直线垂直； 当直线和直线垂直时，不一定成立. 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件， 故选：A． 5．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 6．已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交， 由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A. 7．已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆 【分析】利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 8．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析 【分析】首先求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可； 【详解】设关于的对称点为， 则有， 解得：，即， 反射光线所在直线为， 整理得： 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【难度】0.75 【知识点】直线过定点问题、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 10．已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（    ） A．直线l在y轴上的截距为 B．向量是直线m的方向向量 C．直线l与m的交点坐标为 D．直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线的方向向量（平面中）、求直线交点坐标 【分析】对于A，根据直线l的方程，令，即可求解判断；对于B，根据直线l的斜率先得到直线m的斜率，即可得到直线m的一个方向向量，进而判断即可；对于C，先求出直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程即可求解，进而判断；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，进而求出的坐标，再计算面积即可判断. 【详解】对于A，由直线，令，得， 所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，由直线，则直线l的斜率为， 因为，所以直线m的斜率为， 所以直线m的方向向量可以是， 因为，所以是直线m的方向向量，故B正确； 对于C，由题意知，直线m过点， 所以直线m的方程为，即， 联立，解得， 所以直线l与m的交点坐标为，故C正确； 对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C， 则直线l，m与x轴围成的三角形即， 由直线，令，得，则， 由题意及C选项的分析可设，，所以， 则的面积，故D正确. 故选：BCD. 11．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．直线l恒过点 D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线的斜截式方程及辨析 【分析】运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项. 【详解】对于A项，若，则，解得或， 经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立； 对于C项，因为， 则由得，所以l恒过点，故C项正确； 对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点， 则，得， 所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立． 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．平行直线与之间的距离是__________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】求平行线间的距离 【详解】由两条平行线间的距离公式得直线与之间的距离为. 13．已知直线：，：，若，则实数______. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用直线相互平行的充要条件即可得出. 【详解】解： 故答案为：3. 14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【答案】(1)或 (2)或或或 【难度】0.67 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、两条直线的到（夹）角公式 【分析】(1)利用两直线的夹角公式，即可列方程求解斜率，然后求直线方程； (2)利用设直线方程求与坐标轴的横纵截距，结合面积可得斜率方程求解即可. 【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. 16．已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. 【详解】（1）因为直线， 所以， 因为， 所以，解得， 所以对任意实数，直线都经过一个定点. （2）因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 17．在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据斜率公式求得斜率，再根据两直线垂直时斜率关系求得直线的斜率，由点斜式方程即可求解； （2）分类讨论，当截距为0和截距不为0两种情况即可求解． 【详解】（1）由，可得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即． （2）当截距均为0时，直线方程为，符合题意， 当截距不为0时，不妨设直线方程为， 又直线经过点A，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或． 18．已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)或 (3)的最小值为16，此时直线的方程为 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、基本不等式求和的最小值、求直线交点坐标 【分析】（1）将直线方程化为的形式，从而确定定点； （2）先分别求出直线与轴交点的横坐标和在轴上的截距，再根据二者相等列方程求解的值； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时的值确定直线l的方程． 【详解】（1）直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点. （2）当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立. 所以的值为或. （3）由题意可知，由（2）知，， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为16，此时直线的方程为. 19．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，． (1)求边所在的直线方程； (2)若边上中线的方程为，且面积为33，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、求点到直线的距离、直线两点式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】（1）根据两点式方程，化简整理，即可得答案. （2）先求得BC长，根据面积，可求得点A到直线BC的距离，结合点到直线距离公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由两点式方程得边所在的直线方程，整理得． （2）∵， 设到直线BC距离为d，则，∴． ∴，联立， 解得，或，， ∴A的坐标为或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $