3.1 练习2　函数的概念(二) 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕函数概念核心，分层设计基础巩固、概念迁移、综合应用三阶训练，通过概念辨析、新定义问题及综合解答，构建从单一知识点到数学思维的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义域、值域、同一函数判断|单选形式强化概念辨析，如区间表示与集合对应| |概念迁移|复合函数定义域、新定义交汇函数|多选与填空结合，培养抽象能力与推理意识| |综合应用|含参值域求解、稳定点新定义问题|解答题深化数学语言表达，发展创新意识|

3.1 练习2　函数的概念(二) 1. 下列区间中，与集合{x|x＜－2，或x≥0}相对应的是(　 　) A. (－2，0) B. (－∞，－2]∪[0，＋∞) C. (－∞，－2)∪[0，＋∞) D. (－∞，－2]∪(0，＋∞) 2. 下列各组函数中，属于同一个函数的是(　 　) A. y＝x＋1与y＝ B. y＝x2＋1与s＝t2＋1 C. y＝2x与y＝2x(x≥0) D. y＝(x＋1)2与y＝x2 3. 已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　 　) A. (－∞，1] B. [1，＋∞) C. (0，＋∞) D. (0，1] 4. 已知函数f(x)的定义域为[－2，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－3)的定义域为(　 　) A. [1， 2) B. (1， 2) C. (2， 3) D. [2，3) 5. 若函数f(x)＝(x≠2)的值域为集合P，则下列元素中，不属于P的是(　 　) A. 2 B. －2 C. －1 D. －3 6. 若函数y＝f(x)的定义域是[－1， 3]，则函数g(x)＝的定义域为(　 　) A. [0， 2] B. [－3， 5] C. [－3，－2]∪(2， 5] D. (－2，2] 7. 已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(x)的定义域为(　 　) A. B. [－3，3] C. [－1，5] D. 以上都不对 8. (多选)下列函数中，值域为[0， 4]的是(　 　) A. f(x)＝x－1，x∈[1， 5] B. f(x)＝－x2＋4 C. f(x)＝ D. f(x)＝x＋－2(x＞0) 9. (多选)(2024·广东执信中学高一月考)若某函数的定义域与值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数中，属于“[0，1]交汇函数”的是(　 　) A. y＝ B. y＝2－x C. y＝ D. y＝－|x| 10. 若函数f(x)的定义域为[2a－1， a＋1]，值域为[a＋3， 4a]，则a的取值范围是　 　.  11. 函数y＝(1≤x≤3)的值域为 　 .  12. 若函数f(x)和g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f(x)和g(x)是“同象函数”.已知函数f(x)＝x2＋2，请写出一个与f(x)是“同象函数”的函数：g(x)＝  　.  13. 求下列函数的值域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝x－. 14. (2024·珠海一中高一检测)函数f(x)＝. (1)若f(x)的定义域为R，求k的取值范围； (2)当k＝－1时，求f(x)的值域. 15. 函数y＝(x＞1)的值域为　 　.  16. (2024·辽宁大连滨城高中联盟高一月考)函数f(x)的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的图象的稳定点. (1)求函数y＝3－2x的图象的稳定点； (2)若函数y＝的图象有两个关于原点对称的稳定点，求a的值及函数的图象的稳定点； (3)已知函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－4)(a≠0)，若对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 练习2　函数的概念(二) 1. 下列区间中，与集合{x|x＜－2，或x≥0}相对应的是(　C　) A. (－2，0) B. (－∞，－2]∪[0，＋∞) C. (－∞，－2)∪[0，＋∞) D. (－∞，－2]∪(0，＋∞) 【解析】x＜－2可以表示为x∈(－∞，－2)，x≥0可以表示为x∈[0，＋∞). 2. 下列各组函数中，属于同一个函数的是(　B　) A. y＝x＋1与y＝ B. y＝x2＋1与s＝t2＋1 C. y＝2x与y＝2x(x≥0) D. y＝(x＋1)2与y＝x2 【解析】A，C中两函数的定义域不同，D中两函数的对应关系不同. 3. 已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　D　) A. (－∞，1] B. [1，＋∞) C. (0，＋∞) D. (0，1] 【解析】∵x2＋1≥1，∴0＜≤1，∴f(x)的值域为(0，1]. 4. 已知函数f(x)的定义域为[－2，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－3)的定义域为(　A　) A. [1， 2) B. (1， 2) C. (2， 3) D. [2，3) 【解析】由题意知解得1≤x＜2. 5. 若函数f(x)＝(x≠2)的值域为集合P，则下列元素中，不属于P的是(　D　) A. 2 B. －2 C. －1 D. －3 【解析】f(x)＝＝－3－，∵≠0，∴f(x)≠－3， ∴f(x)的值域为{y|y≠－3}，即P＝{y|y≠－3}. 6. 若函数y＝f(x)的定义域是[－1， 3]，则函数g(x)＝的定义域为(　A　) A. [0， 2] B. [－3， 5] C. [－3，－2]∪(2， 5] D. (－2，2] 【解析】已知函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，要使函数g(x)有意义，则解得0≤x≤2. 7. 已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(x)的定义域为(　B　) A. B. [－3，3] C. [－1，5] D. 以上都不对 【解析】由题意知－1≤x≤2，∴－3≤－2x＋1≤3，∴y＝f(x)的定义域为[－3，3]. 8. (多选)下列函数中，值域为[0， 4]的是(　AC　) A. f(x)＝x－1，x∈[1， 5] B. f(x)＝－x2＋4 C. f(x)＝ D. f(x)＝x＋－2(x＞0) 【解析】当x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，∴函数f(x)＝x－1，x∈[1， 5]的值域是[0， 4]，A正确；∵－x2≤0，∴－x2＋4≤4，∴函数值域是(－∞， 4]，B错误；∵－x2≤0，∴16－x2≤16，又16－x2≥0，∴0≤≤4，即函数值域为[0， 4]，C正确；∵x＞0，∴x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，∴x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞)，D错误. 9. (多选)(2024·广东执信中学高一月考)若某函数的定义域与值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数中，属于“[0，1]交汇函数”的是(　AB　) A. y＝ B. y＝2－x C. y＝ D. y＝－|x| 【解析】由“[a，b]交汇函数”的定义可知“[0，1]交汇函数”的定义域与值域的交集为[0，1].对于A，y＝的定义域D＝{x|x≤1}，值域B＝{y|y≥0}，则A∩B＝[0，1]，A正确；对于B，y＝2－x的定义域D＝{x|x≥0}，令t＝≥0，则y＝2t－t2＝－(t－1)2＋1≤1，故函数y＝2－x的值域B＝{x|x≤1}，则A∩B＝[0，1]，B正确；对于C，y＝，∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，∴0＜≤1，故函数y＝的定义域D＝R，值域B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝(0，1]，C错误；对于D，y＝－|x|的定义域D＝{x|－1≤x≤1}，y2＝1－x2＋x2－2|x|＝1－2，∵－1≤x≤1，∴0≤x2(1－x2)≤，则0≤y2≤1，∴－1≤y≤1，故y＝－|x|的值域B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝[－1，1]，D错误. 10. 若函数f(x)的定义域为[2a－1， a＋1]，值域为[a＋3， 4a]，则a的取值范围是　(1， 2)　.  【解析】由区间的定义知⇒1＜a＜2. 11. 函数y＝(1≤x≤3)的值域为 　.  【解析】∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，∴≤≤1，∴≤≤8，∴函数y＝(1≤x≤3)的值域为. 12. 若函数f(x)和g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f(x)和g(x)是“同象函数”.已知函数f(x)＝x2＋2，请写出一个与f(x)是“同象函数”的函数：g(x)＝ ＋2(答案不唯一)　.  【解析】f (x)的定义域为R，∵x2＋2≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞).若g(x)＝ ＋2，则g(x)的定义域为[0，＋∞)，∵≥0，∴＋2≥2，∴g(x)的值域为[2，＋∞)，∴f(x)与g(x)的值域相同，定义域不同，∴f(x)和g(x)是“同象函数” 13. 求下列函数的值域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝x－. 解：(1)令t＝x2－4x＋6，得t＝(x－2)2＋2，故t∈[2，＋∞)，∴函数的值域为[，＋∞). (2)∵函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝5＋，∴函数的值域为{y|y≠5}. (3)要使有意义，只需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}.设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，设f(t)＝t2－1－t＝，又t≥0，∴f(t)≥－，∴原函数的值域为. 14. (2024·珠海一中高一检测)函数f(x)＝. (1)若f(x)的定义域为R，求k的取值范围； (2)当k＝－1时，求f(x)的值域. 解：(1)由题意得，2kx2＋kx＋＞0对x∈R恒成立，当k＝0时，满足题意；当k≠0时，则解得0＜k＜3.综上可知，k的取值范围是[0，3). (2)当k＝－1时，令y＝－2x2－x＋＝－2≤，故0＜≤，则f(x)的值域为[，＋∞). 15. 函数y＝(x＞1)的值域为　[0，＋∞)　.  【解析】∵当x＞1时，函数y＝＝(x－1)－2＋≥2－2＝0，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，∴y≥0，即函数的值域为[0， ＋∞). 16. (2024·辽宁大连滨城高中联盟高一月考)函数f(x)的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的图象的稳定点. (1)求函数y＝3－2x的图象的稳定点； (2)若函数y＝的图象有两个关于原点对称的稳定点，求a的值及函数的图象的稳定点； (3)已知函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－4)(a≠0)，若对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围. 解：(1)令3－2x＝x，得x＝1，故函数y＝3－2x的图象的稳定点为(1，1). (2)设点(x0，x0)是稳定点，则x0＝，即2＋(a－3)x0－18＝0，由题意知该方程有两个根，且这两个根互为相反数，故(a－3)2－4×2×(－18)＞0，－＝0，解得a＝3.由2－18＝0，得x0＝±3，则稳定点为(－3，－3)，(3，3). (3)对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，即关于x的方程ax2＋(b＋1)x＋(b－4)＝x恒有两个不相等的实数根，即关于x的方程ax2＋bx＋(b－4)＝0恒有两个不相等的实数根，则Δ1＝b2－4a(b－4)＞0恒成立，即关于b的方程b2－4ab＋16a＞0恒成立，∴Δ2＝16a2－4×16a＜0，解得0＜a＜4. 学科网（北京）股份有限公司 $