5.3.3勾股定理的逆定理 同步提升练习2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学勾股定理的逆定理同步练，新授课使用。分层设计清晰，从基础巩固到素养提升，梯度合理，助力知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|勾股数判断、逆定理应用、简单综合|以选择填空为主，含网格图形题，强化概念理解与基本运算，培养抽象能力| |刷提升|折叠问题、多解问题、实际应用|结合折叠、网格等情境，涉及分类讨论，提升推理意识与空间观念| |刷素养|旋转构造、综合探究|通过旋转构造直角三角形，解决复杂几何问题，发展创新意识与逻辑推理|

5.3.3勾股定理的逆定理 刷基础 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 勾股数的判断 1在下列四组数中，属于勾股数的是 ( ) A.0.3,0.4,0.5 B.1, , C.3,5,7 D.5,12,13 2若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 . 3如果正整数a，b，c满足等式 那么正整数a，b，c称为勾股数.小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表： a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 小明发现： 请你根据小明发现的规律,若b=2n(n为整数,且n≥2),则a，c用含n的代数式分别表示为 和 知识点2 勾股定理的逆定理及应用 4下列条件能判定△ABC是直角三角形的是 ( ) A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B. C. (a,b,c为△ABC的三条边长) D. AB:BC:AC=2:2:3 5如图，在4×4的正方形网格中(每个小正方形的边长均为1),点A,B,C在格点(小正方形的顶点称为格点)上，连接AB,AC,BC,则△ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形( ) C.钝角三角形 D.无法确定 知识点3 勾股定理及逆定理的综合应用( 6如图,已知△ABC 中,∠A=90°,AC=AB =4. 若 CD=2,BD=6,则∠ACD 的度数为 ( ) A.30° B.35° C.40° D.45° 7如图,已知△ABC 中,AB的垂直平分线交 BC 于点 D，AC 的垂直平分线交BC于点E,点 M,N为垂足.若 DE=2,EC= 则AC的长为 . 8如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地.已知 AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,求这块空地的面积. 9如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC 交 AB 于点 E,且. (1)求证:∠A=90°; (2)若AC=3,BD=2.5,求AE的长. 刷提升 1五根小木棒，其长度(单位: cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，下图中正确的是( ) 2如图,在△ABC中, ,AC=12,BC=6,将△ABC折叠,得到折痕DE，且顶点 B 恰好与点A 重合，点C 落在点 F 处,则CE 的长为 ( ) A.4 B. C.5 D. 3如图，正方形网格中，每个小格的边长为1.网格内有△PAB,点 P,A,B均在格点上,则∠PAB+∠PBA 的度数是 .是个 4已知等腰直角△ABC,∠ABC=90°,AB=BC=4,平面内有一点 D,连接CD,AD.若CD=2,AD=6,则∠BCD= . 5 某小区有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋，A处为小区入口.为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道BE 上增设一个“爱心衣物回收箱”，现需确定“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短.某数学兴趣小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图(如图(1))，并将该小区的平面图进一步抽象成几何图形(如图(2))，其中主干道AC与BE交于点 F,BE∥CD.小组成员测量出了某些道路的长度(如表格所示)，又借助电子角度仪测得∠BCE=90°,∠CEB=∠CED. 道路 AE AB BC BF EF DE 长度(米) 40 30 30 18 32 25 (1)根据图(2)及表格中的相关数据，请完成下列计算： ①道路CD= 米; ②道路AC= 米. (2)①根据以上探究，请你在主干道BE 上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置(用点 G 表示)，并画出需要增设的道路CG，DG(保留作图痕迹，不需要写作法)； ②“爱心衣物回收箱”到4 栋住宅楼的距离之和的最小值为 米(保留根号). 刷素养 6 (1)如图(1),在等边三角形ABC 内有一点 P,且PA=2, ,PC=1.若把△BPC 绕点 B逆时针旋转 60°得到△BP'A,连接 PP',求∠BPC 的度数和PP'的长. (2)如图(2)，在等腰直角三角形ABC 内有一点P,且∠ABC=90°,PA=6,PB=4,PC=2,求∠BPC 的度数. 课时3 勾股定理的逆定理 刷基础 1. D 【解析】A 选项,0.3,0.4,0.5 不是整数,故不是勾股数，不符合题意；B选项，1， 不是整数，故不是勾股数，不符合题意；C选项， 故不是勾股数，不符合题意；D选项， 13²，故是勾股数，符合题意.故选 D. 2.17 【解析】当x>15 时, 为正整数，符合题意；当x<15时， 不是整数，不合题意，故舍去.故答案为17. 【解析】因为 1,8=2×4, 所以若b=2n(n为整数，且n≥2),则 故答案为 4. C 【解析】A 选项,因为, 5，所以 故不能判定 是直角三角形. B选项，因为 所以 5.因为 故不能判定 是直角三角形. C选项，因为 c)(b-c),所以 即 故 为直角三角形. D 选项,因为AB:BC:AC=2:2:3,，所以设AB=2x,BC=2x,AC=3x,所以 故不能判定 是直角三角形.故选 C. 5. B【解析】观察题图，可知 因为20+5=25,所以 所以△ABC是直角三角形.故选 B. 6. D 【解析】因为△ABC 中,∠A =90°,AC=AB=4,所以 ∠ABC=45°. 因为 CD=2,BD=6,所以 所以△BCD 是直角三角形,且∠BCD = 90°,所以∠ACD =∠BCD-∠ACB=45°.故选 D. 【解析】如图，连接AD,AE.因为 DM,EN分别是AB,AC 的垂直平分线,所以AD= 因为 DE=2,所以 所以△ADE是直角三角形，且. 在 中，由勾股定理可得 8.【解】如图,连接 AC. 在 中，因为AD=4米，CD=3米， 所以AC=5米. 又因为 所以 是直角三角形，所以这块空地的面积为 24(平方米). 答：这块空地的面积为24平方米. 9.(1)【证明】如图,连接CE.因为D是BC的中点， BC,所以.EB=EC.因为 所以 所以 所以. 是直角三角形，且 (2)【解】因为 D 是 BC 的中点,BD=2.5,所以BC=2BD=5.因为 所以AB= 由(1)得EB=EC,所以设.EB=EC=x,则AE=4-x.在 中，由勾股定理得 解得 即 所以 刷提升 1. C 【解析】 故A选项不符合题意； 故B 选项不符合题意； 25²，故C 选项符合题意； 故D选项不符合题意.故选 C. 2. B 【解析】连接BE,如图. 因为 AC=12,BC=6,所以 所以 所以 是直角三角形，且. .因为顶点B 恰好与点A 重合，所以. ,所以DE 是AB 的垂直平分线，所以BE=AE.设(CE=x,则BE=AE=12-x.在 中， 所以 所以 所以 故选 B. 3.45°【解析】如图,延长AP 到点 C,使AP=PC,连接BC.因为 所以.PC=BC.因为.BP= 所以 所以 是等腰直角三角形，所以. 所以 故答案为 4.135°或45°【解析】分两种情况讨论，如图(1)和图(2).因为△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°,AB=BC=4,所以. 32,∠ACB=45°. 又因为 36,所以. 所以△ACD 为直角三角形,且∠ACD=90°,所以①如图(1),∠BCD=90°+45°=135°;②如图(2),∠BCD=90°-45°=45°.故∠BCD=135°或45°. 5.【解】(1)①因为 BE∥CD,所以∠BEC =∠DCE.因为∠CEB =∠CED,所以∠CED =∠DCE,所以CD=DE=25米,故答案为25.②因为AE=40,AB=30,EF=32,FB=18,所以EB=32+18=50,所以, 所以△AEB 是直角三角形,且∠EAB =90°. 因为∠ECB=90°,BC=30,所以在 Rt△ECB 中, 因为AE=EC,AB=BC,所以 EB 垂直平分AC,所以 EB⊥AC,FA=FC.因为 所以 所以AC=2AF=48 米.故答案为48. (2)①如图，“爱心衣物回收箱”的具体位置点 G 及需要增设的道路CG，DG即为所求. ②因为DC∥EB,EB⊥AC,所以AC⊥DC,所以∠ACD=90°.因为 G在AC 的垂直平分线 EB上,所以 GA=GC,所以∠GAC=∠GCA.因为∠ACD = 90°, 所以 ∠GCA + ∠GCD = 90°,∠CAG+∠GDC=90°,所以∠GCD=∠GDC,所以GD=GC,所以 GA=GD=GC,所以CG+DG+EG+BG=AG+GD+EG+GB=AD+EB= 所以“爱心衣物回收箱”到4 栋住宅楼的距离之和的最小值为( 米，故答案为( 刷素养 6.【解】(1)因为△ABC 是等边三角形,所以∠ABC=60°.因为将△BPC 绕点 B 逆时针旋转60°得到△BP'A,所以.AP'=CP=1,BP'=BP= ,∠AP'B=∠BPC,∠PBP'=60°,所以△BPP'是等边三角形，所以 因为AP'=1,AP=2,所以 所以 ,所以△PP'A 是直角三角形,且∠AP'P=90°,所以∠BPC=∠AP'B=∠AP'P+∠BP'P=90°+60°=150°. (2)如图,将△BPC 绕点 B 逆时针旋转90°,得到△BP'A, p';连接 PP',则 PC=P'A=2,BP'=BP =4,∠PBP'= 90°,∠AP'B=∠BPC,所以 PP'= ,∠BP'P=∠BPP'=45°.因为PA=6, 所以 所以△AP'P 是直角三角形，且.∠AP'P=90°,所以∠BPC=∠AP'B=∠BP'P+∠AP'P=45°+90°=135°,即∠BPC=135°. $