5.5.1 第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式，课堂导入通过“若α=β，两角和公式是否成立”的问题，衔接之前的和角公式，构建从一般到特殊的知识支架，帮助学生理解公式推导脉络。 其亮点在于采用“基础知识-典型例题-知能演练”三层结构，结合给角求值、给值求值等题型，渗透数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（符号表达、公式变形）。通性通法总结和跟踪训练助力学生掌握解题方法，教师可提升教学效率，学生能深化公式应用能力。

第4课时　 二倍角的正弦、余弦、正切公式 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般 性的事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多.在三角恒 等变换中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？ 【问题】　在公式C（α＋β），S（α＋β）和T（α＋β）中，若α＝β，公 式还成立吗？ 目录 数学·必修第一册 知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1. 二倍角公式 函数 公式 β＝α 简记符号 正弦 sin 2α＝ ⁠ ⁠ S（α＋β） S2α 余弦 cos 2α＝ ⁠ ⁠ ＝ ⁠ ＝ ⁠ C（α＋β） C2α 正切 tan 2α＝ ⁠ T（α＋β） T2α 2 sin α cos α cos 2α－ sin 2α 2 cos 2α－1　 1－2 sin 2α　 　 目录 数学·必修第一册 提醒　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2 的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是 的2倍，也就是说， “倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的. 目录 数学·必修第一册 2. 二倍角公式的变形 （1）逆用：2 sin α cos α＝ sin 2α，2 cos 2α－1＝ cos 2α，1－ 2 sin 2α＝ cos 2α； （2）变形：① cos 2α＝ ， sin 2α＝ ；②1＋ cos 2α＝2 cos 2α，1－ cos 2α＝2 sin 2α. 目录 数学·必修第一册 1. 已知 cos x ＝ ，则 cos 2 x ＝（　　） 解析： 　 cos 2 x ＝2 cos 2 x －1＝2× －1＝ . 目录 数学·必修第一册 2. sin 15° cos 15°＝ ⁠. 解析： sin 15° cos 15°＝ ×2 sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ . 3. 若tan α＝－3，则tan 2α＝ ⁠. 解析：tan 2α＝ ＝ ＝ . 　 　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 给角求值 【例1】　求下列各式的值： （1） sin 2 － cos 2 ； 解： 原式＝－（ cos 2 － sin 2 ）＝－ cos ＝－ cos （π－ ）＝ cos ＝ . 目录 数学·必修第一册 （2） ； 解： 原式＝ ＝2× ＝2× ＝2. 目录 数学·必修第一册 （3） cos 20°· cos 40°· cos 80°. 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 解给角求值问题的方法 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的 基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用 二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公 式的形式. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1） ； 解： 原式＝ × ＝ ×tan 45°＝ . （2） cos 4 － sin 4 . 解： 原式＝（ cos 2 － sin 2 ）（ cos 2 ＋ sin 2 ） ＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ . 目录 数学·必修第一册 题型二 给值求值（角） 【例2】　已知α是第四象限角，且 sin α＝－ ，求 sin 2α， cos 2α和tan 2α的值. 解：因为α是第四象限角，且 sin α＝－ ，所以 cos α＝ ， 所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝－ ， cos 2α＝2 cos 2α－1＝ ，tan 2α＝ ＝－ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 应用二倍角公式求解角的三角函数值的方法 （1）注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系； （2）结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角 公式的形式. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知α为锐角，且满足 cos 2α＝ sin α，则α＝（　　） A. 75° B. 45° C. 60° D. 30° 解析： 　因为 cos 2α＝1－2 sin 2α，故由题意，知2 sin 2α＋ sin α－1＝0，即（ sin α＋1）（2 sin α－1）＝0.因为α为锐角，所 以 sin α＝ ，所以α＝30°.故选D. 目录 数学·必修第一册 2. 已知 ＝ ，则 sin 2 x ＝（　　） 解析： 　∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴ cos x ＋ sin x ＝ ，∴1＋ sin 2 x ＝ ，∴ sin 2 x ＝－ . 目录 数学·必修第一册 题型三 化简与证明 【例3】　（1）化简： － ； 解： 原式＝ ＝ ＝tan 2θ. 目录 数学·必修第一册 （2）求证： cos 2（ A ＋ B ）－ sin 2（ A － B ）＝ cos 2 A cos 2 B . 解： 证明：左边＝ － ＝ ＝ （ cos 2 A cos 2 B － sin 2 A sin 2 B ＋ cos 2 A cos 2 B ＋ sin 2 A sin 2 B ）＝ cos 2 A cos 2 B ＝右边， ∴原等式成立. 目录 数学·必修第一册 通性通法 三角函数式的化简与证明 （1）化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂 或升幂；③一个重要结论：（ sin θ± cos θ）2＝1± sin 2θ； （2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于 另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析 法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　（1）求证： · ＝tan 2α； 解： 证明：左边＝ · ＝tan 2α＝右边，∴原等 式成立. 目录 数学·必修第一册 （2）化简： . 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 目录 数学·必修第一册 1. 若 sin ＝ ，则 cos α＝（　　） 解析： 　因为 sin ＝ ，所以 cos α＝1－2 sin 2 ＝1－2× ＝ . 目录 数学·必修第一册 2. ＝（　　） 解析： 　∵1－ cos 210°＝ sin 210°， cos 80°＝ sin 10°， cos 20°＝1－2 sin 210°，∴ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册 3. 已知 cos 2（α＋ ）＝ ，则 sin 2α＝（　　） 解析： 　∵ cos 2（α＋ ）＝ ＝ ＝ ， ∴ sin 2α＝ . 目录 数学·必修第一册 4. 设 sin 2α＝－ sin α，α∈（ ，π），求tan 2α的值. 解：∵ sin 2α＝－ sin α， ∴2 sin α cos α＝－ sin α. 由α∈（ ，π）知 sin α≠0， ∴ cos α＝－ ，∴α＝ ， ∴tan 2α＝tan ＝ . 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知tan α＝－ ，则tan 2α＝（　　） 解析： 　tan 2α＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 设 sin α＝ ，2π＜α＜3π，则 sin ＋ cos ＝（　　） 解析： 　∵ sin α＝ ，∴ ＝1＋ sin α＝ .又2π ＜α＜3π，∴π＜ ＜ ，∴ sin ＋ cos ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. ＝（　　） C. －1 D. 1 解析： 　原式＝ ＝－ ＝－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 已知tan（ x ＋ ）＝2，则 ＝（　　） 解析： 　由tan（ x ＋ ）＝2，可得 ＝2，解得tan x ＝ ，所 以tan 2 x ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 化简： · ＝ ⁠. 解析：原式＝ · ＝tan 2α. tan 2α　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 已知α为锐角，且 sin ＋ cos ＝ ，求 sin α及tan 2α的值. 解：因为 sin ＋ cos ＝ ， 所以 sin 2 ＋2 sin cos ＋ cos 2 ＝（ ）2＝ ， 即1＋ sin α＝ ，所以 sin α＝ . 因为α为锐角，所以 cos α＝ ＝ ， 所以tan α＝ ＝ ，所以tan 2α＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 在锐角△ ABC 中，若 B ＝2 A ，则 的取值范围是（　　） 解析： 　在锐角△ ABC 中，由 B ＝2 A ，可得 C ＝π－3 A ，于是 解得 ＜ A ＜ ，所以 ＜ cos A ＜ ，则 ＝ ＝2 cos A ∈（ ， ）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 已知 cos （α＋β） cos （β＋ ）＋ sin （α＋β） sin （β＋ ）＝ ，则 sin （2α＋ ）＝ 　－ 　. 解析：因为 cos （α＋β） cos （β＋ ）＋ sin （α＋β）· sin （β＋ ）＝ ，所以 cos ［（α＋β）－（β＋ ）］＝ ，即 cos （α－ ）＝ ，所以 cos （2α－ ）＝2 cos 2（α－ ）－1 ＝－ ，即 cos （ －2α）＝－ ，所以 sin （2α＋ ）＝ sin ［ －（ －2α）］＝ cos （ －2α）＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. “2 sin x ＝ cos x ＋1”是“tan ＝ ”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　由tan ＝ ，得tan ＝ ＝ ＝ ＝ ， 即2 sin x ＝1＋ cos x 成立，即必要性成立，当 x ＝π时，满足2 sin x ＝ cos x ＋1，但tan 无意义，即充分性不成立，则“2 sin x ＝ cos x ＋1”是“tan ＝ ”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $