5.5.2　简单的三角恒等变换(第1课时)课件-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

简单的三角恒等变换(第1课时) 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式. 2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.(重点) 3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.(难点) 学习目标 学习目标 同学们，之前我们已经学习了三角函数中的一系列公式，如同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，这些内容都属于三角变换的范畴。本节课我们将在此基础上，综合运用和（差）角公式与倍角公式，开展更为深入的三角恒等变换。 导语 01 半角公式 02 和差化积 积化和差 03 化简与证明 04 随堂演练 CONTENTS 目录 半角公式 一 半角公式 答　三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 余弦的二倍角展开有几种形式？请写出. 问题1 半角公式 答　cos α=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2. 我们将二倍角的余弦公式中的“2α”换成“α”，你会得到什么式子？ 问题2 半角公式 问题3 半角公式 知识梳理 注意要点 (1)半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号. (2)涉及半角公式的正切值时，常用tan其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题. 题型一 求值 【分析】先求cos θ的值，再利用倍角公式变形转化为求半角的三角函数值. 典例分析 典例分析 探究1 半角公式不要求记忆，但要了解其推导过程，需要用时可以自行推导再应用，若没有给出角的范围，则根号前的正负符号要根据条件进行适当讨论. 探究总结 √ 变式训练 变式训练 √ 变式训练 －2 变式训练 和差化积 积化和差 二 知识梳理 1.积化和差 sin αcos β=___________________； cos αsin β=___________________； cos αcos β=___________________； sin αsin β=____________________. sin(α+β)+sin(α-β)] sin(α+β)-sin(α-β)] cos(α+β)+cos(α-β)] -cos(α+β)-cos(α-β)] 知识梳理 2.和差化积 sin θ+sin φ=_______________； sin θ-sin φ=_______________； cos θ+cos φ=______________； cos θ-cos φ=_______________. 2sin 2cos 2cos -2sin 典例分析 　例2 求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值. 【分析】　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =1-cos 40°)+1+cos 100°)+sin 70°+sin(-30°)] =cos 100°-cos 40°+sin 70°) =-2sin 70°sin 30°+sin 70°) =-sin 70°+sin 70°) =. 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α+β看作θ，α-β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想. 探究2 探究总结 思考题2 求下列各式的值： (1)cos 29°cos 31°-cos 2°； 【分析】 cos 29°cos 31°-cos 2° =cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2° =cos 60°+cos(-2°)-cos 2° =. 变式训练 25 (2)cos+cos-2sin. 【分析】 cos+cos-2sin =2cos ·cos =2cos = =0. 变式训练 26 化简与证明 三 典例分析 探究3 遇正弦、余弦的平方，往往要进行降幂， sin2α＝，cos2α＝称为降幂公式. 探究总结 变式训练 思考题4　化简：cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)cos(θ－180°). 变式训练 随堂演练 √ 随堂演练 √ 随堂演练 √ 随堂演练 2 随堂演练 随堂演练 随堂演练 本课结束 谢谢 你能利用其他方法用sin α，cos α表示tan eq \f(α,2)吗？反之用tan eq \f(α,2)能否表示sin α，cos α？ 答：tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cos \f(α,2))＝eq \f(sin \f(α,2)·2cos \f(α,2),cos \f(α,2)·2cos \f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cos α). tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cos \f(α,2))＝eq \f(sin \f(α,2)·2sin \f(α,2),cos \f(α,2)·2sin \f(α,2))＝eq \f(1－cos α,sin α). sin α＝2sin eq \f(α,2)cos eq \f(α,2)＝eq \f(2sin \f(α,2)cos \f(α,2),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq \f(2tan \f(α,2),1＋tan2\f(α,2)). cos α＝cos2eq \f(α,2)－sin2eq \f(α,2)＝eq \f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)). ±eq \r(\f(1－cos α,2)) ±eq \r(\f(1＋cos α,2)) ±eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α)) eq \f(1－cos α,sin α) eq \f(sin α,1＋cos α) 要点1　用cos α表示sin2eq \f(α,2)，cos2eq \f(α,2)，tan2eq \f(α,2)分别为___________，___________，____________. 要点2　半角公式 sin eq \f(α,2)＝_____________，cos eq \f(α,2)＝_____________， tan eq \f(α,2)＝______________＝_________＝__________. eq \f(1－cos α,2) eq \f(1＋cos α,2) eq \f(1－cos α,1＋cos α) 例1　(1)求sin eq \f(π,8)，cos eq \f(π,8)，tan eq \f(π,8)的值. 【解析】　sin eq \f(π,8)＝eq \r(\f(1－cos \f(π,4),2))＝eq \r(\f(1－\f(\r(2),2),2))＝eq \r(\f(2－\r(2),4))＝eq \f(\r(2－\r(2)),2)； cos eq \f(π,8)＝eq \r(\f(1＋cos \f(π,4),2))＝eq \r(\f(1＋\f(\r(2),2),2))＝eq \f(\r(2＋\r(2)),2)； tan eq \f(π,8)＝eq \f(1－cos \f(π,4),sin \f(π,4))＝eq \f(1－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝eq \r(2)－1. (2)已知sin θ＝eq \f(4,5)，且eq \f(5π,2)<θ<3π，求cos eq \f(θ,2)，tan eq \f(θ,2)的值. 【解析】　∵sin θ＝eq \f(4,5)，eq \f(5π,2)<θ<3π，∴cos θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(3,5).∵cos θ＝2cos2eq \f(θ,2)－1， ∴cos2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cos θ,2)，又∵eq \f(5π,4)<eq \f(θ,2)<eq \f(3π,2)， ∴cos eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1＋cos θ,2))＝－eq \r(\f(1－\f(3,5),2))＝－eq \f(\r(5),5)， tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin \f(θ,2),cos \f(θ,2))＝eq \f(sin θ,2cos2\f(θ,2))＝eq \f(sin θ,1＋cos θ)＝eq \f(\f(4,5),1－\f(3,5))＝2. 思考题1　(1)已知cos eq \f(α,2)＝eq \f(1,3)，540°<α<720°，则sin eq \f(α,4)等于(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　　　　　 B.eq \f(\r(6),3) C.－eq \f(\r(3),3) D.－eq \f(\r(6),3) 【解析】　∵540°<α<720°，∴135°<eq \f(α,4)<180°，∴sin eq \f(α,4)＝eq \r(\f(1－cos \f(α,2),2))＝eq \f(\r(3),3). (2)已知α是第三象限角，且sin α＝－eq \f(24,25)，则tan eq \f(α,2)＝(　　) A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.－eq \f(4,3) D.－eq \f(3,4) 【解析】　∵α为第三象限角，且sin α＝－eq \f(24,25)， ∴cos α＝－eq \f(7,25).∴tan eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,sin α)＝eq \f(1＋\f(7,25),－\f(24,25))＝－eq \f(4,3). (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan 5°－\f(1,tan 5°)))·eq \f(sin 20°,1＋cos 20°)＝________. 【解析】　原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－cos 10°,sin 10°)－\f(1＋cos 10°,sin 10°)))·tan 10°＝eq \f(－2cos 10°,sin 10°)·eq \f(sin 10°,cos 10°)＝－2. 例3　求证：eq \f(sin 2x,2cos x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tan x·tan \f(x,2)))＝tan x. 【证明】　左边＝eq \f(2sin xcos x,2cos x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin x,cos x)·\f(1－cos x,sin x))) ＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1－cos x,cos x)))＝eq \f(sin x,cos x)＝tan x＝右边. 思考题3　求证：eq \f(2（cos x－sin x）,1＋sin x＋cos x)＝eq \f(cos x,1＋sin x)－eq \f(sin x,1＋cos x). 【证明】　右边＝eq \f(cos2\f(x,2)－sin2\f(x,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(x,2)＋cos \f(x,2)))\s\up12(2))－eq \f(2sin \f(x,2)cos \f(x,2),2cos2\f(x,2)) ＝eq \f(cos \f(x,2)－sin \f(x,2),sin \f(x,2)＋cos \f(x,2))－eq \f(sin \f(x,2),cos \f(x,2))＝eq \f(cos2\f(x,2)－sin2\f(x,2)－2sin \f(x,2)cos \f(x,2),cos \f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(x,2)＋cos \f(x,2)))) ＝eq \f(2（cos x－sin x）,2sin \f(x,2)cos \f(x,2)＋2cos2\f(x,2))＝eq \f(2（cos x－sin x）,1＋sin x＋cos x)＝左边. 【解析】　原式＝eq \f(1＋cos（2θ＋30°）,2)＋eq \f(1－cos（2θ－30°）,2)＋eq \f(1,2)sin 2θ＝1＋eq \f(1,2)[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋eq \f(1,2)sin 2θ＝1＋eq \f(1,2)[cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°－(cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)]＋eq \f(1,2)sin 2θ＝1＋(－sin 2θsin 30°)＋eq \f(1,2)sin 2θ＝1. 1.已知cos α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于(　　) A.eq \f(\r(10),5)　　　　　　　　 B.－eq \f(\r(10),5) C.eq \f(2\r(6),5) D.eq \f(2\r(5),5) 解析　∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))， ∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,2))＝eq \f(\r(10),5). 2.已知cos θ＝－eq \f(1,5)，且θ∈(0，π)，则cos eq \f(θ,2)等于(　　) A.－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5) C.eq \f(2\r(5),5) D.－eq \f(2\r(5),5) 3.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cos α＝eq \f(4,5)，则tan eq \f(α,2)等于(　　) A.3 B.－3 C.eq \f(1,3) D.－eq \f(1,3) 4.已知sin eq \f(α,2)－cos eq \f(α,2)＝－eq \f(\r(5),5)，450°<α<540°，则tan eq \f(α,2)的值为________. 解析　由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,5)， 即1－sin α＝eq \f(1,5)，∴sin α＝eq \f(4,5). ∵450°<α<540°，∴cos α＝－eq \f(3,5)， ∴tan eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,sin α)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))),\f(4,5))＝2. 5.化简： (1)tan 70°cos 10°(eq \r(3)tan 20°－1)； 解析　(1)原式＝tan 70°cos 10°×eq \f(\r(3)sin 20°－cos 20°,cos 20°) ＝eq \f(sin 70°,cos 70°)×cos 10°×eq \f(－2sin 10°,cos 20°)＝eq \f(－sin 20°,cos 70°)＝－1. (2)sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°). 解析　(2)原式＝sin 50°×eq \f(cos 10°＋\r(3)sin 10°,cos 10°)＝sin 50°×eq \f(2cos 50°,cos 10°)＝eq \f(sin 100°,cos 10°)＝1. $