5.1直角三角形的性质定理 同步提升练习2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦直角三角形性质和判定、含30°角直角三角形性质及应用，分层设计清晰，从基础巩固到素养提升，适配教学梯度，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|单一知识点直接应用|选择填空考查互余、中线性质等，如直角三角形锐角关系计算| |刷提升|多知识点综合应用|动态问题结合判定与性质，如含30°角三角形与垂直平分线综合| |刷素养|复杂情境与核心素养|旋转最值问题体现空间观念，如等边三角形中线段旋转求最小值|

5.1直角三角形的性质定理 课时1 直角三角形的性质和判定 刷基础 知识点1 直角三角形的两个锐角互余 1如图,AM∥BN,∠ACB=90°,∠MAC=25°,则∠CBN的度数为 ( ) A.25° B.50° C.65° D.75° 2如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边上的高,DE⊥AB 于点E，则下列各角不与∠C互余的是 ( ) A.∠B B.∠DAC C.∠ADE D.∠BAD 3在直角三角形中，锐角α比锐角β的 3 倍还多 10°，则锐角 α的度数为 . 知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形 4下列条件:①∠A+∠C=∠B;②∠A:∠B:∠C=2:3:5;③∠A=90°-∠B 其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5如图，梯子AB 斜靠在墙面上，P是梯子AB 的中点，梯子滑动时,点 B 沿 BC 滑向墙角 C 点,点 A 沿 CA 滑动远离墙角C点，则P 点和C 点的距离 ( ) A.始终不变 B.不断变小 C.不断变大 D.先变小后变大 6如图,Rt△DAB 中,∠DAB=90°,∠D=36°,O为DB的中点,则∠BAO= . 7如图,在锐角三角形ABC 中,CD,BE 分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE 的中点.求证:MN⊥DE. 课时2 含30°角的直角三角形的性质及其应用 刷基础 知识点1 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 1在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=a,则CB 等于 ( ) A. B. C. D.以上结果都不对 2如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BCD=30°,CD 是△ABC 的高,且BD=2,则AB的长为( ) A.3 B.5 C.8 D.9 3如图,在△ABC中,∠A=90°,∠C=75°,AC=6,DE 垂直平分BC，则BE的长为 ( ) A.12 B.6 C.8 D.9 4如图,在△ABC中,∠A=∠C=75°,AB=6,则△ABC的面积为 . 知识点2 直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，其所对的角等于30° 5如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,DE 是 AB 的垂直平分线,DC=5,则BC= ( ) A.7.5 B.10 C.15 D.20 6 如图,在△ABC中,AC=2AB=12,∠ABC=90°,点D 是边BC上一动点，以AD为腰作等腰三角形ADE，使AE= AD,∠DAE=60°,连接BE,则BE的最小值为( ) A.2 B.3 C. D. 知识点3含30°角的直角三角形的应用 7某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要 ( ) A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 8如图，小明在A 处看见前面山上有个气象站C，仰角为15°，沿AB行走4千米到达 B 处，此时小明看气象站 C 的仰角为30°.请你算出这个气象站离地面的高度 CD是 . 9如图，灯塔C 在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8时，一条船从海岛A出发，以15 海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C 为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险?请你说明理由. 刷提升 1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 为AB 边的中线,点 E 在 BC上,且CE=AC,∠BAE=15°,则∠DEB 的大小为( ) A.125° B.75° C.105° D.115° 2如图,已知∠AOB=60°,点 P 在OA 边上,OP=8cm ,点 M,N在边 OB 上,PM=PN.若MN=2cm,则OM= ( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.1 cm 3如图,在四边形ABCD中,AD=8,BC=2,∠B=90°,∠A=30°,∠ADC=120°,则 CD的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4已知，三角形ABC 为等腰三角形,AD⊥BC,垂足为D, 则∠ACB 的度数有 ( ) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 5如图，在三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AC=12,沿过点A 的直线将纸片折叠，使点 B 落在BC上的点 D 处，折痕交BC 于点 F；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，折痕交AC 于点 E,交BC 于点 G.若AD=2FD,则DE= . 6如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=6cm,点 D 从点A出发以1 cm/s的速度向点 C 运动，同时点 E 从点C 出发以2cm/s的速度向点B运动，设运动的时间为 ts，解决以下问题： (1)当t为何值时，△DEC 为等边三角形? (2)当t为何值时，△DEC为直角三角形? 7如图,△ABC 是等边三角形,P是△ABC的角平分线 BD 上一点,PE⊥AB 于点 E,线段BP 的垂直平分线交BC 于点 F，垂足为点 Q. (1)若BQ=2,求PE的长; (2)连接PF,EF,试判断△EFP 的形状,并说明理由. 刷素养 8如图，在等边△ABC中,AC=6,CD⊥AB,点 E P是线段 CD 上一动点，连接AE，将线段AE 绕点 A 顺时针旋转60°，得到线段AP,连接DP,则DP长的最小值为 . 5.1直角三角形的性质定理 课时1 直角三角形的性质和判定 刷基础 1. C 【解析】因为 AM∥BN,所以∠MAB +∠ABN=180°.因为∠ACB=90°,所以∠CAB+∠ABC=90°,所以∠MAC+∠CBN=90°.因为∠MAC=25°,所以∠CBN=65°.故选 C. 2. D 【解析】A 选项,因为∠BAC=90°,所以∠C+∠B=90°,故本选项不符合题意. B 选项,因为AD⊥BC,所以∠C+∠DAC=90°,故本选项不符合题意. C 选项,因为 DE⊥AB,CA⊥AB,所以DE∥CA,所以∠ADE=∠DAC.因为∠C+∠DAC=90°,所以∠C+∠ADE=90°，故本选项不符合题意. D选项，因为AD⊥BC,所以∠B+∠BAD=90°.因为∠B+∠C=90°,所以∠C=∠BAD,故本选项符合题意.故选 D. 3.70°【解析】设锐角β的度数是x，则锐角α的度数是3x+10°,所以x+3x+10°=90°,解得x=20°,所以3x+10°=70°,所以锐角α的度数为70°. 4. D 【解析】①因为∠A+∠C=∠B,所以2∠B=180°,即∠B=90°,所以△ABC 是直角三角形.②设∠A=2x,则∠B=3x,∠C=5x,所以2x+3x+5x=180°,解得x=18°,所以∠C=18°×5=90°,所以△ABC 是直角三角形.③因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B = 90°,所以∠C =180°-90°=90°,所以△ABC 是直角三角形.④因为 所以 ∠C=180°,解得∠C=90°,所以△ABC 是直角三角形.所以能确定△ABC 是直角三角形的条件有①②③④,共4个.故选 D. 5. A 【解析】连接CP.因为BC⊥AC,且P为AB的中点,所以CP 为 Rt△ABC斜边上的中线,所以 因为梯子的长度不变，所以P点和 C 点的距离始终不变.故选 A. 6.54°【解析】因为∠DAB=90°,O 为 DB 的中点,所以AO=DO,所以∠DAO=∠D.又因为∠D=36°,所以∠DAO=36°,所以∠BAO =∠BAD-∠DAO = 90°-36°= 54°, 故答案为54°. 7.【证明】如图,连接DM,ME.因为 CD,BE 分别是AB,AC 边上的高,M 是 BC 的中点,所以 所以DM=ME.又因为N为DE 的中点,所以MN⊥DE. 课时2 含30°角的直角三角形的性质及其应用 刷基础 1. A 【解析】设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x. 因为∠A+∠B+∠C=180°,所以x+2x+3x=180°,解得x=30°,所以∠A=30°,∠C=90°,所以 故选 A. 2. C 【解析】因为∠ACB=90°,所以∠A+∠B=90°.因为 CD 是△ABC 的高,所以∠BDC =90°,所以 ∠BCD +∠B = 90°,所以∠A =∠BCD.因为∠BCD=30°,所以∠A=∠BCD=30°.因为BD=2,所以BC=2BD=4,所以AB=2BC=8.故选 C. 3. A 【解析】如图,连接 EC,设∠BCE=∠1,∠ACE = ∠2,∠AEC = ∠3. 因为 △ABC 中,∠A=90°,∠ACB=75°,所以∠B=15°. 因为DE垂直平分BC,所以 BE=EC,所以∠1=∠B=15°,所以∠2=∠ACB-∠1=75°-15°=60°.在 Rt△ACE 中,∠2=60°,∠A=90°,所以∠3=180°-∠2-∠A=180°-60°-90°=30°,所以EC=2AC=2×6=12,所以BE=12.故选 A. 4.9 【解析】如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.因为∠A = ∠ACB =75°,所以 AB = BC = 6,∠B=180°-75°×2=30°,所以 所以 5. C 【解析】因为在△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,所以∠B=30°,所以∠BAC=60°. 因为DE 是AB 的垂直平分线,所以∠BED=90°,BD = AD,所以 ∠DAB = ∠B = 30°,所以∠CAD=30°,所以 BD=AD=2CD=10,所以BC=BD+DC=10+5=15.故选 C. 6. B 【解析】如图,在AC 上取一点 M,使AM=AB=6,连接DM.因为∠ABC=90°,AC=2AB,所以∠C=30°,所以∠DAE=∠BAC=60°,所以∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠EAB=∠DAM. 又 因 为 AE = AD,所以 △ABE ≌△AMD,所以BE=MD,所以当 MD 有最小值时,BE 有最小值.当 MD⊥BC 时,MD 有最小值.因为AC=12,所以CM=AC-AM=12-6=6.当 MD⊥BC 时,∠MDC =90°. 因为∠C=30°,所以 所以 MD 的最小值为3，所以BE的最小值为3，故选B. 7. C 【解析】如图,作BH⊥CA,交 CA 的延长线于 H,则∠BAH=180°-∠BAC=30°,所以在Rt△ABH 中, 米，所以 (平方米)，所以购买这种草皮至少需要150a元. 8.2千米 【解析】因为∠CBD=∠A+∠BCA,∠A= 15°,∠CBD = 30°,所以∠BCA = 30°-15°=15°,所以∠BCA=∠A,所以BC=AB =4千米.因为CD⊥AB,∠CBD=30°,所以CD= (千米).故答案为2千米. 9.【解】(1)根据题意得∠BAC=90°-75°=15°,∠CBE=90°-60°=30°,AB=15×2=30(海里)，所以 所以 所以.BC=AB=30海里，所以 B 处到灯塔 C 的距离为30海里. (2)若该船继续由西向东航行，有触礁的危险.理由： 如图，过C作( 于点 D. 因为 海里， 所以 海里. 因为15<16,，所以若该船继续由西向东航行，有触礁的危险. 刷提升 1. C 【解析】因为∠ACB=90°,CE=AC,所以∠CAE=∠AEC=45°.因为∠BAE=15°,所以∠CAB=∠CAE+∠BAE=45°+15°=60°. 因为∠ACB=90°,所以∠B=30°.因为 CD 为AB 边的中线,所以CD=BD=AD.因为∠ACB=90°,∠B=30°,CE=AC,所以易得AC=AD=BD=CD = CE,所以 ∠DCE = ∠B = 30°,所以 所 以 ∠DEB =∠DCE+∠CDE=30°+75°=105°,故选 C. 2. B 【解析】如图,过点 P 作PD⊥OB 于点 D. 因为 PM=PN,MN=2cm ,所以MD=ND=1 cm. 因 为 PD ⊥OB,所以∠PDO = 90°. 因为 ∠AOB= 0°60°,所以∠OPD=30°,所以 因为OP=8cm ,所以 OD=4cm,所以 OM=OD-MD=3c m.故选 B. 3. B【解析】如图,延长AD,BC 交于点 E.因为∠A=30°,∠B=90°,所以AE=2BE,∠E=60°.因为∠ADC=120°,所以∠EDC=60°,所以△EDC 是等边三角形,所以CD=CE=DE.设 CD=CE=DE=x.因为AD=8,BC=2,所以2(2+x)=x+8,解得x=4,所以CD=4.故选B. 4. B 【解析】(1)当∠C为底角时,①如图(1),当AB=AC时,因为AD⊥BC,所以BD=CD.因为 所以AD=BD=CD,所以∠C=45°. ②如图(2),当AB=BC时,因为AD⊥BC,所以∠ADB =90°. 因为 所以AD= 所以∠ABD=30°,所以∠C=75°. ③如图(3),当AB=BC时,因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°. 因为 所以 AD= 所以∠DBA=30°,所以∠C=15°. (2)当. 为顶角时，①如图(4)，当.AC=BC时，因为 所以 因为 所以 所以. ②如图(5),当AC=BC 时,因为 AD⊥BC,所以∠ADC=90°. 因为 所以 AD= 所以∠ACD=30°,所以∠ACB=150°.综上所述,∠C的度数为45°或75°或15°或30°或150°.故选 B. 5.4 【解析】由折叠可得 AB=AD,BF=DF= 所以 BD=2DF.因为 AD=2DF,所以AD=BD,所以AB=AD=BD,所以△ABD 是等边三角形,所以∠B=∠BAD=∠ADB=60°,所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°,∠C=180°-∠B-∠BAC =30°. 由折叠可得CE= DE,∠EDC =∠C = 30°,所以∠ADE =180°-∠ADB-∠EDC=180°-60°-30°=90°. 又因为∠DAE=30°,所以 即AE=2DE.因为AC=AE+EC=2DE+DE=12,所以DE=4.故答案为4. 思路分析由折叠的性质可推出△ABD 是等边三角形,从而得到∠B=∠BAD=∠ADB=60°,进而得到∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°,∠C=180°-∠B-∠BAC=30°. 由折叠的性质可得 CE=DE,∠EDC =∠C=30°,进而推出△ADE 是直角三角形，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到AE=2DE，再结合AC=12 即可得出答案. 6.【解】(1)根据题意可得AD=t cm,CE=2t cm,则CD=(6-t) cm.因为∠A=90°,∠B=30°,AC=6cm,所以BC=2AC=12 cm.因为∠C=90°-∠B=90°-30°=60°,所以当CD=CE时,△DEC为等边三角形,则6-t=2t,解得t=2,所以当t=2时，△DEC 为等边三角形. (2)①当∠DEC=90°时,∠EDC=30°,所以 所以 解得 ②当∠EDC=90°时,∠DEC=30°,所以 CD= 所以 解得t=3. 综上，当 或3时，△DEC 为直角三角形. 7.【解】(1)因为△ABC 是等边三角形,BP 是∠ABC 的平分线,所以∠ABC = 60°,所以∠EBP=∠PBC=30°.因为 PE⊥AB 于点 E,所以∠BEP=90°,所以 因为QF为线段BP 的垂直平分线,所以 BP=2BQ=2×2=4,所以 (2)△EFP 是直角三角形.理由如下：如图所示，因为△ABC 是等边三角形,BD平分∠ABC,所以∠ABC=60°,所以∠ABP=∠CBD=30°.因为PE⊥AB,所以∠PEB=90°,所以∠BPE=60°.因为 FQ 垂直平分线段 BP,所以 FB =FP,所以∠FBQ=∠FPQ=30°,所以∠EPF=∠EPB+∠BPF=90°,所以△EFP 是直角三角形. 【解析】如图，连接PB.因为等边△ABC中,AC=6,CD⊥AB, 所以 所以∠ACD=∠BCD=30°.因为线段AE 绕点 A 顺时针旋转 60°,得到线段AP,所以AE=AP,∠PAE=60°, 所以∠PAE=∠BAC,所以∠PAD=∠EAC. 因为在△PAB 和△EAC 中, 所以△PAB≌△ EAC( 边 角 边), 所以∠ PBA= 所以点 P 在 AB 左侧使. 的射线上运动，所以当 时,DP 取得最小值.过点D 作 于点M，所以当P 与 M 重合时，DP 取得最小值.因为DM= 所以DP 长的最小值为 故答案为 学科网（北京）股份有限公司 $