2.2.2 一元二次方程的解法 —— 因式分解法 暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2.2.2 一元二次方程的解法 —— 因式分解法 【学习目标】 1、理解因式分解法解方程的理论依据 “若，则或”；熟练掌握提公因式法、平方差公式、十字相乘法三种因式分解手段解一元二次方程；牢记解题规范，规避两边同除含未知数式子导致丢根的错误；能够对比四种解法，优先选择因式分解法简化运算。 2、经历情境列式、原理探究、步骤归纳、例题演练的完整过程，体会 “降次转化” 的核心数学思想，形成标准化的解题流程。 3、强化代数变形能力、严谨的逻辑思维，提升解题方法的选择判断能力。 【学习重点】 运用因式分解法解一元二次方程，熟记完整解题四步骤。 【学习难点】 理解 “或” 的逻辑含义；十字相乘法分解二次三项式；杜绝随意约去含未知数的因式造成失根。 【课前温故・知识链接】 1、已学解法回顾：直接开平方法、配方法、公式法，共同点都是把二次方程降为一元一次方程。 2、因式分解常用方法： ① 提公因式： ② 平方差公式： ③ 十字相乘： 3、思考：如果两个数相乘结果等于 0，这两个数存在什么样的关系？ 一、情境导入（实际问题引入） 一块矩形木板，长比宽多 2m，面积为 8。设宽为米，可列方程： ，整理得：。 如果用配方法、公式法都可以求解，但是计算步骤偏多。 思考：能不能把式子拆成两个式子相乘等于 0 的形式，快速口算得出答案？ 由此引出本节课最简捷的解法：因式分解法。 二、合作探究一：推导因式分解法的原理 探究活动 1：原理辨析 命题：若（代表整式），则 或者 。 举例：，可以得到 或 ，解得两根。 ⚠️ 易错辨析（本节课最大误区）： 错误做法：解方程，两边直接除以，得到。 漏洞：默认了，丢掉了这一个根。 正确操作：必须先移项，把所有项移到左侧，使等式右边等于 0，再分解因式求解。 探究活动 2：归纳因式分解法标准解题步骤 1、移项化零：把方程所有项移到左边，使方程右边等于 0； 2、因式分解：将左侧的多项式分解成两个一次因式相乘的形式； 3、拆分方程：令每一个因式分别等于 0，拆成两个独立的一元一次方程； 4、分别求解：解两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的全部根。 方法口诀： 一移归零，二去分解，三拆成一次方程，四算出两根。 探究活动 3：三种常见分解类型归类 1、提公因式型： 2、平方差公式型： 3、十字相乘型： 三、典例精讲（标准答题格式，学生可直接仿写） 例 1（提公因式型）：解方程 解：移项，得 因式分解： 或 解得： 例 2（平方差公式）：解方程 解：移项： 套用平方差分解： 化简： 例 3（十字相乘法）：解方程 解：因式分解： 或 例 4（先整理再分解）： 解：展开整理： 十字相乘： 解得： 易错点汇总 1、不移项直接分解，右侧不为 0 时不能套用 “乘积为 0” 的原理； 2、方程两边绝不可以约去含有未知数的代数式，避免丢失根； 3、“或” 表示二选一，不是同时成立，不要错写成 “且”。 四、分层课堂当堂检测 【基础过关题（全员必做）】 1. 解方程 （提公因式法） 2. 解方程 （平方差公式） 3. 解方程 （十字相乘法） 【能力提升题（拔高选做）】 1、解方程 2、对比三种解法，思考：什么样的一元二次方程优先选用因式分解法？ 参考答案 当堂检测答案 基础 1： 基础 2： 基础 3： 提升 1：移项得，即， 提升 2：方程容易因式分解（有公因式、符合平方差、二次三项式可以十字相乘），优先选用因式分解法。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．关于x的一元二次方程x（x+1）=x的解为（　　） A．x1=-1，x2=0 B．x1=x2=0 C．x1=x2=-1 D．D．x1=-1，x2=1 2．一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 3．使分式的值等于零的x是（　　） A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣6 4．方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0 5．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（　　） A．1 B．1或2 C．2 D．2或3 6．若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　） A．k≠1 B．k＜0 C．k＜﹣1 D．k＞0 8．我们解一元二次方程3x2﹣6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x﹣2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．这种解法体现的数学思想是（　　） A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 9．若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（　　） A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5） C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5） 10．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　） A．x＝1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1，x2 D．x1＝﹣1，x2＝2 二．填空题（共5小题） 11．已知关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，则a的值为 　 　 ． 12．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长为 　 　 ． 13．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为 　 　 ． 14．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m＝　 　 ． 15．已知x2+xy+y＝14①，y2+xy+x＝28②，则x+y的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．解方程： （1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． （2）x2﹣4x﹣5＝0． （3）2x2+x＝3． （4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2． 17．若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”． （1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值． 18．解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x． 19．（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 20．已知关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：由题知， x（x+1）=x, x（x+1）-x=0， x2=0， 所以x1=x2=0． 故选：B 2．【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0， 所以x1＝5，x2＝3， ∵菱形一条对角线长为8， ∴菱形的边长为5， ∴菱形的另一条对角线为26， ∴菱形的面积6×8＝24． 故选：B． 3．【解答】解：∵0 ∴x2﹣5x﹣6＝0 即（x﹣6）（x+1）＝0 ∴x＝6或﹣1 又x+1≠0 ∴x＝6 故选：A． 4．【解答】解：x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3． 故选：C． 5．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x2”与面“3x﹣2”相对，面“★”与面“x+1”相对． 因为相对两个面上的数相同，所以x2＝3x﹣2，解得x＝1或x＝2， 又因为不相对两个面上的数值不相同，当x＝2时，∵x+2＝4，3x﹣2＝4， ∴3x﹣2＝x+2，不符合题意， ∴x只能为1，即★＝x+1＝2． 故选：C． 6．【解答】解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b， ∴k＝﹣3，b＝1， ∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 7．【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一根小于1，一根大于1， ∴k+1＜1，解得：k＜0， ∴k的取值范围为k＜0． 故选：B． 8．【解答】解：我们解一元二次方程3x2﹣6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）＝0， 从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x﹣2＝0， 进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2． 这种解法体现的数学思想是转化思想， 故选：A． 9．【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5， ∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p） ＝2（x+3）（x﹣5）， 故选：C． 10．【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2， ∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵（x﹣5）（x﹣a）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣a＝0， 解得x1＝5，x2＝a， ∵关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1， ∴a＝1． 故答案为：1． 12．【解答】解：x2﹣13x+40＝0， （x﹣5）（x﹣8）＝0， 所以x1＝5，x2＝8， 而三角形的两边长分别是3和4， 所以三角形第三边的长为5， 所以三角形的周长为3+4+5＝12． 故答案为12． 13．【解答】解：x2﹣9x+18＝0， （x﹣3）（x﹣6）＝0， 所以x1＝3，x2＝6， 所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15． 故答案为15． 14．【解答】解：把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1＝2中得m2﹣2m﹣1＝2 移项得m2﹣2m﹣3＝0 因式分解得（m﹣3）（m+1）＝0 解得m＝3或﹣1． 故答案为：3或﹣1． 15．【解答】解：①+②得，x2+2xy+y2+x+y＝42， ∴（x+y）2+（x+y）﹣42＝0， ∴（x+y+7）（x+y﹣6）＝0， ∴x+y＝﹣7或x+y＝6， 故答案为：﹣7或6． 三．解答题（共5小题） 16．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0， ∴3（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝3，x2＝1； （2）∵x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x﹣5）（x+1）＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， 所以x1＝5，x2＝﹣1； （3）∵2x2+x＝3， ∴（2x+3）（x﹣1）＝0， ∴2x+3＝0或x﹣1＝0， 所以x1，x2＝1； （4）∵4（x+2）2﹣（3x﹣1）2＝0， ∴（2x+4+3x﹣1）（2x+4﹣3x+1）＝0， ∴5x+3＝0或﹣x+5＝0， ∴x1，x2＝5． 17．【解答】解：（1）不是，理由如下： ∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣4． ∵5﹣（﹣4）＝9≠2， ∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”． （2）∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m． 又∵关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”， ∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2， 解得：m＝0或m＝4． 18．【解答】解：整理方程得 （a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0． （1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程， [ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0， x1，x2； （2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程， 当a＝0时，x＝0； 当a＝1时，x＝2． 19．【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3； （2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边2， 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边， ∴第三边的长为2或． 20．【解答】解：原方程可化为：[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0． 因为此方程是关于x的一元二次方程， 所以，k≠6，k≠9， 于是有：x1①，x2②． 由①得k，由②得k， ∴， 整理得x1x2﹣2x1+3x2＝0， 有（x1+3）（x2﹣2）＝﹣6． ∵x1、x2均为整数， ∴． 故x1＝﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，3． 又k6， 将x1＝﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，3分别代入，得 k＝7，，，，，15，3 学科网（北京）股份有限公司 $