精品解析：重庆市九龙坡区2025-2026学年高二下学期期末学业质量测评数学试题

2025-2026 学年学业质量测评 (中学) 高二 (下) 数学试题 数学试题卷共 6 页， 考试时间120 分钟， 满分 150 分. 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知命题“”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论， 所以命题“”的否定是. 故选：C 2. 若一质点的位移 (单位: 米) 关于时间 (单位: 秒) 的函数关系式为 ， 则该质点在 时的瞬时速度为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 则该质点在 时的瞬时速度为． 3. 已知集合 均为 的子集，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，然后逐个分析判断即可 【详解】根据补集定义，是实数集中所有不属于的元素构成的集合, 已知，说明不存在元素同时满足且，即对任意，都有，因此， 选项A：推导得，并非，故A错误； 选项B：因为，故，仅当时等于，不是恒成立，故B错误； 选项C：当时，恒成立，故C正确； 选项D：举反例：取，，满足，但，故D错误. 4. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】令，得到，化简得， 得到，解得或， 则“ ” 是 “ 或 ”的充分不必要条件． 5. 设随机变量 服从两点分布，已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布的性质和方差的性质结合已知条件求解即可. 【详解】由于随机变量服从两点分布，因此的可能取值为和，且, 所以， 因为，可得， 所以   6. 现用 Python 生成随机密钥，该密钥共 4 位，前 3 位在 1，2，3，4，5 这五个数字中进行选择(可以重复)，第 4 位要求从 ， ， 这三个字母中进行选择，则可生成密钥的数量为（ ） A. 60 B. 75 C. 180 D. 375 【答案】D 【解析】 【详解】根据分步计数乘法原理，可生成秘钥的数量为：. 7. 已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时，  取得最小值8. 8. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数零点转化成两个函数交点问题，根据图像可得答案. 【详解】令，即， 令，所以， 当和时，，所以单调递增； 时，，所以单调递减， ，，， 当时，，所以， 时，，所以， 所以函数的大致图像如下， 函数有3个零点 等价于和有三个交点， 所以. 【点睛】函数带参数的零点问题可以通过全分离参数转化为两个的函数的交点，通过研究图象确定参数的范围. 二、选择题: 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：常数项可令求得，代入左边得，故，A错误； 选项B：将原式拆为， 根据二项式定理，的系数为， 即，B正确； 选项C：含的最高次项由乘以的项得到，即， 即，C错误； 选项D：令，可得所有系数和为，即， 故，D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值为 C. 过原点且与曲线相切的直线方程为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB选项，求定义域，求导，得到函数单调性和最值；C选项，设出切点，根据切线斜率得到方程，求出切点，得到切线方程；D选项，先得到当时，，当时，，从而得到不等式的解集 【详解】A选项，定义域为， ， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，A错误； B选项，由A可知，在处取得极大值，也是最大值， 最大值为，B正确； C选项，设切点为，则切线斜率为， 故，化简得，解得， 则切点为，切线斜率为， 故过原点且与曲线相切的直线方程为，C正确； D选项，令，即，解得， 由A可知，当时，，当时，， 由的定义域可知， 故不等式的解集为，D正确 11. 在一次篮球训练课上，教师为了训练学生投篮，规定:若学生出现连续 2 次投篮命中，则该学生停止投篮. 小明同学参加了本次训练，小明每次投篮的命中率为 ，且各次投篮是否命中相互独立. 则（ ） A. 小明同学投篮 2 次就停止投篮的概率为 B. 小明同学投篮 4 次就停止投篮的概率为 C. 小明同学投篮 3 次后没有停止投篮的概率为 D. 小明同学投篮总次数的数学期望为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABC选项，根据选项条件，分析对应情况，利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可求解；对于D选项，采用状态法，分析两种不同状态下的数学期望即可求解. 【详解】对于A选项，投篮2次就停止，等价于前两次连续命中，而每次投篮独立， 因此，故A选项正确， 对于B选项，投篮4次就停止，等价于第3、4次连续命中，并且前3次未出现连续命中， 因此有以下两种情况： 情况一：第一次命中、第二次未命中，第三次命中、第四次命中，此时概率为， 情况二：第一次未命中，第二次未命中，第三次命中，第四次命中，此时概率为， 故，故B选项正确. 对于C选项，投篮三次未停止等价于前三次均未出现连续命中，因此有以下几种情况： 情况一：第一次命中、第二次未命中、第三次命中，此时概率为, 情况二：第一次命中、第二次未命中、第三次未命中，此时概率为， 情况三：第一次未命中、第二次命中、第三次未命中，此时概率为， 情况四：第一次未命中，第二次未命中，第三次命中，此时概率为， 情况五：第一次未命中、第二次未命中、第三次未命中，此时概率为， 因此，因此C选项错误， 对于D选项，设为上次未命中到停止的期望次数，为上一次命中后到停止的期望次数， 因此若上一次命中，则若这次命中，则投篮停止，否则重新计数，因此，其中， 若上一次未命中，则若这次命中，则再投一次投篮结束，否则保持计数为0， 因此， 故解得，故D选项正确. 三、填空题: 本大题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 函数的所有极值点之和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值即得． 【详解】∵，∴ 令得或， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以为的极大值点，为的极小值点. 函数的所有极值点之和为. 13. 某人参加趣味射击比赛，比赛按轮进行，每轮比赛中需射击固定或移动目标一次，其中每轮中出现固定目标的概率为 ，此人击中固定目标的概率为 ，出现移动目标的概率为 ，此人击中移动目标的概率为 ，每轮是否击中目标相互独立. 则此人在一轮射击中击中目标的概率为_____. 【答案】 【解析】 【详解】设事件表示“一轮射击中出现固定目标”，事件表示“一轮射击中出现移动目标”， 事件表示“一轮射击中击中目标”. 由题意可知为互斥事件， 满足，， 条件概率，. 根据全概率公式可得. 因此此人在一轮射击中击中目标的概率为. 14. 现有甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者将到 三个社区开展防电信诈骗宣传活动 (三个社区开展活动的时间不重复)， 向市民普及防诈骗、反诈骗的知识. 要求每名志愿者选择 1 个社区或 2 个社区，且每个社区恰有 2 人选择，则不同选择方案的种数为_____. (用数字作答) 【答案】180 【解析】 【分析】根据题目要求，通过列方程的方式求解出5人在选择社区的数量上如何分配，进而通过分步计数原理求解即可. 【详解】设选择2个社区的有人，选择1个社区的有人，因此有且， 故，，即恰好1名志愿者选2个社区，其余4名各选择1个社区， 从5人中选1人选择2个社区，共种选法， 为该志愿者选择2个社区，共种选法， 被选中的2个社区已经各有1人，各缺1个名额，未被选中的社区缺少2个名额， 因此，先从4人中选1人补第一个缺额社区，共种选法， 再从剩余的3人中选1人到第二个缺额社区，共种选法。 最后2人补到第三个社区，共种选法， 合计共有种选法. 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 . （1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值。 【解析】 【分析】（1）先求得导数，令，可求得切点的横坐标，进而可求得切点的坐标，再将切点坐标代入切线方程可求得实数的值. （2）分别解不等式、可得出函数的单调递增区间和单调递减区间，并由此可求得该函数的极大值和极小值； 【小问1详解】 ，定义域为， ∴. 令，解得， ， 所以，切点坐标为，则有，解得. 【小问2详解】 令，解得；令，解得. 所以，函数的单调增区间为；函数的单调减区间为. 当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 16. 某公司为研究“微短剧”喜好与观众性别是否有关联进行了一次调查，并将收集的数据整理后填入如下列联表: 性别 “微短剧”喜好 合计 喜欢 不喜欢 男 45 45 90 女 75 35 110 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为 “微短剧” 喜好与观众性别有关？ （2）现从喜欢“微短剧”的观众样本中按分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取8 人，进行调研，再从这8人中随机抽取4人，记这4人中女观众的人数为，求的分布列和数学期望. 附: . 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能认为“微短剧”喜好与观众性别有关，理由如下： 认为 “微短剧” 喜好与观众性别无关， ， 故零假设不成立，能认为“微短剧”喜好与观众性别有关； （2）的分布列为： 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）设出零假设，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）得到的可能取值和相应的概率，得到分布列和数学期望 【小问1详解】 略 【小问2详解】 男女比例为，故抽取的8人中，男生人数为3人，女生人数为5人， 的可能取值为， ，，， ， 故分布列为 1 2 3 4 数学期望为. 17. 某商家对其销售的一种商品的销售情况进行统计分析. （1）统计该商品在2025年月的销售量如下: 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量(单位:万件) 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 已知销售量与月份具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并求样本点对应的残差: （2）经统计该商品的销售利润(单位:万元)，近似服从正态分布，求销售利润在的概率. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:，若，则 . 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出对应数据，再利用最小二乘法得到回归方程，最后利用残差公式计算残差即可. （2）利用正态分布的性质求解概率即可. 【小问1详解】 由题意得， ，且，， 则， 可得经验回归方程为，当时，， 则残差为. 【小问2详解】 由题意得， 则， 由题意得，则， 由题意得，则， 可得， 故. 18. 某工厂有甲、乙两台机器设备生产同一型号的零件，经质检人员抽样检测发现: 甲机器生产的一批零件的合格率为94%，乙机器生产的一批零件的合格率为98%，已知甲、乙两台机器各生产的这批零件的数量很大，请用频率估计概率解答下列问题. （1）现从甲机器和乙机器生产的这批零件中各抽取1个零件，求这2个零件中恰有1件为合格品的概率; （2）若甲机器和乙机器各生产的这批零件混合放在一起，其合格率为 97%，现从混合放在一起的零件中随机抽取件. （i）当时，记这3个零件来自甲机器生产的零件的个数为，求的分布列和数学期望； （ii）记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）（i）的分布列为： 0 1 2 3 . （ii） 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求值. （2）先确定甲机器生产的产品所占的比例，（i）根据二项分布求分布列和期望；（ii）利用数列的单调性求取得最大值时的值. 【小问1详解】 设事件：“从甲机器生产的零件中抽取1个为合格品”，事件：“从乙机器生产的零件中抽取1个为合格品”，事件：“从甲机器和乙机器生产的这批零件中各抽取1个零件，这2个零件中恰有1件为合格品”. 则. 【小问2详解】 设混合在一起的零件中，甲机器生产的零件所占比例为， 由题意：. （i）当时，， 所以，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （ii）因为. 由，所以； 由，所以. 综上，又，所以. 即时，取得最大值. 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值； （3）若有两个零点，且，证明：． 【答案】（1）1 （2） （3）证明：有两个零点，即有两个根， 因为，所以， 由（2）知，在处取最小值， 由有两个零点，得， 此时，且，， 要证，将代入，得，不等式变为：， 又因为满足，即， 代入上式：， 已知且， 取对数得：， 令， 则，我们需要证明， 由于是在上的唯一解，且在上递减， 只需证明， 因为，所以， 而，在递减，在递增， 要证，即证， 已知，所以只需证对于成立， 令，设， 当时，，， 设，则， 所以， 所以，则在单调递增，， 所以成立，即成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的正负得出函数的单调区间，进而得出最小值； （2）先由导数求得的最小值，进而得出，再构造函数，根据导数求解最大值； （3）要证，即证，构造函数，利用函数单调性即可证明． 【小问1详解】 ，则， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调增， 所以． 【小问2详解】 ， ，令， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， 设， 则， 令，， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年学业质量测评 (中学) 高二 (下) 数学试题 数学试题卷共 6 页， 考试时间120 分钟， 满分 150 分. 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知命题“”，则为（ ） A. B. C. D. 2. 若一质点的位移 (单位: 米) 关于时间 (单位: 秒) 的函数关系式为 ， 则该质点在 时的瞬时速度为（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 已知集合 均为 的子集，且 ，则（ ） A. B. C. D. 4. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设随机变量 服从两点分布，已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 现用 Python 生成随机密钥，该密钥共 4 位，前 3 位在 1，2，3，4，5 这五个数字中进行选择(可以重复)，第 4 位要求从 ， ， 这三个字母中进行选择，则可生成密钥的数量为（ ） A. 60 B. 75 C. 180 D. 375 7. 已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 8. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题: 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值为 C. 过原点且与曲线相切的直线方程为 D. 不等式的解集为 11. 在一次篮球训练课上，教师为了训练学生投篮，规定:若学生出现连续 2 次投篮命中，则该学生停止投篮. 小明同学参加了本次训练，小明每次投篮的命中率为 ，且各次投篮是否命中相互独立. 则（ ） A. 小明同学投篮 2 次就停止投篮的概率为 B. 小明同学投篮 4 次就停止投篮的概率为 C. 小明同学投篮 3 次后没有停止投篮的概率为 D. 小明同学投篮总次数的数学期望为 三、填空题: 本大题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 函数的所有极值点之和为_____. 13. 某人参加趣味射击比赛，比赛按轮进行，每轮比赛中需射击固定或移动目标一次，其中每轮中出现固定目标的概率为 ，此人击中固定目标的概率为 ，出现移动目标的概率为 ，此人击中移动目标的概率为 ，每轮是否击中目标相互独立. 则此人在一轮射击中击中目标的概率为_____. 14. 现有甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者将到 三个社区开展防电信诈骗宣传活动 (三个社区开展活动的时间不重复)， 向市民普及防诈骗、反诈骗的知识. 要求每名志愿者选择 1 个社区或 2 个社区，且每个社区恰有 2 人选择，则不同选择方案的种数为_____. (用数字作答) 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 . （1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 16. 某公司为研究“微短剧”喜好与观众性别是否有关联进行了一次调查，并将收集的数据整理后填入如下列联表: 性别 “微短剧”喜好 合计 喜欢 不喜欢 男 45 45 90 女 75 35 110 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为 “微短剧” 喜好与观众性别有关？ （2）现从喜欢“微短剧”的观众样本中按分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取8 人，进行调研，再从这8人中随机抽取4人，记这4人中女观众的人数为，求的分布列和数学期望. 附: . 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 某商家对其销售的一种商品的销售情况进行统计分析. （1）统计该商品在2025年月的销售量如下: 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量(单位:万件) 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 已知销售量与月份具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并求样本点对应的残差: （2）经统计该商品的销售利润(单位:万元)，近似服从正态分布，求销售利润在的概率. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:，若，则 . 18. 某工厂有甲、乙两台机器设备生产同一型号的零件，经质检人员抽样检测发现: 甲机器生产的一批零件的合格率为94%，乙机器生产的一批零件的合格率为98%，已知甲、乙两台机器各生产的这批零件的数量很大，请用频率估计概率解答下列问题. （1）现从甲机器和乙机器生产的这批零件中各抽取1个零件，求这2个零件中恰有1件为合格品的概率; （2）若甲机器和乙机器各生产的这批零件混合放在一起，其合格率为 97%，现从混合放在一起的零件中随机抽取件. （i）当时，记这3个零件来自甲机器生产的零件的个数为，求的分布列和数学期望； （ii）记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值. 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值； （3）若有两个零点，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $