5.5　5.5.1　第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦两角和与差的正弦、余弦公式，通过回顾诱导公式、验证公式不成立等问题导入，从两角差的余弦公式逐步推导新知，构建前后知识的学习支架。 其亮点是以逻辑推理为核心，通过问题链引导公式推导，结合典例证明、一题多解等探究活动，培养学生数学思维与表达能力。学生能系统掌握公式应用，教师可提升教学效率与学生逻辑推理素养。

第2课时　 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 素养目标 思维导图 1.能从两角差的余弦公式导出两角和与 差的正弦、余弦公式,了解公式的内在 联系(逻辑推理). 2.能用上述公式进行简单的三角恒等变 换(逻辑推理). 课前自主学习 问题1.回顾三角函数的诱导公式: (1)sin(π+α)=sin π+sin α对任意α能否成立? (2)sin(+α)=sincos α+cossin α成立吗? 提示:(1)不成立.因为sin(π+α)=-sin α,sin π+sin α=sin α. (2)成立.因为sin(+α)=cos α,sincos α+cossin α=cos α,所以sin(+α)=sincos α +cossin α成立. 问题2.我们知道,若α=,β=―,则sin(α+β)=sin α+sin β,sin 30°=,sin45°=,sin75°= sin(45°+30°),等式sin(45°+30°)=sin45°+sin30°是否成立呢? 提示:显然sin75°=cos15°=,sin45°+sin30°==. 因为sin75°=cos15°=<, 所以sin(45°+30°)=sin45°+sin30°不成立. 问题3.我们知道, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, 所以cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 问题4.sin(α+β)=cos[-(α+β)] =cos[(-α)-β] =cos(-α)cos β+sin(-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β; sin(α-β)=sin[α+(-β)] =sin αcos(-β)+cos αsin(-β) =sin αcos β-cos αsin β. 【核心概念】 两角和(差)的余弦、正弦公式 cos(α+β)=__________________;  sin(α+β)=___________________;  sin(α-β)=__________________.  cos αcos β-sin αsin β sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 课堂合作探究 探究点一　利用两角和与差的正弦、余弦公式证明 【典例1】证明下列等式: (1)cos(α+)=sin α. (2)sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=sin α. (3)cos(x+2y)+2sin(x+y)sin y=cos x. 【思维导引】(1)利用两角和的余弦公式证明. (2)逆用两角和的正弦公式证明. (3)综合运用两角和、差的余弦公式证明. 【证明】(1)cos(α+)=cos αcos -sin αsin =0·cos α-(-1)sin α=sin α. (2)逆用两角和的正弦公式,得sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=sin[(α-β)+β]=sin α. (3)cos(x+2y)+2sin(x+y)siny=cos[(x+y)+y]+2sin(x+y)siny=cos(x+y)cos y-sin(x+y)sin y +2sin(x+y)sin y =cos(x+y)cos y+sin(x+y)sin y =cos[(x+y)-y]=cos x. 【类题通法】证明和角、差角三角恒等式的方法技巧 (1)看名称:根据和角、差角的正弦、余弦公式的名称,确定选用的公式类型: cos(α±β)=余余∓正正;sin(α±β)=正余±余正; (2)看两角:和角、差角的正弦、余弦公式中共有两个角α与β,注意整体角的代换. (3)看±:公式cos(α±β)=余余∓正正中,前后加减相反,sin(α±β)=正余±余正中,前后加 减相同. 【定向训练】 1.(多选题)下列说法中,正确的是(　　) A.存在α,β的值,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β B.不存在无穷多个α,β的值,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β C.对于任意的α,β,都有cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β D.不存在α,β的值,使cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β 【解析】选ACD.对于A,令α=β=0,则cos(α+β)=1,cos αcos β+sin αsin β=1, 此时cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,故A正确; 对于B,令α=β=2kπ(k∈Z),cos(α+β)=1, cos αcos β+sin αsin β=1,此时cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,故B错误; 对于C,由两角和的余弦公式可知,对于任意的α和β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, 故C正确; 对于D,不存在α,β的值,使cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β,若存在α和β,则与两角和的 余弦公式矛盾,故D正确. 2.三角函数内容丰富,公式很多.若仔细观察、大胆猜想、科学求证,你也能发现其 中的一些奥秘.请你完成以下问题: (1)计算:=　　　　;=　　　　; =　　　　.(直接写答案)  (2)根据(1)的计算结果,请你猜出一个一般性的结论.(用数学式子加以表达,并证 明你的结论,写出推理过程) 【解析】(1)= == == ==, 同理可得=,=. 答案:　　 (2)根据(1)的计算结果,猜出一个一般性的结论:=.证明如下: == =, = = ===,故一般性结论为=. 探究点二　利用两角和与差的正弦、余弦公式求值 【典例2】(1)(一题多解) 求sin 20°+sin 40°-sin 80°的值; (2)(2025·衡阳高一检测)①已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角, 求sin(α+β)的值. ②已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin 2α与cos 2α的值. 【思维导引】(1)本题考查三角函数的化简求值问题,注意运用两角和与差的三角函数公 式、诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值即可. (2)①利用平方关系求出cos α,sin β的值,再利用和角的正弦公式计算即得. ②利用平方关系及和角的正弦公式,结合2α=(α-β)+(α+β)计算即得. 