专题1.1 集合的概念与表示（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念与表示核心知识点，系统梳理元素与集合的定义及关系，元素确定性、互异性、无序性三大特性，常用数集符号，有限集、无限集、空集的分类，以及列举法、描述法两种表示方法，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料设计亮点显著，每个知识点配备“即学即练”即时巩固，10类题型覆盖集合判断、元素特性应用、表示法转换等，结合互异性检验、区分数集点集等难点，培养学生数学思维的推理意识与数学语言的符号表达能力。内含思维导图辅助构建知识体系，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化，有效查漏补缺。

专题1.1 集合的概念与表示 教学目标 1.理解集合、元素的定义，掌握元素与集合的属于关系； 2.熟记常用数集符号，区分有限集、无限集、空集； 3.熟练掌握集合两种表示法：列举法、描述法； 4.能判断一组对象能否构成集合，会根据条件写出集合、化简集合； 5.结合集合元素三大特性解题，解决含参集合求值、取值范围问题。 教学重难点 1.重点 (1).集合、元素的概念，元素与集合的关系符号； (2).集合元素三大特性：确定性、互异性、无序性； (3).常用数集识记。 2.难点 (1).描述法中代表元、取值范围、共同特征的准确书写； (2).利用互异性对含参集合进行检验取舍； (3).区分数集、点集； (4).空集的理解与简单应用。 知识点01 集合与元素的基本概念 元素：研究的 统称为元素，常用小写字母表示； 集合：把一些 的对象汇集在一起构成集合，常用大写字母表示； 元素与集合关系 属于：在集合A中，记作 不属于：不在集合A中，记作 判断能否构成集合标准：对象必须具备确定性，模糊描述（好看、高个子、接近 1 的数）不能组成集合。 【即学即练】 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 知识点02 集合元素三大特性 性：给定集合，任一对象能明确判断属于 / 不属于； 性：集合中任意两个元素互不相同（解题核心，含参必检验）； 性：集合内元素无先后顺序。 【即学即练】 设，集合，若，则______. 知识点03 常用数集符号 表格 数集名称 符号 含义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 所有整数、分数 实数集 有理数 + 无理数 【即学即练】 用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 知识点04 集合的分类（按元素个数） 有限集：元素个数 ； 无限集：元素 ； 空集：不含任何元素，记作 易错：{0}不是空集，含元素 0；无元素。 【即学即练】 下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点05 集合表示法一：列举法 定义：把集合所有元素 ， 括起，逗号分隔； 适用场景：元素少、规律清晰的有限集； 书写规范： 元素 、 ； 有规律无限集可省略号； 【即学即练】 用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 知识点06 集合表示法二：描述法 标准形式： x：代表 ； |：竖线，读作 ； 右侧：元素共同特征； 两类易混集合区分： 数集：集合元素是x的取值； 点集：集合元素是平面坐标点； 书写要点：范围简洁、特征清晰，避免重复表述。 【即学即练】 1.用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 2.用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 知识点07 空集基础性质 不含任何元素； 空集属于无限集； 【即学即练】 下列说法中正确的是（    ） A．与表示同一个集合 B． C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 题型 01 判断一组对象能否构成集合 【典例1】 下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【变式1】 下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A． 跑得快的运动员 B．所有的正三角形 B． C．接近0的实数 D．著名的科学家 【变式2】 下列各组对象能组成集合的是（    ） A．善良的人 B．所有的直角三角形 C．比较大的数 D．有趣的书 【变式3】 下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 题型 02 利用元素三大特性求值 / 求参数范围 【典例1】 已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】 已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【变式2】 若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式3】 已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型 03 判断元素与集合的从属关系 【典例1】 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式3】 下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型 04 列举法表示集合 【典例1】 已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】 集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【变式2】 下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【变式3】 用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【变式4】 用列举法表示集合. 题型 05 描述法表示集合（数集） 【典例1】 不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【变式2】 用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【变式3】 用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 题型 06 描述法区分数集与点集（易错题） 【典例1】 下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【变式1】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】 平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【变式3】 直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 题型 07 已知集合表示形式，求参数取值（含空集） 【典例1】 已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【变式1】 如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【变式2】 已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式3】 已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型 08 两集合相等求未知数 【典例1】 已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【变式1】 已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式2】 设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 ，若，则实数的取值集合为（      ） A． B． C． D． 题型 09 集合分类（有限集 / 无限集 / 空集）判断 【典例1】 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【变式1】 下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【变式2】 （多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 题型 10 空集的概念及判断 【典例1】 若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】 下列集合中，结果是空集的是(    ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 【变式2】 方程的实数解组成的集合是________．（用符号表示） 1．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 2．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 4．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 5．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 7．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 8．；( ) 9．已知集合，，则__________． 10．已知集合 (1)用列举法表示该集合； (2)验证该集合所有元素和为. 1．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 2．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 5．集合为空集，则实数的取值范围是___________ 6．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 7．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 8．用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念与表示 教学目标 1.理解集合、元素的定义，掌握元素与集合的属于关系； 2.熟记常用数集符号，区分有限集、无限集、空集； 3.熟练掌握集合两种表示法：列举法、描述法； 4.能判断一组对象能否构成集合，会根据条件写出集合、化简集合； 5.结合集合元素三大特性解题，解决含参集合求值、取值范围问题。 教学重难点 1.重点 (1).集合、元素的概念，元素与集合的关系符号； (2).集合元素三大特性：确定性、互异性、无序性； (3).常用数集识记。 2.难点 (1).描述法中代表元、取值范围、共同特征的准确书写； (2).利用互异性对含参集合进行检验取舍； (3).区分数集、点集； (4).空集的理解与简单应用。 知识点01 集合与元素的基本概念 元素：研究的所有对象统称为元素，常用小写字母表示； 集合：把一些确定的对象汇集在一起构成集合，常用大写字母表示； 元素与集合关系 属于：在集合A中，记作； 不属于：不在集合A中，记作； 判断能否构成集合标准：对象必须具备确定性，模糊描述（好看、高个子、接近 1 的数）不能组成集合。 【即学即练】 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 知识点02 集合元素三大特性 确定性：给定集合，任一对象能明确判断属于 / 不属于； 互异性：集合中任意两个元素互不相同（解题核心，含参必检验）； 无序性：集合内元素无先后顺序。 【即学即练】 设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 知识点03 常用数集符号 表格 数集名称 符号 含义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 所有整数、分数 实数集 有理数 + 无理数 【即学即练】 用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 知识点04 集合的分类（按元素个数） 有限集：元素个数有限； 无限集：元素无限多； 空集：不含任何元素，记作； 易错：{0}不是空集，含元素 0；无元素。 【即学即练】 下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 知识点05 集合表示法一：列举法 定义：把集合所有元素一一列举，大括号括起，逗号分隔； 适用场景：元素少、规律清晰的有限集； 书写规范： 元素互异、无序； 有规律无限集可省略号； 【即学即练】 用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 知识点06 集合表示法二：描述法 标准形式： x：代表元； |：竖线，读作 “满足”； 右侧：元素共同特征； 两类易混集合区分： 数集：集合元素是x的取值； 点集：集合元素是平面坐标点； 书写要点：范围简洁、特征清晰，避免重复表述。 【即学即练】 1.用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 2.用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 知识点07 空集基础性质 不含任何元素； 空集属于无限集； 【即学即练】 下列说法中正确的是（    ） A．与表示同一个集合 B． C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】对A：因为表示空集，不含任何元素，表示以0为元素的一个集合，故与不表示同一个集合，A错误； 对B：集合中含有两个元素，分别为0，，所以为集合的一个元素，故，所以B正确； 对C：方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 对D：集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个元素且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：B 题型 01 判断一组对象能否构成集合 【典例1】 下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 【变式1】 下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A． 跑得快的运动员 B．所有的正三角形 B． C．接近0的实数 D．著名的科学家 【答案】B 【分析】利用集合元素的特征判断. 【详解】A.不具有确定性；故错误； B.符合集合元素的特征，所以所有的正三角形能构成集合，故正确； C.不具有确定性，故错误； D.不具有确定性，故错误； 故选：B 【变式2】 下列各组对象能组成集合的是（    ） A．善良的人 B．所有的直角三角形 C．比较大的数 D．有趣的书 【答案】B 【分析】根据集合中元素的确定性进行判断. 【详解】因为善良，比较大，有趣都没有具体的衡量标准，所以ACD都不能组成集合. 直角三角形的标准明确，故B能组成集合. 故选：B 【变式3】 下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 题型 02 利用元素三大特性求值 / 求参数范围 【典例1】 已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【变式1】 已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得，再结合属于关系分析求解即可. 【详解】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述：或1. 故选：B. 【变式2】 若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【变式3】 已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据集合元素的互异性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据元素互异性且，即且， 根据选项知符合条件. 题型 03 判断元素与集合的从属关系 【典例1】 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 【变式1】 已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 为有理数集，集合表示区间 内的所有有理数. 是无限不循环小数，属于无理数，不满足有理数条件，因此 即 . 【变式2】 已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得集合的元素为，不在集合中，因此不可能为3. 【变式3】 下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 题型 04 列举法表示集合 【典例1】 已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题意得集合，故集合的元素个数为5. 【变式1】 集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【详解】，共5个元素． 【变式2】 下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 【变式3】 用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 【变式4】 用列举法表示集合. 【答案】 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有， 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是． 所以． 题型 05 描述法表示集合（数集） 【典例1】 不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 【变式1】 下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 【变式2】 用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 【变式3】 用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是 题型 06 描述法区分数集与点集（易错题） 【典例1】 下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【答案】BD 【详解】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误； D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合； A、C表述正确. 【变式1】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 【变式2】 平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【答案】C 【详解】选项A：表示去掉了直线和上所有点，错误； 选项B：错误保留了需要去掉的点，例如满足，会被包含在集合中，错误； 选项C：表示排除点，表示排除点， 同时满足即可精准剔除两点，正确； 选项D：，会去掉所有横坐标为1、横坐标为3、纵坐标为2、纵坐标为4的点，错误. 【变式3】 直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程可得交点坐标，然后由集合表示方法可得答案. 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 题型 07 已知集合表示形式，求参数取值（含空集） 【典例1】 已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【变式1】 如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 【变式2】 已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 【变式3】 已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 题型 08 两集合相等求未知数 【典例1】 已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 【变式1】 已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解. 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 【变式2】 设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令或分类讨论即可． 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 【变式3】 ，若，则实数的取值集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可. 【详解】由题意，或，∴或， 由集合元素互异性可知， 则实数的取值集合为. 故选：A. 题型 09 集合分类（有限集 / 无限集 / 空集）判断 【典例1】 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 【变式1】 下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3）解不等式组判断； （4）根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）由，得，不等式组无解， 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （4）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 【变式2】 （多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【答案】ABD 【分析】A选项，能被3整除的数有无数个，A正确；B选项，满足的实数有无数个，B正确；C选项，列举法表示出，为有限集；D选项，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集. 【详解】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选：ABD． 题型 10 空集的概念及判断 【典例1】 若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断. 【详解】由题意，得集合, ，，，空集是任何集合的子集. 故选： 【变式1】 下列集合中，结果是空集的是(    ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 【答案】D 【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断. 【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集； C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x|x>6且x<1}=. 故选：D 【变式2】 方程的实数解组成的集合是________．（用符号表示） 【答案】 【分析】只需要说明原方程无实数解，即可得到所求集合为空集. 【详解】由于对任意实数都有，故满足的实数构成的集合为空集. 故答案为：. 1．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 2．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 3．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【分析】先求得集合，由此求得. 【详解】解方程，因式分解得， 解得或故. 由得或. 4．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】已知，，， 因此，解得. 5．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 6．下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 7．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 8．；( ) 【答案】错误 【分析】根据元素与集合的关系，即可判断. 【详解】元素与集合的关系是属于和不属于，符号为和， 故元素属于集合，应写为，而不是，故错误. 9．已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 10．已知集合 (1)用列举法表示该集合； (2)验证该集合所有元素和为. 【答案】(1) (2)由集合知元素之和为：， 所以集合元素和为. 【分析】（1）解方程即可得出集合； （2）计算元素之和即可验证. 【详解】（1）因为，解得：， 所以. （2）略 1．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 2．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 3．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 4．（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 5．集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解. 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 6．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 7．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 8．用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，，元素无穷，. （2）大于2且小于15的质数有，. （3），为整数，得，. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $