5.3 直角三角形全等的判定 同步分层练习 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学八年级上册 5.3 直角三角形全等的判定 同步分层练习 一、夯实基础 1．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE+DE等于（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 3．如图，，则 （　　） A． B． C． D． 4．如图，，要根据“”判定，则需添加的条件是（　　） A． B． C． D． 5．如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是　 　． 7．如图，为斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，则的长为　 　． 8．如图，在和中，，，，则点，之间的距离为　 　． 9．如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数． 二、能力提升 10．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．面积相等 11．如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作、的垂线交点为画射线，判断依据是（　　） A． B． C． D． 12．如图，，是上一点，过点作于点，且，如果，那么的长度为（　　） A． B． C． D． 13．如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 14．如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（　　） A．20° B．40° C．60° D．70° 15．如图，已知在和中，，，与相交于点E，过点E作于点F．下列说法：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 16．如图，平分，过点作于点交的延长线于点与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①②④ 17．如图，在四边形中，，，点E在上，，，，则的长度为　 　． 18．如图，在中，于点，与相交于点．若，，则　 　． 19．如图所示，在等腰中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是　 　． 20．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 21．如图，已知，， （1）求证：． （2）若，，求的长度． 三、拓展创新 22．如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接． （1）当秒时，求的面积； （2）若平分，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； 故答案为：A． 【分析】由图所示，为公共边，若想用 判定证明和全等，必须添加斜边相等的条件． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ED⊥AB于点D，∠C＝90°， ∴∠BDE=90°， 在Rt△BCE和Rt△BDE中 ∴Rt△BCE≌Rt△BDE， ∴DE=CE， 则AE+DE=AE+CE=AC=6cm， 故选C. 【分析】根据全等三角判定定理可得Rt△BCE≌Rt△BDE，则DE=CE，再根据边之间的关系即可求出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：如图： ，， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：C． 【分析】首先根据HL可证得和全等，进而得出，即可得出答案。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：添加条件：， 在和中， ， ∴， 故选：B． 【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：，， ， ， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A. 【分析】根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形即可证明，据此即可求解. 6．【答案】 【解析】【解答】解：补充， ∵，， ∴， 故答案为：． 【分析】根据一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等可得出答案． 7．【答案】12 【解析】【解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：. 【分析】先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得解. 8．【答案】 【解析】【解答】解：在中， ∴； 过点A作于点， 又 ∴； 在和中， ， ∴， ∴之间的距离． 故答案为：． 【分析】利用得到，过点A作，然后利用勾股定理得到，再利用等积法得到，然后求出A、D之间的距离即可． 9．【答案】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】首先根据垂直定义可得出，根据等式性质可得出，进而根据HL可得出，进而根据全等三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质即可得出 10．【答案】D 【解析】【解答】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确； B、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项正确； C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项正确； D、面积相等，不能说明两三角形能够完全重合，故本选项错误． 故选D． 【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 11．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可知，和都是直角三角形， 在和中， ， 满足斜边相等和一组直角边相等，因此， 故答案为：D． 【分析】根据题意，判定的依据为“斜边直角边”． 12．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出BD的长即可. 13．【答案】A 【解析】【解答】解：∵，， ∴， .，，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意； .，，不符合两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意； .，，不能证明这两个直角三角形全等，故该选项不符合题意； 故答案为：． 【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可. 14．【答案】B 【解析】【解答】解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°， ∴∠BDC=∠CEB=90°， ∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°， 在Rt△BEC和Rt△CDB中， ， ∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）， ∴∠BCD＝∠CBE＝70°， ∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：B． 【分析】先求出∠BCD＝70°，然后利用HL证明Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），即可得到∠BCD＝∠CBE＝70°解题． 15．【答案】A 【解析】【解答】解：在和中，，∴， ∴，， ∴，故③正确； ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当时，则， ∴， ∴的条件是，显然与已知条件不符，故④错误， 综上，①②③正确， 故选：A． 【分析】根据直角三角形全等的判定定理先判定，然后根据全等三角形的性质即可得出，，判定是等腰三角形，进而推出EB=EC，即可判断③正确；再根据即可判断①正确；结合 和等腰三角形的性质可判断②正确；通过等角转换，判断④不正确． 16．【答案】A 【解析】【解答】解：平分， ． 在和中， ， 故结论①正确； ． 在和中， ， ， 故结论②正确； ， ． ， ， 故结论③正确； 。 ， ， ， 故结论④正确． 综上所述，结论正确的为①②③④， 故答案为：A． 【分析】根据得到，判断①；根据判定②；得到判定③；证明判定④解答即可. 17．【答案】7 【解析】【解答】解：过点C作于点F， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 【分析】过点C作于点F，根据边之间的关系可得AB，再根据全等三角形判定定理及边之间的关系即可求出答案. 18．【答案】 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， 又∵，， ， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】先利用垂直的定义判断△BDH和△ADC的形状，然后利用勾股定理确定BD的长度，再利用HL证△BDH和△ADC全等，再由全等三角形的对应边相等得AD的长度，最后利用勾股定理即可求出AB的长. 19．【答案】 或 【解析】【解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为： 或， 【分析】过D作，，根据三角形外角性质可得，由题意可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形内角和定理可得，根据四边形内角和定理可得，同理可得，则，即，即可求出答案. 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合，即可证出； （2）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得BF=CD=7，再利用线段的和差求出CE的长即可. （1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．【答案】（1）证明：∵， ∴和为直角三角形， 在与中， ， ∴． （2）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 即AB的长度是16. 【解析】【分析】（1）利用直角三角形全等的判定定理证明求解即可； （2）由30度角所对直角边等于斜边的一半求出， 再计算求解即可。 （1）证明：∵， ∴和为直角三角形， 在与中 ， ∴． （2）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 22．【答案】（1）解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得PC=4.8， ∴， 解得t=5.1； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵CD=3，AC=8， ∴AD=AC-CD=5， 当DE=CD=3时， 在Rt△ADE中，； ∵BP=2t，BC=15， ∴PC=BC-BP=15-2t， ∵，DE=CD， ∴Rt△CDP≌Rt△EDP（HL）， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得t=4.5； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得Rt△CDP≌Rt△EDP（HL）， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得t=10.5； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为4.5或10.5时，能使． 【解析】【分析】（）根据路程、速度、时间三者关系求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用AAS判断出△ACP≌△AMP，由全等三角形的对应边相等得PC=PM，AC=AM=8，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB，进而算出BM，在Rt△BPM中，利用勾股定理建立方程求出PC，最后利用BP=2t建立方程，求得的值即可； （）点在线段上时，过点作于，连接，如图，首先由勾股定理算出AE=4，则PC=15-2t，然后利用HL判断出Rt△CDP≌Rt△EDP，得PE=PC=15-2t，则AP=19-2t，在Rt△APC中，利用勾股定理建立方程求出t的值；点在线段的延长线上时，过点作于，如图，同①得Rt△CDP≌Rt△EDP，得PE=PC=15-2t，则AP=2t-11，在Rt△APC中，利用勾股定理建立方程求出t的值，综上，可得答案. （1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 学科网（北京）股份有限公司 $