精品解析：重庆市第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学试题

2025年重庆一中高2026届高二下期期末考试 数学试题 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后、再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时、必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论. 【详解】根据题意，原式，移项得，即， 所以，解得，即， 所以. 故选：B 2. 已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由导数符号与区间单调性的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若时，则在区间上单调递增，充分性成立； 若在区间上单调递增，则时，且不恒成立，必要性不成立； 所以“时，”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可判断，利用对数运算性质和对数函数的性质判断的范围以及大小关系即得答案. 【详解】由题意可知，， 又，，而， 故，即， 因为，所以. 故选：A 4. 语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.45 D. 0.75 【答案】D 【解析】 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 5. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 7. 已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，可设，，，结合已知夹角及向量夹角的坐标表示列方程得，进而求离心率. 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率. 故选：C 8. 有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件知装有款玩偶的盲盒最先被全部打开包含：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶；从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶，再利用古典概率公式、互斥事件的概率公式及排列组合，即可求解. 【详解】记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶， 记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶， 记事件：装有款玩偶的盲盒最先被全部打开， 易知，， 则， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13 D. 变量与的回归方程为，若观测数据中均值为1，则变量均值为1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质、方差的性质、百分位数的计算方法以及回归方程的性质来逐一分析选项. 【详解】对于选项A： 因为，根据正态分布的对称性可得，，所以A正确； 对于选项B： 根据方差公式可知，所以B错误； 对于选项C： 因为，所以第40百分位数为第3项数据，即17，所以C错误； 对于选项D： 因为回归方程过样本中心点，所以当时，，所以D正确. 故选：AD. 10. 掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ） A. 和互斥 B. 和独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义判断B；根据条件概率的公式即可判断C；根据古典概型即可判断D． 【详解】对于A，由题可知，和互斥，故A正确； 对于B，，，， ，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，故D正确； 故选：ACD． 11. 已知，则（ ） A. 当时，既有极大值，又有极小值 B. 若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C. 时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D. 不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理先求，再令得，进而求解. 【详解】由题意有：，令有：， 所以， 故答案为：. 13. 如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元/m2．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为__________m3． 【答案】36 【解析】 【分析】设仓库长为m，高为m，由预算得关系式，利用基本不等式求出范围，由范围求仓库的储物量的最大值. 【详解】设仓库长为m，高为m， 则， 即，其中， 因为， 即 所以，当且仅当m时取等号， 所以仓库的储物量， 即仓库的储物量的最大值为. 故答案为：36. 14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度， 当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表： 是否合并其他超声异常 染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 （1）根据小概率值独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； （2）现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】(1)根据列联表及所给公式计算出，对照附表做出相应判断. (2)用列联表中所给的频数，算出相应频率，并以此估计概率.显然，服从二项分布，据此可写出其分布列，并求出其数学期望. 【小问1详解】 解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关. 由题知. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于. 【小问2详解】 由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为, 以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为， 即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为 为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为, 且，故. 则的分布列如下 0 1 2 3 故的数学期望. 16. 已知函数， （1）若曲线与轴相切，求实数的取值； （2）讨论函数的单调区间． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【小问1详解】 设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； 【小问2详解】 ， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 17. 椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，再由向量数量积的坐标运算得，结合已知求参数，即可得； （2）讨论直线的斜率，设为，联立椭圆并应用韦达定理得，四边形面积，进而求出参数值，即可得. 【小问1详解】 设，则，故， 又， 故， 由题可得，，故， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 若直线的斜率为0，则，不满足条件， 斜率不为0时，设直线为，直线的斜率为， 联立，消去整理得， 则， 根据点和点所在位置，如图： 如图，可得， 又四边形的面积为 ， 又，即， 故，所以直线的斜率为. 18. 已知函数， （1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【小问1详解】 由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； 【小问3详解】 因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 19. 随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长，重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品（每家店仅售一款）．假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较．小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头（即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择）．为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略： 策略：直接购买第一家店里的文创产品； 策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组，参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品． 设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为． （1）若，求的值，并比较策略和的优劣； （2）设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为， （i）写出的值和表达式； （ii）已知有9款文创产品，求使最大的值． 参考数据：． 【答案】（1），策略更优 （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）将所有情况一一列出，再根据古典概型的概率公式求解即可； （2）（i）分、、三种情况讨论，结合条件概率的定义求解即可； （ii）根据全概率公式求出，再利用定义法判断数列的增减性或由即可求出. 【小问1详解】 由于，假设小明对三款产品的喜爱程度分别为：高、中、低，其排序共有种情况，采用策略后购买的结果列表如下： 参考组 候选组 结果 第1款 第2款 第3款 购买款式 高 中 低 低 高 低 中 中 中 高 低 高 低 高 中 高 中 低 高 高 低 中 高 中 故小明购买到最喜欢产品的情况有3种，故， 又易知，故策略更优． 【小问2详解】 （i）显然，， 表示在小明最喜爱的文创产品位于第个店里的情况下，最终购买到最喜爱文创产品的概率， 当时，即小明最喜爱文创产品位于参考组时，不可能购买到最喜爱文创产品， 故； 当时，小明一定能购买到最喜爱文创产品，即； 当时，小明要购买到最喜爱文创产品，则需要前款产品中喜爱度最高的产品在参考组中，这样第款产品就会是第一个“比参考组都更好”的产品，从而被选中， 又因在前款产品中喜爱度最高的产品出现在哪一家是等可能的， 其落在参考组的概率为，故； 综上，； （ii）由全概率公式得 ， 由题得，故下标满足，， 解法1：若，则， 则， 则，即， 由于，故， 故当时，，即有， 当时，，即有， 故时最大； 解法2：要使得最大，需要满足，解得， 余下同解法1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆一中高2026届高二下期期末考试 数学试题 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后、再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时、必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A B. C. D. 4. 语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.45 D. 0.75 5. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A B. C D. 7. 已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13 D. 变量与的回归方程为，若观测数据中均值为1，则变量均值为1 10. 掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ） A. 和互斥 B. 和独立 C. D. 11. 已知，则（ ） A. 当时，既有极大值，又有极小值 B. 若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C. 时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D. 不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元/m2．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为__________m3． 14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表： 是否合并其他超声异常 染色体否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； （2）现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 01 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数， （1）若曲线与轴相切，求实数的取值； （2）讨论函数的单调区间． 17. 椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 18. 已知函数， （1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 19. 随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长，重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品（每家店仅售一款）．假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较．小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头（即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择）．为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略： 策略：直接购买第一家店里的文创产品； 策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组，参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品． 设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为． （1）若，求的值，并比较策略和的优劣； （2）设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为， （i）写出的值和表达式； （ii）已知有9款文创产品，求使最大的值． 参考数据：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $