5.1直角三角形的性质定理(斜边上的中线)（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

5.1直角三角形的性质定理(斜边上的中线) （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 由直角三角形斜边的中线求线段长度 题型三 由直角三角形斜边的中线求周长 题型四 由直角三角形斜边的中线求面积 题型五 由直角三角形斜边的中线求角度 题型六 由直角三角形斜边的中线求最值 题型七 由直角三角形斜边的中线进行证明 题型八 从角的角度判定三角形是直角三角形 能力提升题 题型一 由直角三角形性质解决几何多结论问题 题型二 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（    ） A． B． C． D． 2．在中，若两锐角之差为，则较大锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，是的角平分线，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 8．已知：如图，在中，，于D，平分，求的度数． 9．如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 10．如图，在中，于点D，若，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，求的度数． 题型二 由直角三角形斜边的中线求线段长度 11．如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 12．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 13．如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 14．如图，在中，AD是边BC上的高，DE，DF分别是AB，AC上的中线，，，求的长． 题型三 由直角三角形斜边的中线求周长 15．如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 16．如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，于D，M、N分别是、的中点，连接、，若，求四边形的周长．    18．如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 题型四 由直角三角形斜边的中线求面积 19.如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 20．如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 21.如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（  ） A．12 B．9 C．6 D． 题型五 由直角三角形斜边的中线求角度 22．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 26．如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型六 由直角三角形斜边的中线求最值 27．如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（   ） A． B． C．8 D．4 28.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为 ． 29.如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OB=OA=5，点C是线段AB上一动点，连接OC，以OC为直角边在OC左侧构造△OCD，使∠COD=90°，OC=OD，点M为DC的中点，连接AM，在点C运动过程中，线段AM的最小值为 . 题型七 由直角三角形斜边的中线进行证明 30．如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． (1)请说明； (2)吗？若成立请给出说明过程； 31．如图，在四边形中，，O为的中点，和相等吗？请说明理由． 32．如图，在等腰直角中，点是斜边的中点，以点为顶点的直角的两边分别与边，交于点，，连结．试说明是等腰三角形． 33．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 34．已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 35．已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： (1)平分； (2)． 36．如图，点D是的边上的中点，，是的高，连接，点H是的中点，试说明． 题型八 从角的角度判定三角形是直角三角形 37．在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 38．如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． ． 题型一 由直角三角形性质解决几何多结论问题 39．如图，在三角形中，，，垂足为点D，，，．给出下列结论： ①； ②； ③图中互余的角共有3对； ④点B到直线的距离为． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 40．将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：；如果，则有 ；如果，则有；如果，必有． 其中正确的有（    ）    A． B． C． D． 41．如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 题型二 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题 43．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 44．在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（   ） A．α B． C． D． 45．如图，在边长为的等边中，点从点开始在射线上运动，速度为个单位/秒，点同时从出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作，连接交射线于点． (1)当时，求运动时间的值； (2)当点在线段上运动时，是否始终有？若成立，请说明理由． 46．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 47．综合与实践 (1)问题发现 如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，请写出的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由． (2)类比探究 如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接． 填空：的度数为______； 线段，，之间的数量关系为______． (3)拓展延伸 在（2）的条件下，若，，则四边形的面积为______． 48．【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1直角三角形的性质定理(斜边上的中线) （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 由直角三角形斜边的中线求线段长度 题型三 由直角三角形斜边的中线求周长 题型四 由直角三角形斜边的中线求面积 题型五 由直角三角形斜边的中线求角度 题型六 由直角三角形斜边的中线求最值 题型七 由直角三角形斜边的中线进行证明 题型八 从角的角度判定三角形是直角三角形 能力提升题 题型一 由直角三角形性质解决几何多结论问题 题型二 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．先根据得出，再由可知，故，再由可知，由此可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 2．在中，若两锐角之差为，则较大锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在中， 设较小锐角的度数为，则较大锐角的度数为， 直角三角形两锐角互余， 则 则较大的锐角度数为 故选：B． 3．如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，是的角平分线，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，延长交于点，先利用三角形外角性质得到，再利用垂直的定义和角平分线的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余得到． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形外角的定义和性质，垂直的定义，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，推出是解题的关键． 6．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 7．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”这一知识点，据此即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴． 故选：C 8．已知：如图，在中，，于D，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、角平分线的定义等知识点，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形的内角和定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，最后根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵于D， ∴， ∵平分， 9．如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答；掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）先根据垂直的定义和直角三角形的性质可得，再结合可得，最后根据直角三角形的性质即可解答；掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 10．如图，在中，于点D，若，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直的定义，三角形的内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）由得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）由三角形的内角和定理求出，再由三角形角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 题型二 由直角三角形斜边的中线求线段长度 11．如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线的性质即可求出． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点，， ∴． 故选：A． 12．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 13．如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用各性质与定理，结合已知条件逐步推导所需线段长度或角度． （1）先根据三角形面积公式(面积底高)，以为底、为高，结合已知面积和长度求出的长；再由中线性质(中线平分对边)，得为的一半，进而求出的长； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数；再由角平分线性质(角平分线平分角)，得为的一半；接着在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； （2）∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，在中，AD是边BC上的高，DE，DF分别是AB，AC上的中线，，，求的长． 【答案】7 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可分别得，的长，接着求的长即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∵，是上的中线， ∴． ∵，是上的中线， ∴． ∴． 题型三 由直角三角形斜边的中线求周长 15．如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：为边上的高， ， 的周长为24， ， ， 在中，点为的中点， 的周长． 故选：C． 16．如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长． 根据于F，于E，M为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出和的长，即可求解． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴的周长． 17．如图，在中，于D，M、N分别是、的中点，连接、，若，求四边形的周长．    【答案】10 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据于D，M、N分别是、的中点， 可知，，那么，从而得出答案． 【详解】解：∵在中，于D，M、N分别是、的中点， ∴，， ， ∴， ∴四边形的周长为10． 18．如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1) (2)垂直，证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，以及中垂线的性质，熟练掌握这些性质是解题关键． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，的长，进而可以求出周长； （2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可． 【详解】（1）解：是的高， 和均为直角三角形， 又、分别是、的中点 ， 四边形的周长为 （2）结论：垂直，证明如下： 由（1）可知，， 、在的垂直平分线上， 垂直． 题型四 由直角三角形斜边的中线求面积 19.如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线先求出斜边长，再利用三角形的面积进行计算即可解答． 【详解】∵直角三角形斜边上的中线是6， ∴斜边长= 2×6= 12， ∵直角三角形斜边上的高是5， ∴直角三角形的面积=×12×5=30， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 20．如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进一步证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件即可得出，即，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴，， ∴， ∵，为边上的高， ∴， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的面积为 故选B． 21.如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（  ） A．12 B．9 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ， ， ∠EBC＝45°， ， 为等腰直角三角形， ， ， 则△EBC的面积是． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 题型五 由直角三角形斜边的中线求角度 22．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形的判定与性质，根据等边对等角确定，最后由三角形外角性质代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， 则， 是的一个外角， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． 23．如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， ∵D是的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 24．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，先求得，由题意得，结合三角形的外角的性质，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， 故选：B 25．如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形的两锐角互余可得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，由等腰三角形的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵在中，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 26．如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ，， ， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ， ， ． 故选：C． 题型六 由直角三角形斜边的中线求最值 27．如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系等知识．连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，在中，利用三角形三边关系可得的最大值． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，，则， ∴， 由旋转可知，， ∵D是的中点， ∴， 在中，利用三角形三边关系可得（当B，C，D三点共线时取等号）， ∴， ∴的最大值为8， 故选：C． 28.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为 ． 【答案】/12.5 【分析】根据直角三角形的性质，可得，从而得到当OB⊥OD时，△OBD面积的最大，即可求解． 【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=10，O为AC中点， ∴， ∴OB=OD， ∴当OB⊥OD时，△OBD面积的最大， ∴△OBD面积的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 29.如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OB=OA=5，点C是线段AB上一动点，连接OC，以OC为直角边在OC左侧构造△OCD，使∠COD=90°，OC=OD，点M为DC的中点，连接AM，在点C运动过程中，线段AM的最小值为 . 【答案】 【分析】可证得△AOD≌△BOC，然后易得∠DAC=90°，AM= CD，由直角三角形斜边上的中线证得AM=OM，由三角形三边关系AM+OM≥AO，进而得到答案 【详解】解：连接AD， ∵∠AOB=∠COD=90°，OB=OA=5，OC=OD，∠B=∠BAO=∠OCD=45°， ∴∠AOD=∠BOC， ∴△AOD≌△BOC(SAS)， ∴∠DAO=∠B=45°， ∴∠DAO+∠BAO=90°，即∠CAD=90°， ∵点M为DC的中点， ∴OM=AM=CD， ∵AM+OM≥AO，AO=5， ∴2AM≥5， 即AM≥， ∴AM的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△AOD≌△BOC是解题的关键． 题型七 由直角三角形斜边的中线进行证明 30．如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． (1)请说明； (2)吗？若成立请给出说明过程； 【答案】(1)见解析 (2)成立，过程见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线得到，则，由三角形外角可得，再结合已知条件即可证明； （2）由（1）可得，即，即可证明． 【详解】（1）解， ． 点E是的中点， ． ． ， ． ， ． （2）解：由（1）得， 又， ， ． 31．如图，在四边形中，，O为的中点，和相等吗？请说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，熟练掌握运用两个性质是解题关键．根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∴， ∴． 32．如图，在等腰直角中，点是斜边的中点，以点为顶点的直角的两边分别与边，交于点，，连结．试说明是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】连接，利用等腰直角三角形“三线合一”性质得到、角的关系，再结合已知直角条件推出 ，最后用证明，从而得出 ． 本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形“三线合一”性质及全等三角形判定（）是解题的关键． 【详解】解：连结， 点是等腰直角边的中点，即是底边上的中线， （三线合一） 是等腰直角三角形，即， ． 是直角， ，即． 在和中， ． ． 是等腰三角形． 33．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 34．已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及判定、直角三角形性质， （1）先证明，结合得出，即可证明结论； （2）连接，根据直角三角形性质得出，由等腰三角形性质得出，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）连接， ，点为的中点， ， ∵点为的中点，， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴． 35．已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，得，只需证明即可证明平分； （2）根据，得，结合，得到即可得证． 本题考查了直角三角形中线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：∵是边上的高， ∴， ∵是的平分线，与的垂直平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．如图，点D是的边上的中点，，是的高，连接，点H是的中点，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由题意可得，由直角三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，是的高线， ． 又点D是边上的中点， ，，即． 点H是的中点， ． 题型八 从角的角度判定三角形是直角三角形 37．在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 故A选项不符合题意． B选项：∵， ∴． ∴为直角三角形． 故B选项不符合题意． C选项：由，无法判断为直角三角形． 例如：，符合条件，但不是直角三角形， 故C选项符合题意． D选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴为直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 38．如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． ． 题型一 由直角三角形性质解决几何多结论问题 39．如图，在三角形中，，，垂足为点D，，，．给出下列结论： ①； ②； ③图中互余的角共有3对； ④点B到直线的距离为． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，余角，对直角三角形的有关性质熟练掌握并能灵活运用是解题关键．根据直角三角形的有关性质求解．因为，所以，①符合题意，，因为，即，可得，②符合题意，数出图中互余的角可证③，因为，已知，，，可得的长，即证④． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意， ∴， ∵，即， ∴，故②符合题意， ∵，， ∴，，，， ∴图中互余的角共有4对， 故③不符合题意， ∵，，，， ∴，故④符合题意， 故正确的结论是①②④， 故选：B． 40．将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：；如果，则有 ；如果，则有；如果，必有． 其中正确的有（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定和性质，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴正确， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 若，则， ∴不正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正确， ∴正确的有． 故选：C． 41．如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 42．如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据题意可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证，继而证明，解得，最后根据三角形内角和定理，分别解得和的关系，整理即可解题． 【详解】解：， ， M为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故甲正确，乙丙都不正确， 故选A． 题型二 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题 43．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 44．在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（   ） A．α B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：，是斜边的中点， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 45．如图，在边长为的等边中，点从点开始在射线上运动，速度为个单位/秒，点同时从出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作，连接交射线于点． (1)当时，求运动时间的值； (2)当点在线段上运动时，是否始终有？若成立，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）通过设运动时间对应的线段长度，利用等边三角形的角度性质以及直角三角形中所对直角边是斜边一半的性质，建立方程求解运动时间． （2）通过作辅助线构造全等三角形，先证明构造出的三角形是等边三角形，得到线段相等关系，再结合已知条件，利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出线段相等的结论． 【详解】（1）解：设，则，． 当时， 是等边三角形， ， ， ， ， 展开得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得， 故． （2）解：成立，理由如下： 如图1，过点作交于点，则，，． 是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ． 又， ． 在与中， ，，， ， ． 46．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】模型证明：见解析；模型应用：见解析；模型构造： 【分析】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； 模型构造：作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】模型证明： 解：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， 模型应用： 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； 模型构造： 解：如图所示，过作于，连接． ，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴为等边三角形． ，， ∵ ∴． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 47．综合与实践 (1)问题发现 如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，请写出的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由． (2)类比探究 如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接． 填空：的度数为______； 线段，，之间的数量关系为______． (3)拓展延伸 在（2）的条件下，若，，则四边形的面积为______． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）先得出，进而判断出，即可得出结论； （2）①同（1）的方法，即可得出结论；②由得出，再判断出，即可得出结论． （3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：  ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得： ， ∵均为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积+的面积 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 48．【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（）；（）；问题解决：（）证明见解析；（）；学以致用： 【分析】背景资料：根据等边三角形的判定、两点之间线段最短及周角的定义解答即可； 知识生成：（）由旋转可得，进而得到，，，，即可得为等边三角形，得到，，进而由勾股的逆定理得为直角三角形，得到，即得到，即可求解； （）由等腰直角三角形的性质得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，即得，即得到，进而由得到，再根据勾股定理即可求证； 问题解决：（）在上取一点，使得，连接，可证为等边三角形，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； （）由直角三角形的性质得，由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由点为的费马点，，利用勾股定理求出即可求解； 学以致用：连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于，由旋转的性质可得，，，，，即得和均为等边三角形，得到，，，进而得到，又由是等腰直角三角形，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：背景资料：当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”， 则，， ∴， ∴， 故答案为：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（1）由旋转可得，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）在中，∵，， ∴， 如图，将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题解决：（）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的费马点； （）在中，∵，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵点为的费马点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的值是， 故答案为：； 学以致用：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于， 由旋转的性质可得，，，，， ∴和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $