5.5 练习3　两角和与差的正切公式 同步练 2026-2027学年 高中数学人教A版 必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦两角和与差的正切公式，分层设计从基础公式应用到综合情境问题，梯度合理，巩固路径清晰，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式直接应用|如第1-2题直接计算正切值、已知和角正切求乘积，强化公式记忆| |进阶层|公式变形与综合运算|如第4题拆分2α为(α+β)+(α-β)，第8题结合三角形内角和，提升推理能力| |综合层|实际情境与综合应用|如第16题八角星几何情境求角和，体现数学眼光，培养应用意识|

5.5 练习3　两角和与差的正切公式 1. 等于(　 　) A. －1 B. 1 C. D. － 2. 已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　 　) A. 2 B. 1 C. D. 4 3. 已知cos＝2cos(π＋α)，且tan(α＋β)＝，则tan β等于(　 　) A. －7 B. 7 C. 1 D. －1 4. 若tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan 2α等于(　 　) A. B. C. D. 5. (2024·湖北部分重点高中高一联考)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是(　 　) A. B. 1 C. D. 2 6. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　 　) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 7. 已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)等于(　 　) A. B. C. 1 D. 8. (多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中，正确的有(　 　) A. tan(A＋B)＝－ B. tan A＝tan B C. cos B＝sin A D. tan Atan B＝ 9. (多选)已知tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值可以是(　 　) A. 1 B. 10 C. D. 10. 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值是　 　.  11. (2024·吉林一中高一期末)已知tan＝－2，则tan＝　 　.  12. 已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝ 　 .  13. 已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值. 14. 已知条件①角α的终边经过点P(1， 2)；②α∈，sin α＝；③α∈，sin α＋2cos α＝. 从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知　 　，且tan(α＋β)＝4，求tan β的值.  注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 15. 在平面直角坐标系xOy中，角α(0＜α＜π)的顶点为O，始边为x轴的非负半轴.已知P是角α终边上一点，则α等于(　 　) A. B. C. D. 16. 八角星纹是一种有八个均等的向外突出的锐角的几何纹样(如图1所示)，它具有组合性强、结构稳定等特点.有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条.八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中.在如图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角α，β，如图3所示，则α＋β等于(　 　) 图1　 图2 图3 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 练习3　两角和与差的正切公式 1. 等于(　B　) A. －1 B. 1 C. D. － 【解析】原式＝＝1. 2. 已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　C　) A. 2 B. 1 C. D. 4 【解析】∵tan(α＋β)＝＝4，∴1－tan αtan β＝，即tan αtan β＝. 3. 已知cos＝2cos(π＋α)，且tan(α＋β)＝，则tan β等于(　B　) A. －7 B. 7 C. 1 D. －1 【解析】∵cos＝2cos(π＋α)，∴sin α＝－2cos α，即tan α＝－2. 又tan(α＋β)＝，∴tan β＝7. 4. 若tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan 2α等于(　D　) A. B. C. D. 【解析】tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝. 5. (2024·湖北部分重点高中高一联考)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是(　D　) A. B. 1 C. D. 2 【解析】∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan，即＝－1， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋ tan αtan β＝1－(tan αtan β－1)＋tan αtan β＝2 . 6. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　A　) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 【解析】∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝ －tan(A＋B)＝－，∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形. 7. 已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)等于(　C　) A. B. C. 1 D. 【解析】∵tan β＝＝tan，又α，β均为锐角， ∴－－α＜，0＜β＜，可得β＝－α，即α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan ＝1. 8. (多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中，正确的有(　BCD　) A. tan(A＋B)＝－ B. tan A＝tan B C. cos B＝sin A D. tan Atan B＝ 【解析】∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan(A＋B)＝tan 60°＝.A错误； ∵tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，∴tan Atan B＝①，∴D正确； 又tan A＋tan B＝②，由①②联立解得tan A＝tan B＝，∴cos B＝sin A，B，C正确. 9. (多选)已知tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值可以是(　AC　) A. 1 B. 10 C. D. 【解析】∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg(10a)＋lg＝1－lg(10a)·lg，1＝1－lg(10a)·lg，∴lg(10a)·lg＝0， ∴lg(10a)＝0，或lg＝0，解得a＝，或a＝1. 10. 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值是　3　.  【解析】tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝3. 11. (2024·吉林一中高一期末)已知tan＝－2，则tan＝　3　.  【解析】令θ＝α－，则α＝θ＋，tan θ＝－2，则tan＝ tan＝tan＝＝3. 12. 已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝ 　.  【解析】∵tan(α＋β)＝，∴tan(α＋β＋γ)＝＝1，∵α，β，γ∈，∴α＋β∈(0，π)，又tan(α＋β)＝＞0， ∴α＋β∈，∴α＋β＋γ∈(0，π)，∴α＋β＋γ＝. 13. 已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值. 解：(1)∵tan＝2，∴＝2， ∴＝2，解得tan α＝. (2)∵tan α＝，tan β＝， ∴原式＝＝ tan(β－α)＝. 14. 已知条件①角α的终边经过点P(1， 2)；②α∈，sin α＝；③α∈，sin α＋2cos α＝. 从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知　　　　，且tan(α＋β)＝4，求tan β的值.  注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选择条件①. ∵角α的终边经过点P(1， 2)， ∴tan α＝2，则tan(α＋β)＝＝4，解得tan β＝. 选择条件②.∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝，∴tan α＝，故tan(α＋β)＝＝4，解得tan β＝. 选择条件③.∵α∈，sin α＋2cos α＝，由sin2α＋cos2α＝1，则可得 sin α＝，cos α＝，∴tan α＝＝3，则tan(α＋β)＝＝4，解得tan β＝. 15. 在平面直角坐标系xOy中，角α(0＜α＜π)的顶点为O，始边为x轴的非负半轴.已知P是角α终边上一点，则α等于(　C　) A. B. C. D. 【解析】tan α＝＝tan＝tan.∵0＜α＜π，∴α＝. 16. 八角星纹是一种有八个均等的向外突出的锐角的几何纹样(如图1所示)，它具有组合性强、结构稳定等特点.有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条.八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中.在如图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角α，β，如图3所示，则α＋β等于(　B　) 图1　 图2 图3 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【解析】如图所示，连接BC.在Rt△ABC中，BC＝2，AC＝6，则tan α＝.在Rt△DEF中，EF＝2，DE＝4，则tan β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，又α，β∈(0°，45°)，∴α＋β＝45°. 学科网（北京）股份有限公司 $