5.2.1勾股定理 同步提升练习2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习以“勾股定理”为核心，通过“刷基础-刷易错-刷提升”三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，强化抽象能力、推理意识与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|勾股定理直接应用、简单计算、网格问题、定理证明|基础题型对应核心概念，如第1题直接计算、第8题证明过程，培养推理能力| |刷易错|直角三角形边长分类讨论|针对“忽视分类讨论”易错点，如第9题多解问题，强化严谨思维| |刷提升|折叠问题、动态几何、跨情境综合应用|复杂情境与动态问题，如第7题动点综合题，发展空间观念与应用意识|

5.2.1勾股定理 刷基础 知识点勾股定理及简单应用 1在△ABC 中,∠C=90°,若 则 的值为 ( ) A.2 B.4 C.2 D.4 2如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ( ) 3如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是5,7,3,5,则最大的正方形E的面积是 ( ) A.108 B.50 C.20 D.12 4如图，△ABC 的顶点A，B，C均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点(小正方形的顶点称为格点)上，则AC边上的高为 ( ) 5如图，在△ABC 中,AB=10,AC=13,AD⊥BC,垂足为D,M为AD 上任意一点，则 6在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,AB 边上的高 为 4 cm,则 Rt△ABC 的周长为 cm. 7如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠CDB=30°, 且 求AB的长度. 8学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图(1)，点B 是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF 的位置，如图(2)所示，该同学利用图(1)、图(2)的面积不变证明了勾股定理.请你写出用该方法证明勾股定理的过程. 刷易错 易错点 没有明确已知边是哪条边而忽视分类讨论致错 9△ABC 的三边长分别是a,b,c,且满足 则当c= 时，△ABC是直角三角形. 刷提升 1如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9 cm，将此长方形折叠，使点D 与点 B 重合，点C的对应点为 C',折痕为 EF,则△ABE 的面积为 ( ) A.3 cm² B.4cm² C.6cm² D.12cm² 2如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知 ,且AC+BC=10,则AB的长为( ) A.4 B.6 C.7 D.8 3我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”.弦图由四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为 S 的小正方形 EFGH.已知AM为 Rt△ABM较长的直角边，若 则正方形ABCD的面积为 ( ) A.14S B.11S C.12S D.13S 4如图,在△ABC 中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC 交AC于点 M.若CM=3,则 的值为 . 5如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点 P 在△ABC外,连接AP,BP,CP.若PA=2,. ∠BPA=60°,则PC的长为 . 6如图,在Rt△ABC 中,AC=3,BC=4,∠ACB=90°,点 P,Q 分别是边AB和BC上的动点,始终保持AP=BQ,连接AQ,CP,则AQ+CP的最小值为 . 7如图,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,P,Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A 开始沿A→C方向运动，且速度为1 cm/s,点 Q 从点 C 开始沿 C→B→A 方向运动，且速度为2cm /s，它们同时出发，设运动的时间为 ts. (1)当t=2时,求PQ的长. (2)求运动几秒时，△APB 是等腰三角形. (3)当点Q 在边 BA上运动时,求能使△CBQ 成为等腰三角形的运动时间.(直接写答案) 刷基础 1. B 【解析】如图, 是直角三角形， 所以 所以 所以° 故选 B. 2. B【解析】由勾股定理得 所以 因为点 B 所表示的数为-1，且点A 在点B 的左侧，所以点A 所表示的数 故选 B. 3. C 4. B【解析】根据题图可得 所以AC边上的高为 故选 B. 5.69 【解析】因为 AD⊥BC,所以在 Rt△ABD中， 在 Rt△ADC 中, 在 Rt△BDM 中, 在Rt△CDM 中, 所以 所以 故答案为69. 【解析】如图，CD是AB 边上的高.由勾股定理得 由三角形的面积公式可知 所以 2AC ·BC = 80,所以 解得 (负值已舍去),所以Rt△ABC的周长为 故答案为 10. 7.【解】因为∠C=90°,∠CDB=30°,所以 BD= 所以 因为 所以AD=2,所以AC=AD+CD=5,所以 8.【证明】如图,连接 BF.因为AC=b,所以正方形ACDE 的面积为b².因为CD=DE=AC=b,EF= BC =a,所以 BD = CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b.因为∠CAE=90°,所以∠BAC+∠BAE=90°.因为∠BAC =∠EAF,所以∠EAF+∠BAE =90°，所以△BAF 为等腰直角三角形，所以四边形ABDF 的面积为 因为正方形ACDE的面积与四边形 ABDF 的面积相等，所以 所以 所以 所以 刷易错 9.10或2 【解析】根据题意可得a-8=0,b-6=0,,解得a=8,b=6,所以当△ABC 是直角三角形时， 或 ,所以c=10或2 刷提升 1. C 【解析】因为将长方形ABCD 折叠,使点 D与点 B 重合，所以BE=ED.因为AD=AE+DE=AE+BE=9cm,所以.BE=(9-AE)cm.由勾股定理可知 即 所以.AE=4cm,所以. 的面积为 故选 C. 2. D【解析】由勾股定理，得 因为 所以 所以 18.因为AC+BC=10,所以 所以AB=8.故选 D. 3. D【解析】如图,在图中标出 P,Q.设AM=2a,BM=AQ=b,则 所以AB= 所以正方形 ABCD 的面积为 易得.EF=MQ-2PQ=(AM-AQ)-2(AP-AQ)=(2a-b)-2(a-b)=b. 因为AM= 所以 即 因为小正方形EFGH 的面积为 S，所以 所以正方形ABCD 的面积为 故选D. 4.36 【解析】因为 CE 平分 CF 平分∠ACD,所以 所以 ∠ECF = 所以△EFC 为直角三角形. 又因为 EF∥BC,所以∠ECB =∠MEC=∠ECM,∠DCF=∠CFM=∠MCF,所以CM=EM=MF=3,所以EF=6. 在 Rt△ECF中，由勾股定理可知 5. 6 【解析】如图,把△ABP 绕点A 逆时针旋转 120°得到△ACD. 因为AB=AC,所以此时点 B 与点 C 重合.连接PD,过点A作AE⊥PD 于点 E.由旋转得AD= ∠APB=60°,所以∠ADE=∠APE=30°. 因为∠AED=90°,所以 所以 DE= 因为AD=AP,AE⊥PD,所以 因为∠ADC = 60°,∠ADE=30°,所以∠PDC=90°,所以 故答案为6. 【解析】如图,作BM⊥AB,使得 BM=AC,连接MQ,AM,所以∠ABC+∠CBM =90°.因为∠ACB=90°,所以∠CAB+∠ABC = 90°, 所以 在 和 中， 所以. (边角边)，所以CP=MQ,所以.AQ+CP=AQ+MQ,，所以A，Q，M三点共线时，AQ+MQ的最小值为AM的长.因为.AC=3,BC=4, 所以 5. 在 中， 所以 所以AQ+CP的最小值为 故答案为 7.【解】(1)当t=2时，AP=t=2,CQ=2t=4,则CP=AC-AP=8-2=6.在 中，由勾股定理得 即当t=2时，PQ 的长为 (2)如图(1),当PB=PA时， 是等腰三角形，此时PA=t=PB,则PC=8-t. 在 中，由 得 解得 故运动 时,是等腰三角形. (3)5.5s或6s或 ①如图(2),若(QC=QB,则 因为 所以∠A=∠ACQ,所以AQ=CQ. 在 Rt△ABC 中, 10,所以AQ=CQ=BQ=5,所以2t-6=5,解得t=5.5. ②如图(3),若BQ=BC,则2t-6=6,解得t=6. ③如图(4),若 CQ=CB,过点 C 作 CN⊥AB,垂足为N，则 所以 解得 所以 所以 所以 解得 综上所述，当运动时间为5.5s或6s 或 时， 为等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $