5.4角平分线的性质 同步提升练习2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学角平分线性质同步练习，分层设计科学，通过基础巩固、能力提升、素养拓展三阶路径，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养抽象能力、推理意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|角平分线性质与判定的直接应用|以选择、填空为主，如性质辨析（题1）、距离计算（题3），夯实概念理解| |刷提升|角平分线与全等、动态几何的综合运用|含多步推理证明（题7）、动态问题（题3），培养逻辑推理与空间观念| |刷素养|定理拓展与跨情境应用|通过定理证明（【运用】）、等边三角形综合题（【拓展】），发展创新意识与模型观念|

5.4角平分线的性质 课时1 角平分线的性质和判定 知识点1 角平分线的性质 1如图,P 是∠AOB 的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为点C，D，下列结论不一定成立的是( ) A.∠1=∠2 B. PC=PD C.∠3=∠4 D. OP=2PC 2如图,在△ABC 中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点 E 在 BC 的延长线上,∠ABC的平分线 BD 与∠ACE 的平分线CD相交于点 D,连接AD,则∠CAD 的度数为 ( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 3如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BD=2CD,点D 到AB的距离为5.6,则BC= . 4如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC 于D，E两点；分别以点 D，E为圆心，以大于 DE长为半径作弧，在∠BAC 内两弧相交于点 P；作射线AP交BC 于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为 G. 若AB = 8cm ,则△BFG 的周长等于 . 5如图,AD∥BC,∠ABC 的平分线 BP 与∠BAD的平分线AP 相交于点 P,作 PE⊥AB 于点 E.若PE=2，求两平行线AD与BC间的距离. 知识点2 角平分线的判定 6如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点 D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC,连接AO.若∠AOD=55°,则∠BAC=( ) A.35° B.55° C.60° D.70° 7如图,在△ABC 中,点D在BC边上,∠BAD=110°,BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF⊥AB 交BA 的延长线于点F,且∠AEF=55°,连接DE. (1)求∠CAD的度数; (2)求证:DE 平分∠ADC. 课时2 角平分线的综合运用 刷基础 学科网（北京）股份有限公司 知识点角平分线的综合运用 1两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为点 P.其中一把直尺的一边恰好在射线OA上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在射线OB 上，另一边与射线OA 交于点 M，连接OP.若∠BOP=30°,ME=2,则OE的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2如图，若△ABC 的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则 S△CAO等于 ( ) A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 3如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置的选择有 ( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 4如图，点O 在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于 ( ) A.110° B.115° C.125° D.130° 5如图(1)，把△ABC剪成三部分,将边AB,BC,AC 放在同一直线l上，点O 都落在直线MN上，直线MN∥l，如图(2)所示.在△ABC中,若∠BOC=115°,则∠BAC 的度数为 ( ) A.50° B.60° C.65° D.70° 6如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,△ABC 的三条内角平分线交于点 O，OM⊥AB 于点 M.若OM=2, 则△ABC的周长是 . 7如图,两条公路OA 与OB相交于点O，在∠AOB 的内部有两个小区 C与D，现要在∠AOB 的内部修建一个市场P，使市场P到两条公路OA，OB 的距离相等，且到两个小区C，D的距离相等. (1)市场P 应修建在什么位置(请用文字加以说明)? (2)在图中标出点 P 的位置(要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). 刷提升 1如图,E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,连接DE,下列结论:①∠AED=90°;②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD.其中正确的是( ) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③ 2如图，已知射线 OC 上的任意一点到∠AOB 的两边的距离都相等，点 D，E，F 分别在射线OC,OA,OB上,EF与OC交于点 G.如果要想证得OE=OF，只需要添加以下四个条件中的某一个即可(不添加字母和辅助线)，请写出所有满足题意的条件的序号： . ①∠ODE=∠ODF;②∠OED=∠OFD; ③ED=FD;④EF⊥OC. 3 如图，AB⊥BC,AB=8,点E,F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF 为斜边向上作等腰直角三角形DEF,∠EDF=90°,连接AD,则AD的最小值为 . 4如图,AE 是∠CAM 的平分线,点 B 在射线AM上,DE 是线段BC 的垂直平分线,交 AE 于E,交 BC 于 D, EF ⊥AM. 若∠ACB = 26°,∠CBE=25°,则∠AED= . 5如图,在∠AOB 的两边OA,OB 上分别取点 M,N,连接 MN.若 MP 平分∠AMN,NP 平分∠MNB. (1)求证:OP平分∠AOB; (2)若MN=8,且△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段 OM 与ON 的长度之和. 刷素养 6【定理】如图(1),因为 CB⊥AB 于B,CD⊥AD于D,CB=CD,所以AC ∠BAD. 【运用】如图(2),在四边形ABCD 中,∠BAD+∠BCD=180°,BC=CD,求证:AC平分∠BAD. 【拓展】如图(3),在等边△ABC 中,∠ACD=∠BAE,且DE=2AD,求∠AEC 的度数. 5.4角平分线的性质 课时1 角平分线的性质和判定 刷基础 1. D 【解析】因为 P 是∠AOB 的平分线上的一点,所以∠1=∠2,故 A 正确;因为 PC⊥OA,PD⊥OB,所以PC=PD,故B正确;在 Rt△OCP和 Rt△ODP 中, 所以 Rt△OCP≌Rt△ODP,所以∠3=∠4,故C正确;由已知条件，无法得出OP=2PC一定成立，故选D. 2. C 【解析】如图,过点 D 分别作 DM⊥BA,DN⊥BC,DG⊥AC,垂足分别是点 M,N,G.因为 BD 平分∠ABC,所以DM=DN,同理可得 DN=DG,所以DM=DG.因为 DM⊥BA,DG⊥AC,所以 AD 平分∠CAM.因为∠ABC=50°,∠ACB=60°,所以 所以∠CAD = 故选 C. 3.16.8 【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.因为AD平分∠CAB,∠C=90°,即 DC⊥AC,所以DC=DE=5.6.因为 BD=2CD,所以BD=11.2,所以BC=CD+BD=5.6+11.2=16.8. 4.8cm 【解析】因为∠C=90°,所以 FC⊥AC.由作图方法可得AF 平分∠BAC.因为 FG⊥AB,所以FC=FG.在 Rt△ACF 和Rt△AGF 中, 所以Rt△ACF≌Rt△AGF(斜边、直角边),所以AC=AG.因为AC=BC,所以AG=BC,所以△BFG的周长为 GF+BF+BG=CF+BF+BG=BC+BG=AG+BG=AB=8cm.故答案为8cm. 5.【解】如图,过点 P 作 PF⊥AD 于 F,作 PG⊥BC 于 G.因为 AP 是∠BAD 的平分线,PE⊥AB,所以PF=PE=2,同理可得PG=PE=2.因为AD∥BC,所以F,P,G三点共线，所以FG的长即为平行线 AD 与 BC 间的距离，所以平行线 AD 与BC间的距离为2+2=4. 6. D 【解析】因为 CD⊥AB,BE⊥AC,所以∠ODA=∠ODB =∠OEC = 90°. 在△BOD 和△COE 中, 所以△BOD≌△COE(角角边),所以OD=OE.又因为 CD⊥AB,BE⊥AC,点 O 在∠BAC 的内部,所 以 AO 平分 ∠BAC,所以 ∠BAC =2∠OAB.因为∠ODA=90°,∠AOD=55°,所以∠OAB=90°-55°=35°,所以∠BAC=2×35°=70°,故选 D. 7.(1)【解】因为 EF⊥AB,所以∠F=90°.因为∠AEF=55°,所以∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°. 因为∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=110°,所以∠CAD=∠BAE-∠BAD=145°-110°=35°. (2)【证明】如图,过点 E作 EG⊥AD 交AD 于点 G,EH⊥BC交BC于点 H. 因为∠F=90°,∠AEF=55°, 所以∠EAF=180°-90°-55°=35°. 因为∠CAD=35°,所以∠EAF=∠CAD,所以AE平分∠FAD. 因为EF⊥AF,EG⊥AD,所以EF=EG. 因为BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,所以EF=EH,所以EG=EH. 因为EG⊥AD,EH⊥BC,所以DE平分∠ADC. 课时2 角平分线的综合运用 刷基础 1. C 【解析】如图,过点 P 作PD⊥OB,垂足为D.因为 PE⊥OA,PD⊥OB,PE =PD,所以∠PEM=90°,OP 平分∠AOB,所以∠AOP =∠BOP =30°.因为 直尺对边平行,所以∠AOP=∠BOP=∠MPO=30°,所以MP=OM.因为∠AMP=∠AOP+∠MPO=60°,∠PEM=90°,所以∠MPE = 90°-∠AMP =30°. 因为ME=2,所以MP=2ME=4,所以OM=MP=4,所以OE=ME+OM=6,故选C. 2. C 【解析】如图,过点 O作 于 D, AB 于 E, 于 F.由角平分线的性质可得OE=OF=OD,所以 OD)=AB:BC:AC=2:3:4.故选 C. 3. D 【解析】如图所示,M,N，G是三角形的三个外角平分线的三个交点，H为内角平分线的交点，故符合条件的位置有4种.故选D. 4. A 【解析】因为O 在 内，且到三边距离相等，所以O 是三条内角平分线的交点，所以 因为 所以 所以 5. A 【解析】如图,过点 O,(O',O''分别作( AB于D, 于E, 于F.因为直线 所以OD=O'E=O''F,所以点O为 三条内角平分线的交点，所以. 所以 .故选A. 6.24 【解析】因为O 是三角形的三条内角平分线的交点， 于点M，所以点O到 三边的距离均等于 OM 的长.因为 所以 即 BC+CA)×2=24,所以AB+BC+CA=24,即 的周长为24. 7.【解】(1)点 P 应修建在 的平分线和线段 CD 的垂直平分线的交点处. (2)如图所示，点P 即为所求. 刷提升 1. A 【解析】过 E 作 于 F，如图.因为. AE平分 所以.BE=EF.在 和 中， 所 以 Rt△AEB(斜边、直角边),所以AB=AF,∠AEF=∠AEB.因为E 是BC的中点,所以EC=EF=BE.因为DE>CE,所以DE>BE,故③错误.在Rt△EFD 和 Rt △ECD 中, 所以Rt△EFD≌Rt△ECD(斜边、直角边),所以DC=DF,∠FED=∠CED,∠FDE=∠CDE,故②正确.因为AB=AF,FD=DC,所以AD=AF+FD=AB+DC,故④正确.因为∠AEF=∠AEB,∠FED = ∠CED, 所 以 ∠AED = ∠AEF + 故①正确.因此正确的结论有①②④,故选 A. 2.①②④ 【解析】因为射线 OC 上的任意一点到∠AOB 的两边的距离都相等，所以OC 平分∠AOB.①若∠ODE=∠ODF,根据“角边角”可证得△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF,满足题意.②若∠OED=∠OFD,根据“角角边”可证得△ODE≌△ODF,由三角形全等的性质可知OE=OF，满足题意.③根据ED=FD 不能得出OE=OF,不满足题意.④若EF⊥OC,根据“角边角”可证得△OGE≌△OGF，由三角形全等的性质可知OE=OF，满足题意. 【解析】如图，连接BD 并延长,过点 D 作DM⊥BC 于点 M,DN⊥AB于点 N. 因为AB⊥BC,所以 ∠ABC = ∠DMB =∠DNE=90°,所以∠MDN=360°-90°-90°-90°= 90°. 因为△DEF 为等腰直角三角形,∠EDF=90°,所以DE=DF,∠MDN=∠EDF,所 以 ∠MDF = ∠NDE. 又 因 为 ∠DNE =∠DMF = 90°,所以 △DMF ≌ △DNE ( 角角边),所以DM=DN,所以BD平分∠ABC,所以∠DBF=∠DBE=45°,所以点 D 在∠ABC 的平分线上.因为垂线段最短，所以当AD⊥BD时,AD 取最小值,此时易得 BD=AD.因为 所以. 即AD的最小值为4 ，故答案为4 4.39°【解析】如图,连接CE,过 E 作 ER ⊥AC 于R,交 CD 于 Q,设 AE 交BC于 O.因为 DE 是线段BC 的垂直平分线,所以∠EDC = 90°,CE =BE,所以∠ECB=∠CBE.因为∠CBE=25°,所以∠ECB=25°,所以∠DEB=∠CED=90°-25°= 65°. 因为 ER⊥AC,ED ⊥BC, 所以∠QRC=∠QDE=90°,所以∠ACB+∠CQR=90°,∠EQD +∠QED = 90°. 因为 ∠CQR =∠EQD,所以∠ACB =∠QED. 因为∠ACB=26°,所以∠QED=26°. 因为 AE 平分∠CAM,ER⊥AC,EF⊥AM,所以ER=EF.在Rt△ERC和 Rt△EFB 中, 所以Rt△ERC≌Rt△EFB (斜边、直角边),所以∠EBF =∠ACE=∠ACB+∠ECD=26°+25°=51°.因为∠EFB=90°,所以∠BEF=90°-∠EBF =90°-51°=39°,所以∠REF=∠RED+∠BED+∠BEF=26°+65°+39°= 130°. 因为∠ARE =∠AFE=90°,所以∠CAM=180°+180°-90°-90°-130°=50°. 因为 AE 平分∠CAM,所以 所以∠DOE=∠CAE+∠ACB=25°+26°=51°. 因为 ED⊥BC,所以∠EDB=90°,所以∠AED=90°-∠DOE=90°-51°=39°.故答案为39°. 5.(1)【证明】如图,过点 P 分别作 PC⊥OA,PD⊥MN,PE⊥OB,垂足分别为C,D,E. 因为MP 平分 所以.PC=PD. 因为 NP 平分 所以PD=PE,所以PC=PE,所以OP 平分 (2)【解】因为 的面积是16，MN=8,所以 即 解得.PD=4,所以.PC=PE=PD=4. 因为 的面积是24， 所以 所以 所以 即 所以OM+ON=20，所以线段OM与ON的长度之和为20. 刷素养 6.【定理】【解】因为 CB⊥AB 于 B,CD⊥AD、于D,CB = CD, 所以在 Rt△ADC 和 Rt△ABC中， 所以 Rt△ADC≌Rt△ABC(斜边、直角边), 所以∠DAC=∠BAC, 所以AC平分∠BAD，故答案为平分. 【运用】【证明】如图(1),过点 C 作 CE⊥AB于E,作 CH⊥AD,交AD 的延长线于点 H,则∠DHC=∠BEC =∠AEC=90°,所以∠DAB+∠HCE=360°-∠DHC-∠AEC=180°. 因为∠BAD +∠BCD = 180°,所以∠BCD =∠HCE,所以∠BCD-∠ECD=∠HCE-∠ECD,所以 ∠BCE = ∠HCD. 又因 为 BC = CD,∠DHC=∠BEC =90°,所以△HDC≌△EBC(角角边)， 所以CH=CE.因为CE⊥AB,CH⊥AD,所以点C在∠BAD 的平分线上,即AC平分∠BAD. 【拓展】【解】如图(2),过E 作 EO⊥CD 于 O,过O 作 OM⊥BC 于 M,ON⊥AB 于 N,连接OA,OB. 因为△ABC 是等边三角形,所以AC=AB=BC,∠ACB=∠ABC = ∠BAC = 60°,所以∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°. 因为∠ACD =∠BAE,所以∠CAE+∠ACD =∠CDE=60°.因为 OE ⊥ CD,所以∠EOD =90°,所以∠OED=30°,所以DE=2OD.因为DE = 2AD,所以 OD = AD,所以 ∠AOD = 所 以 ∠DAO =∠AOD = ∠OED = 30°, ∠AOE = ∠DOE +∠AOD=120°,所以OA=OE.因为OM⊥BC 于M,ON⊥AB 于 N,所以∠OME = ∠ONB =∠ONA= 90°,所以∠MON+∠ABC = 360°-∠OME-∠ONB=180°,所以∠MON=∠AOE=120°,所以∠MON-∠EON=∠AOE-∠EON,所以∠MOE=∠AON. 因为 OA =OE,∠OME = ∠ONA = 90°,所以△ONA≌△OME(角角边),所以 OM=ON. 因为OM⊥BC,ON⊥AB,所以点 O 在∠ABC的平分线上，即 BO 是∠ABC 的平分线.因为△ABC 是等边三角形，所以OB 垂直平分AC，所以OA=OC,所以 15°,所以∠DCE=∠ACB-∠ACO=60°-15°=45°,所以∠AEC=180°-∠CDE-∠DCE=180°-60°-45°=75°. $