5.2 勾股定理及其逆定理 随堂练习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版 湖南专版）

以△DEB2△ABC(边角边)， 4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 1.C2.A3.D 4.证明：因为AC是∠BAE的平分线，所以∠BAC=∠DAE.在△BAC和△DAE中， ∠BAC=∠DAE, ∠C=∠E, 所以△BAC≌△DAE(角角边).所以BC=DE. AB=AD, 5.证明：因为BC⊥AC,DE⊥AC,所以∠BCA=∠AED=90°.所以∠B+∠BAC=90, 因为∠BAD=90°，所以∠BAC+∠EAD=90°.所以∠B=∠EAD.在△BAC和△ADE (∠BCA=∠AED, 中，BC=AE, 所以△BAC≌△ADE(角边角). C∠B=∠EAD, 4.3.4全等三角形的判定定理（边边边） 1.A2.C3.稳定性4.甲和乙5.25 6.(1)证明：因为AD=CF,所以AD+CD=CF+CD,即AC=DF.在△ABC和△DEF (AB=DE, 中，BC=EF,所以△ABC≌△DEF(边边边).(2)解：由(1)知△ABC≌△DEF,所以 LAC-DF, ∠ACB=∠F.因为∠A=55°，∠B=88°，所以∠ACB=180°-（∠A+∠B)=37°.所以 ∠F=37° 4.3.5全等三角形的应用 1.A2.53.8 ∠AMB=∠DMC, 4.解：在△ABM和△DCM中，∠ABM=∠DCM,所以△ABM≌△DCM(角角边).所 AB-DC, 以CM=BM=6m,AM=DM=8m.所以AC=AM一CM=2m.答：梯子下滑的高度是 2m. 5.解：合适.理由如下：因为E是线段BC的中点，所以BE=CE.因为AB∥CD,所以 (AB=CD, ∠B=∠C.在△AEB和△DEC中，∠B=∠C,所以△AEB≌△DEC(边角边).所以 BE=CE, AE-DE. 4.4尺规作图 第1课时利用尺规作图作三角形(1)、角 1.B2.边角边 3.解：如图，△ABC即为所求 B A十十十 第2课时利用尺规作图作三角形(2)、平行线 1.C 2.解：(1)如图所示.(2)CD∥BA(3)全等角边角 D 4.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.D2.C3.404.85° 5.解：因为D是BC的中点，AB=AC,所以AD⊥BC,AD平分∠BAC.所以∠ADB= -49 90°，∠BAD=∠CAD.所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=40°.所以∠CAD=40°. 6.解：因为AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=50°.所以∠BDC=180°-∠ADB=130°. 因为BD=DC,DE为边BC的高，所以DE平分∠BDC所以∠BDE=?∠BDC=65. 第2课时等腰三角形的判定 1.C2.A3.A4.4 5.证明：因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED.因为∠ADE=∠1十∠B,∠AED=∠2 十∠C,∠1=∠2，所以∠B=∠C.所以△ABC是等腰三角形. 6.证明：因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BP,CQ是△ABC两腰上的高，所 以∠BPC=∠BQC=90°.所以∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC.所以 ∠OBC=∠OCB.所以OB=OC. 第3课时等边三角形的性质和判定 1.C2.C3.C4.85.75 6.证明：因为△ABO是等边三角形，所以∠A=∠B=∠AOB=60°.因为CD∥AB,所 以∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°，又因为∠COD=∠AOB=60°，所以∠C=∠D= ∠COD.所以△OCD是等边三角形. 7.证明：因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB,∠A=∠B=60°.因为AD=CF,所 (AD=BE, 以BD=AF.在△ADF和△BED中，∠A=∠B,所以△ADF≌△BED(边角边). AF=BD, 4.6线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 1.B2.A3.24.3 5.证明：因为∠C=90°，∠A=30°，所以∠ABC=180°-∠C-∠A=60°.因为BE平分 ∠ABC,所以∠ABE=号∠ABC=30°，所以∠A=∠ABE.所以EA=EB.所以点E在 线段AB的垂直平分线上， 6.解：1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=(180°-∠A)=70.因为DE是AB的 垂直平分线，所以AD=BD.所以∠DBE=∠A=40°.所以∠DBC=∠ABC一∠DBE =30°，(2)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD.所以△BDC的周长为BD十 CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC=9+5=14. 第2课时作线段的垂直平分线 1.C2.B3.74.14 5.解：如图，△ABC即为所求. E (第5题图) (第6题图) 6.(1)解：如图，AE即为所求.(2)证明：因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠DAE.在 (AB-AD, △BAE和△DAE中，∠BAE=∠DAE,所以△BAE≌△DAE(边角边).所以DE=BE. AE=AE, 第5章直角三角形 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质和判定 1.D2.D3.C4.直角三角形5.20° 6.解：(1)因为AB=AD,F是BD的中点，所以AF⊥BD,∠DAF=∠BAF=20°.所以 50— ∠AFD=90°.所以∠ADB=90°-∠DAF=70°.(2)在Rt△ACF中，因为∠AFC=90°， E是AC的中点，所以EF=言AC=3 第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用 1.D2.C3.94.3 5.解：因为AD⊥AB,所以∠BAD=90°.因为DE垂直平分AC,所以AD=CD=2.因 为BD=BC-CD=4,所以BD=2AD.所以∠B=30°. 6.解：因为∠C=90°，∠B=30°，所以∠CAB=90°-∠B=60°.因为AD是∠CAB的平 分线，所以∠CAD=∠BAD-=号∠CAB=30=∠B.所以AD=BD,AD=2CD.所以 BC=CD+BD=3CD=6cm.所以CD=2cm. 5.2勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 1.B2.A3.C4.√65.7.2 6.解：因为∠C=90°，所以a2+6=c2.(1)因为a=16,b=12,所以c=√a2+6=20. (2)因为c=41,b=9,所以a=√c2-b6=40. 7.解：因为△ABC是等边三角形，所以BC=AB=2cm.因为AD是△ABC的高，所以 ∠ADB=90,BD-合BC=1cm在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=√AB-BD =√Bcm所以SaAc=2BC·AD=V3cm. 第2课时勾股定理的应用 1.C2.B3.A4.105 5.解：(1)根据题意，得AB⊥BC,AB=5m,AC=13m.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=√AC-AB=12m.(2)12÷1=12m/s=43.2km/h<60km/h,所以这辆小汽 车未超速. 第3课时勾股定理的逆定理 1.B2.B3.96 4.解：由题意，得AB2=22+12=5,AC=42+22=20,BC2=52=25,所以AB2+AC= BC.所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， 5.(1)证明：由题意，得AC=3km,CD=4km,AD=5km,所以AC+CD=AD2.所以 △ACD是直角三角形，且∠C=90°.(2)解：因为CD=4km,BD=2km,所以BC=CD +BD=6km.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC=3√5km.所以石子 路AB的长为3√5km. 5.3直角三角形全等的判定 1.D2.A3.2 4.解：如图，Rt△ABC即为所求 A b -N B 三.①D证明在R△ABD和R△CBD中BA_C,所以R△ABD≌R△CBDC斜边、 直角边).(2)解：因为Rt△ABD≌Rt△CBD,∠ABC=70°，所以∠ABD=∠CBD= 号∠ABC=35.所以∠BDC=90-∠CBD=5 5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质与判定 1.C2.33.65 4.证明：过点D作DELAB于点E,因为AB=6,SAD=合AB,DE=6,所以DE= 2.因为CD=2,所以CD=DE.因为∠C=90°，所以CD⊥AC.所以AD平分∠BAC. —515.2勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm,则斜边AB的长是 A.17 cm B.13 cm C.7 cm D.6 cm 2.下列四组数中，是勾股数的是 A.7,24,25 B.8,24,26 C.1w2,√3 D.9,16,25 3.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.已知A,B均在格点上，则 线段AB的长为 ( ) A.1 B.2 C.5 D.√3 A A B C B (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.一株美丽的勾股树如图所示，其中三角形是直角三角形，所有的四边形都是正方形.若 正方形A,C的面积分别为10,16，则正方形B的边长为 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC=12,则点C到AB的距离CD为 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对应边. (1)若a=16,b=12,求c的长； (2)若c=41,b=9,求a的长. 7.如图，△ABC是等边三角形，AB=2cm,求高AD的长和△ABC的面积. ·41· 第2课时勾股定理的应用 1.如图，一根长5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B距离墙壁3m,则该竹 竿的顶端A的竖直高度AC为 ( ) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 北 B 45145 A! B 0 (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点A,则点A表示的数为 ( ) A.√2 B.-√2 C.2 D.-2 3.如图，两条公路AB,BC互相垂直，公路的中点M与点B被湖隔开.现测得AB的长为 0.6km,BC的长为0.8km,则B,M两点之间的距离为 ( ) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km 4.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20 n mile/h的速度向南偏东45°方向 航行，乙轮船向南偏西45°方向航行.已知它们离开港口2h后，两艘轮船相距60 n mile, 则乙轮船的速度为 n mile/h. 5.如图，一辆小汽车在限速60k/h的公路上沿直线行驶，某一时刻恰好行驶到车速检 测仪A正下方5m的B处，1s后小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间 的距离为13m. (1)求BC的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 检测仪 B 小汽车 小汽车 ·42· 第3课时勾股定理的逆定理 1.下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是 () A.√3,4，W5 B.1,√2，√3 C.6,7,8 D.2,3,4 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三 角形的是 () A.∠A+∠B=90° B.a2=3,b2=4,c2=5 C.a2=b2-c2 D.a2=c2-b2 3.已知一个三角形的三边长分别是12,16,20，则这个三角形的面积是 4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上，求 ∠BAC的度数. 5.如图，某森林公园内从A地到B地有三条道路可以选择：从A地经过C地到B地是 柏油公路，其中AC长3km,CD长4km;从A地经过D地到B地是5km的木制栈道 AD和2km的柏油公路BD;从A地直接到B地是石子路.已知B,C,D三点在同一 条直线上 (1)求证：∠C=90°； (2)求石子路AB的长. ·43·