5.1直角三角形的性质定理 自主学习同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《5.1直角三角形的性质定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 2．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 5．如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，等边三角形的边长为12，D为边上一动点，，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、填空题 8．在中，是边上的高，，，则的度数为 ． 9．在中，和是它的两个锐角且，则的度数为 ． 10．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则 ． 11．如图，在和中，，点在同一条直线上，且，，，，，则的长为 ． 12．如图，在中，，，平分．于点，，则的度数为 ． 13．如图，直角中，，，过作，连接与相交于，若，则的大小是 度． 14．如图．在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为 ． 三、解答题 15．如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 16．如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，求的长． 17．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，， (1)求证：； (2)求证：． 18．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)当点运动到点时，点运动到什么位置？请通过计算说明； (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)点、运动几秒时，可得到？请直接写出结果． 19．已知等腰三角形中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边三角形，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； (3)在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒时，线段长度取到最小值． 20．【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 参考答案 1．解：A选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 故A选项不符合题意． B选项：∵， ∴． ∴为直角三角形． 故B选项不符合题意． C选项：由，无法判断为直角三角形． 例如：，符合条件，但不是直角三角形， 故C选项符合题意． D选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴为直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 2．A 【分析】在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形的判定与性质，根据等边对等角确定，最后由三角形外角性质代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， 则， 是的一个外角， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． 3．C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握相关性质是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先求出 ，再根据“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，最后再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点 在中，， 在中， ，       故选：B． 5．B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长． 根据于F，于E，M为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出和的长，即可求解． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴的周长． 6．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，的角所对的边是斜边的一半． 先证是等边三角形，再证，得，设，设，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， ，， ∴是等边三角形， ， ∵点为中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 故选：C． 8．或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 9．/75度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 10．10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形、等边对等角等知识点，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角和三角形外角的性质求得，再根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ， ， 又∵在中，，， ． 故答案为：10． 11．18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决本题的关键． 根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明，即可得出，，即可求出，进而可得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：18． 12． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和为以及角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 先根据三角形内角和求出，再由角平分线得，结合垂直求出，进而得，最后在中用三角形内角和求． 【详解】解：在中，，， ． 平分， ． ，， ． ． ． 故答案为：． 13．26 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质． 取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可推出，已知，则不难求得的度数． 【详解】解：如图，取的中点，连接． ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：26． 14．4 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，作于点，根据含的直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可． 【详解】解：连接，作于点， ， 在中，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 15．， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，掌握三角形的内角和是是解题关键． 由三角形内角和定理可求得的度数，再由平分可求得，在中，利用直角三角形两锐角互余可求得的度数，进而可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高，， ∴， ∴． 16．见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得出是的平分线，，结合已知求出，根据是的角平分线，，求出，从而求出． 【详解】解：在中，，， ， 是的中线， 是的平分线，， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角的性质． （1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质解答即可； （2）由（1）知是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中点， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)点运动到点，理由见解析 (2)点，运动秒后，可得到等边 (3)，运动的时间为秒或秒或秒或秒时，为直角三角形 【分析】（1）求出点运动的时间及路程即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质得到，根据题意列方程，解方程即可； （3）分、两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：点运动到点， 理由：当点运动到点时，， ∵点的速度为， ∴点的运动路程为， ∵， ∴， ∴点运动到点； （2）由题意得，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴时，为等边三角形， ∴， 解得，， 则点，运动秒后，可得到等边； （3）当时，， ∴， ∴，即， 解得，， 当时，， ∴， ∴，即， 解得，， 当秒时，点是的中点，则，为直角三角形， 当秒时，点是的中点，则，为直角三角形， 综上所述，，运动的时间为秒或秒或秒或秒时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，掌握直角三角形的性质、等边三角形的性质是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意易得出，，，即可证； （2）在线段上取点T，使．由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出，从而可证为等边三角形，结合题意易证 ，得出，即； （3）先确定点E在的角平分线l上运动，即当时，取到最短，然后根据角直角三角形的性质求解，再由求出，即可求解时间． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴； （2）证明：在线段上取点T，使． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图： 由（2）得：是等边三角形，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴可知在运动过程中，所在的直线平分，即点E在的角平分线l上运动，如图， ∴当时，取到最小值，此时，此时点D与点E在直线同侧， ∵中， ， ∴． ∵中， ， ， ∴ ∴根据（2）的结论，有， ∴ ∴当点P运动时，线段长度取到最小值． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 20．（1）见详解； （2），证明见详解； （3），证明见详解． 【分析】（1）根据题意得出，，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点E作于点M，作，交的延长线于点N，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可求出结果． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， 在和中， ； （2），， ， 在和中， ， ，， ； （3）如图，过点E作于点M，作，交的延长线于点N， ， ， ， 在和中， ， 同理可得，在和中， ， ，， ， 点D到直线的距离为2， ， 点E到直线的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $