第1章 坐标平面上的直线（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版2020选择性必修第一册

第1章 坐标平面上的直线（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角的取值范围是 . 2．若点在直线：上，则直线的点法式方程为 ． 3．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 4．直线与直线的夹角大小为 ． 5．如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为4米的广告牌，为拉杆，广告牌的倾角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广告牌的安装效果．为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方．设米，该监理人员观察广告牌的视角．试将表示为的函数： ；当为 米时，取得最大值．    6．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ； (2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为 . 7．已知直线 （其中为实数）过定点P，点Q在函数的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是 ． 8．已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时， ． 9．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则 ． 10．在平面直角坐标系中，已知一个正方形四条边所在的直线，，，分别经过点，，，，且的斜率为正数，给出下列三个结论： ①若，则该正方形的面积是； ②若，则该正方形的面积是； ③若该正方形的面积为，则的斜率为2． 其中正确结论的序号是 ． 11．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为 . 12．过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 16．直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知直线． (1)若直线与垂直，求的值； (2)若直线与平行，求，之间的距离． 18．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 19．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 20．已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 21．已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 试卷第10页，共18页 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 坐标平面上的直线（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【分析】分，，讨论即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 当时，直线为，； 当时，，当且仅当时取等号， ∴； 当时，， 当且仅当时取等号， ∴，综上可得. 故答案为： 2．若点在直线：上，则直线的点法式方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得直线的法向量，利用在上的充要条件是 ，即，结合数量积运算可得答案. 【详解】由题意可设在直线上, 由可得直线的一个法向量为， 设为直线上任一点，则在上的充要条件是 ，即， 故 ，即， 故若点在直线：上， 则直线的点法式方程为， 故答案为： 3．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得的值，由两平行线间距离公式可得的值，由此计算可得答案． 【详解】根据题意，两条平行直线，， 必有，解可得， 则即，变形可得， 又由两条平行直线间的距离为，则有，解可得或， 故. 故答案为：． 4．直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 5．如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为4米的广告牌，为拉杆，广告牌的倾角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广告牌的安装效果．为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方．设米，该监理人员观察广告牌的视角．试将表示为的函数： ；当为 米时，取得最大值．    【答案】 【分析】第一空:作，垂足为；作，垂足为，交于；作，垂足为，在和分别用表示出和，根据，利用两角和差的正切公式可求解；第二空：设，可得，利用基本不等式可求得时，取最大值，又在上单调递增，可知时，最大，从而求解. 【详解】第一空：作，垂足为；作，垂足为，交于；作，垂足为，如图所示：    在中， ， 在中，， ． 监理人员必须在的右侧，． 综上，． 已知， 第二空：令，则， ． （当且仅当，即时取等号）， ． 当，即时，取最大值． 又且在上单调递增， 最大时，最大．当米时，取得最大值． 6．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ； (2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为 . 【答案】 x－y＝0或x＋y－2＝0 x＋y－2＝0 【详解】(1)①当直线l经过坐标原点时， 可得a＋2＝0， 解得a＝－2． 所以直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0； ②当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时， 由条件得， 解得a＝0， 所以直线l的方程为x＋y－2＝0． 综上可得直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0． (2)在(a＋1)x＋y－2－a＝0（a>－1）中， 令，得；令，得． 所以． 由于，得． 所以 ． 当且仅当，即a＝0时等号成立． 此时直线l的方程为x＋y－2＝0． 答案：(1) x－y＝0或x＋y－2＝0    (2) x＋y－2＝0 【点睛】用基本不等式求最值时，首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件，若满足则可直接利用基本不等式求出最值；若不满足，则需要对代数式进行适当的变形，此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧，通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“ 定”、“等”的条件． 7．已知直线 （其中为实数）过定点P，点Q在函数的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把直线方程整理成的多项式，根据恒等式的知识求出定点的坐标， 【详解】由得 ∴，解得，∴。 作出函数的图象，如图，直线和轴是它的两条渐近线，因此当点在第三象限时，， 当在第一象限时，直线可能与函数图象相切，设切点为， ，则，解得，此时， 由图象可知， 综上。 故答案为：。 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线与函数图象有公共点问题。 （1）直线过定点时，可把直线方程变形为关于所含参数的多项式，然后由恒等式知识求得定点； （2）直线与函数图象有公共点问题，可作出函数图象及直线，利用图象观察各种可能出现的情况，直观形象，有助于解题。 8．已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时， ． 【答案】2 【分析】先分别对直线进行变形，求出每条直线恒过的定点，再利用两点间距离公式求出两定点间的距离，该距离即为两直线间的最大距离，最后利用两定点的连线与的垂直关系求出直线的斜率，进而求出． 【详解】， 由得， 直线恒过点， 同理， 由得， 直线恒过点， 两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直， ， ， ，解得， 之间距离最大时，． 故答案为：2． 9．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则 ． 【答案】2 【分析】根据点以及方向向量分别求解出，的方程，再得到截距即可得出结果. 【详解】因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距． 因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距， 所以． 故答案为：2. 10．在平面直角坐标系中，已知一个正方形四条边所在的直线，，，分别经过点，，，，且的斜率为正数，给出下列三个结论： ①若，则该正方形的面积是； ②若，则该正方形的面积是； ③若该正方形的面积为，则的斜率为2． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据题意和条件分别设直线方程，结合正方形边长相等即为两平行线之间的距离相等，计算判断结果即可. 【详解】①若，因为正方形四条边所在的直线，，，分别经过点，，，，且的斜率为正数， 设，根据题意可知的斜率为， 所以，其中之间的距离等于之间的距离， 即，解得，故正方形的边长为， 该正方形的面积为，①正确. ②若，根据题意可知若，设， ，其中之间的距离等于之间的距离， 即，解得，故正方形的边长为， 该正方形的面积为， 若，设， ，其中之间的距离等于之间的距离， 即，解得，故正方形的边长为， 该正方形的面积为，故②不正确. ③由上分析可知若该正方形的面积为，则的斜率为，因为直线的斜率为正数，斜率等于2，③正确. 故答案为：①③. 11．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案. 【详解】设点，则，点B关于直线的对称点为， 则，解得， 所以要使最短，则需最短， 而， 又，设，所以，所以， 所以当时（满足），取得最小值，最小值为， 所以的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题. 12．过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据数形结合，结合三角函数知识即可求得的最大值. 【详解】如图所示： 作交于点，作交于点， 可得四边形为矩形， ， 故可设， ，其中， 当取最大值1时，取最大值. 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 因为直线l与连接点，的线段总有公共点， 所以，即， 所以. 故选：A.    14．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解. 【详解】设直线方程为，则，解得，即，即， 设关于直线对称的点为，则，解得，即，， 同理可得： 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 如图所示： 利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点； 所以点之间为点的变动范围， 因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而， 所以，即. 故选：D 15．过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】截距为零时单独考察，在截距不为零时，设截距分别为利用截距式写出直线方程，根据过定点,得到的关系，判定的范围，然后求得后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，从而解决问题. 【详解】当截距为0时，是直线,只有一条， 当截距大于0时，设截距分别为则直线方程为，∵直线过点, ∴①，∵,∴,结合①可得，,∴, 又∵为整数，， 由①解得,为12的因数， ∴,对应,相应 对应的直线又有6条， 综上所述，满足题意的直线共有7条， 故选：D. 【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的情况，而是在截距不为零时，得到后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，本题属中档题. 16．直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知直线． (1)若直线与垂直，求的值； (2)若直线与平行，求，之间的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出和的斜率，再由，可知在斜率存在的情况下，得到，建立的等式计算求解； （2）先求出和的斜率，再由，可知在斜率存在的情况下，得到，建立的等式计算求出，再利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为，的斜率为． 所以直线的斜率存在且不为0，     由题意知的斜率为，所以，解得． （2）直线的斜率为2． 因为，所以，，     所以直线，的方程分别为，， 所以直线，之间的距离为． 18．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点式和截距式求解直线方程即可； （2）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； （3）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； 【详解】（1）由两点式得边所在直线方程为，即. 由截距式得边所在直线方程为，即. （2）设的中点为，由中点坐标公式可得， 因为，所以垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为，即. （3）因为，所以高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 19．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由可得直线的斜率，进而可得直线的方程； （2）设直线的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标； （3）设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变形后利用基本不等式求解． 【详解】解：（1）由已知得，又， 直线的方程； （2）设直线的斜率分别为， 则，得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为，联立得； 故所求为； （3）设，其中， 故 ． 由于（等号成立的条件是）， 故． 【点睛】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高． 20．已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. 【详解】（1）直线的方程为，则，因此直线恒过定点. （2）如图1，若直线不经过第四象限，则. （3）由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 21．已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②最小值6， 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 试卷第10页，共18页 18 学科网（北京）股份有限公司 $