【解析】(1)方法一:原式=sin(30°-10°)+sin(30°+10°)-sin 80°=2sin 30°cos 10°-sin 80° =cos 10°-cos 10°=0; 方法二:原式=sin 20°+sin 40°-sin(60°+20°)=sin 20°+sin 40°-cos 20°-sin 20°= sin 20°-cos 20°+sin 40°=sin(20°-60°)+sin 40°=-sin 40°+sin 40°=0. (2)①由sin α=,cos β=-,α为第一象限角,β为第二象限角, 得cos α==,sin β==, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×(-+=. ②由<β<α<,得0<α-β<,π<α+β<, 由cos(α-β)=,sin(α+β)=-, 得sin(α-β)==,cos(α+β)=-=-, 所以sin 2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×(-+×(- =-; 而π<2α<,所以cos 2α=-=-=-. 【类题通法】化简三角函数式的标准和要求 (1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少. (3)使三角函数式的次数尽可能低. (4)使分母中尽量不含三角函数式和根式. 【定向训练】 1.(2024·济南高一检测)的值是(　　) A.　 B.　 C.1　 D. 【解析】选A.原式= = ===. 2.(一题多解) cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为(　　) A.-　 B.-　 C.　 D. 【解析】选B.方法一:原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40° =-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°) =-cos 60°=-. 方法二:原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40°=sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40° =sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-. 探究点三　两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用 【典例3】(1)已知sin α+2cos α=0,求的值; (2)在①sin α+2cos α=0,②sin α+cos α=-这两个条件中任选一个,补充在下面的问 题中并解答. 已知α为第四象限的角,　　　　　.求sin (α-)的值.  【思维导引】(1)由题意得tan α=-2,所求式子弦化切代入计算即可; (2)选择①:由同角的三角函数关系式求得sin α,cos α,然后利用两角差的正弦公式计 算即可;选择②:利用(sin α-cos α)2=2-(sin α+cos α)2,结合角的范围求得sin α-cos α,然 后利用两角差的正弦公式计算即可. 【解析】(1)由sin α+2cos α=0,得tan α=-2, 所以==. (2)选择①:sin α+2cos α=0,即tan α=-2, 因为α为第四象限的角, 所以sin α<0,cos α>0, 又sin 2α+cos 2α=1, 所以sin α=-,cos α=, 所以sin α-cos α=-,所以sin (α-=(sin α-cos α)=-. 选择②:sin α+cos α=-,sin 2α+cos 2α=1, 所以(sin α-cos α)2=2-(sin α+cos α)2=, 因为α为第四象限的角, 所以sin α<0,cos α>0, 所以sin α-cos α=-, 所以sin (α-=(sin α-cos α)=-. 【类题通法】三角恒等变换求值的三种类型 (1)给角求值:解题关键是正确选用和差角的正弦、余弦公式,以便把非特殊角的三 角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:解题关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构 的差异. (3)给值求角:实质是转化为“给值求值”类型,先求角的某一三角函数值,再求角的范 围,确定角的大小. 【定向训练】 (一题多解) 若sin(+α)=,cos(-β)=,0<α<<β<,则sin(α+β)等于(　　) A. B.- C. D.- 【解题指南】方法一:由同角三角函数的基本关系可得cos(+α)和sin(-β),进而由诱导公式、差 角余弦公式可得: sin(α+β)=-cos[+(α+β)]=-cos[(+α-(-β]=-cos(+αcos(-β-sin(+αsin(-β,代值计算可得. 方法二:由三角函数诱导公式和同角三角函数的基本关系可得cos(α-)和sin(β-),进而由和角的 余弦公式计算即可. 【解析】选C.方法一:因为0<α<<β<,所以<+α<π,-<-β<0, 又sin(+α)=,cos(-β)=, 所以cos(+α)=-=-, sin(-β)=-=-,sin(α+β) =-cos[+(α+β)]=-cos[(+α-(-β] =-cos(+αcos(-β-sin(+αsin(-β=-(-××(-=. 方法二:因为0<α<<β<, 所以-<α-<0,0<β-<, 又sin(+α)=,cos(-β)=, 所以sin(α-)=-,cos(β-)=, 所以cos(α-)=,sin(β-)=,sin(α+β)=cos[(α+β)-]=cos[(α-)+(β-)] =cos(α-)cos(β-)-sin(α-)sin(β-) =-(-)×=. 课堂练习 1.sin 18°等于 (　　) A.cos 20°cos 2°+sin 20°sin 2° B.cos 20°cos 2°-sin 20°sin 2° C.sin 20°cos 2°+cos 20°sin 2° D.sin 20°cos 2°-cos 20°sin 2° 【解析】选D.选项A.原式=cos(20°-2°)=cos 18°; 选项B.原式=cos(20°+2°)=cos 22°; 选项C.原式=sin(20°+2°)=sin 22°; 选项D.原式=sin(20°-2°)=sin 18°. √ 2.coscos-sinsin=(　　) A. B. C. D.1 【解析】选B.cos cos-sinsin= cos()=cos=. √ 3.cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于　　　　.  【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°) =cos 90°=0. 答案:0 4.计算:sin15°cos15°=　　　　.  【解析】因为sin15°=sin(45°―30°)=sin45°cos30°―cos45°sin30°=― =,cos15°=cos(45°―30°)=cos45°cos30°+sin45°sin 30°==, 所以sin15°cos15°==. 答案: 5.已知cos(+α=(-<α<,则sin(α+=　　　　　.  【解析】因为cos(+α=-sin α=, 所以sin α=-, 所以-<α<0, 所以cos α=, 所以sin(α+=sin αcos +cos αsin =-=. 答案: 谢 谢 $