3.1 练习4　分段函数 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 本练习围绕分段函数，通过基础认知、综合应用到实际建模的三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|分段函数图象识别、求值运算|选择/填空题（如第1题图象判断、第2题嵌套求值），强化概念直观理解与抽象能力| |综合应用|分段函数与不等式、特殊函数性质|中档选择/多选题（如第6题不等式解集、第8题狄利克雷函数性质），培养推理能力与数学思维| |实际建模|分段函数解析式构建、实际问题|解答题（如第13题分段函数表示、第16题运动情境面积模型），发展数学建模与应用意识|

3.1练习4　分段函数 1. 函数f(x)＝|x－1|的图象是(　 　) A. B. C. D. 2. 已知函数f(x)＝则f(f(2))等于(　 　) A. －3 B. 0 C. －1 D. 2 3. 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　 　) A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 4. 函数y＝的值域为(　 　) A. R B. [0，＋∞) C. [0， 3] D. {y|0≤y≤2，或y＝3} 5. 已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于(　 　) A. － B. C. － D. 6. (2025·安徽亳州高一期中)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥(x－1)2的解集为(　 　) A. [0，3] B. [－1，3] C. [0，2] D. [－1，2] 7. 设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　 　) A. |x|＝x|sgn x| B. |x|＝xsgn|x| C. |x|＝|x|sgn x D. |x|＝xsgn x 8. (多选)已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论中，正确的是(　 　) A. D(x)的值域为[0，1] B. D(x)的定义域为R C. D(x＋1)＝D(x) D. D(x)的图象经过点 9. (多选)某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y与打车里程x的函数关系大致如图所示，则下列说法中，正确的是(　 　) A. 当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案更省钱 B. 当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可 C. 当打车距离为3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D. 甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元，大于3 km时每增加1千米，费用增加0.7元 10. 已知狄利克雷函数D(x)＝则D[D()]＝　 　.  11. (2025·临沂高一期中)函数f(x)＝[x]的函数值为不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，0)时，函数f(x)的解析式为　 12. 某市为鼓励居民节约用水，作出了如下规定：每户每月的用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某家庭某月缴水费16m元，则该家庭这个月的实际用水量为　 　立方米.  13. (2024·苏州大学附中高一月考) 已知函数f(x)＝2＋(－2＜x≤3). (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)请写出该函数的值域(不需要写解答过程). 　　 14. (2024·浙江温州十校联合体高一联考) 已知f(x)＝ (1)若f(a)＝，求a的值； (2)若f[f(k)]＝，求k的值. 15. (2025·邢台质检联盟高一月考)已知函数f(x)＝则当f(a)＞f时，a的取值范围是 　.  16. 如图所示，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N三点共线时其面积为零)，求点M第一次到达点A前，y＝f(t)的解析式，并画出y＝f(t)的图象. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1练习4　分段函数 1. 函数f(x)＝|x－1|的图象是(　B　) A. B. C. D. 【解析】由题得f(x)＝B正确. 2. 已知函数f(x)＝则f(f(2))等于(　A　) A. －3 B. 0 C. －1 D. 2 【解析】∵f(x)＝∴f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1， ∴f(f(2))＝f(－1)＝－1－2＝－3. 3. 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　A　) A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 【解析】∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去；当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3. 4. 函数y＝的值域为(　D　) A. R B. [0，＋∞) C. [0， 3] D. {y|0≤y≤2，或y＝3} 【解析】易得函数的值域为{y|0≤y≤2，或y＝3}. 5. 已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于(　B　) A. － B. C. － D. 【解析】由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝∴f －1＝－，∴f＝f＝－＋1＝. 6. (2025·安徽亳州高一期中)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥(x－1)2的解集为(　C　) A. [0，3] B. [－1，3] C. [0，2] D. [－1，2] 【解析】原不等式等价于或解得0≤x≤2. 7. 设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　D　) A. |x|＝x|sgn x| B. |x|＝xsgn|x| C. |x|＝|x|sgn x D. |x|＝xsgn x 【解析】方法一　取特殊值进行判断，不妨令x＝－5，可知A，B，C都错误，D正确. 方法二　对于A，右边＝x|sgn x|＝而左边＝|x|＝A错误.易判断B，C错误.对于D，右边＝xsgn x＝而左边＝|x|＝D正确. 8. (多选)已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论中，正确的是(　BC　) A. D(x)的值域为[0，1] B. D(x)的定义域为R C. D(x＋1)＝D(x) D. D(x)的图象经过点 【解析】对于A，F(x)的值域为{0，1}，A错误；对于B，F(x)的定义域为R，B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故F(x＋1)＝F(x)成立，C正确；对于D，∵F＝1，∴F(x)的图象经过点，D错误. 9. (多选)某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y与打车里程x的函数关系大致如图所示，则下列说法中，正确的是(　ABC　) A. 当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案更省钱 B. 当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可 C. 当打车距离为3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D. 甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元，大于3 km时每增加1千米，费用增加0.7元 【解析】对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案更省钱，A正确；对于B，当打车距离为10 km时，由题图可知，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，B正确；对于C，当打车距离为3 km以上时，甲每千米增加的费用为＝1(元)，乙每千米增加的费用为(元)，故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，C正确；对于D，由题图可知，甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元，大于3 km时每增加1千米，费用增加1元，D错误. 10. 已知狄利克雷函数D(x)＝则D[D()]＝　1　.  【解析】∵狄利克雷函数D(x)＝∴D[D()]＝D(0)＝1. 11. (2025·临沂高一期中)函数f(x)＝[x]的函数值为不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，0)时，函数f(x)的解析式为　f(x)＝　.  【解析】当x∈(－2.5，－2)时，f(x)＝－3；当x∈[－2，－1)时，f(x)＝－2；当x∈[－1，0)时，f(x)＝－1.综上，f(x)＝ 12. 某市为鼓励居民节约用水，作出了如下规定：每户每月的用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某家庭某月缴水费16m元，则该家庭这个月的实际用水量为　13　立方米.  【解析】每户每月应缴水费y与实际用水量x满足的函数关系式为y＝m＞0，由y＝16m，可得x＞10.因此2mx－10m＝16m，解得x＝13. 13. (2024·苏州大学附中高一月考) 已知函数f(x)＝2＋(－2＜x≤3). (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)请写出该函数的值域(不需要写解答过程). 　　 答案图 解：(1)当2≤x≤3时，f(x)＝2＋＝1；当－2＜x＜2时，f(x)＝2＋＝3－x，∴f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)f(x)的值域为[1，5). 14. (2024·浙江温州十校联合体高一联考) 已知f(x)＝ (1)若f(a)＝，求a的值； (2)若f[f(k)]＝，求k的值. 解：(1)当a＞0时，由f(a)＝a＋2＝， 得a＝；当a≤0时，由f(a)＝a2＝，解得a＝(舍)，或a＝－，∴a＝，或a＝－. (2)令f(k)＝t，则f(t)＝.当t＞0时，由f(t)＝t＋2＝，得t＝，∴f(k)＝.当k＞0时，由f(k)＝k＋2＝，得k＝－(舍)；当k≤0时，由f(k)＝k2＝，解得k＝－，或k＝(舍).当t≤0时，由f(t)＝t2＝，解得t＝(舍)，或t＝－.当k＞0时，由f(k)＝k＋2＝－，得k＝－(舍)；当k≤0时，f(k)＝k2＝－无实数解. 综上所述，k＝－. 15. (2025·邢台质检联盟高一月考)已知函数f(x)＝则当f(a)＞f时，a的取值范围是 ∪(1，＋∞)　.  【解析】当a＜0时，f(a)＝0，－＞0，f＞0，原不等式显然不成立；当a＝0时，f(0)＝0，原不等式不成立；当a＞0时，要使得f(a)＞f，有两种情况：第一种情况，当－≥0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，可得a＞－≥0，解得＜a≤；第二种情况，当－＜0时，则f(a)＝a2－a＝a(a－1)＞0，解得a＞1.综上，a的取值范围是∪(1，＋∞). 16. 如图所示，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N三点共线时其面积为零)，求点M第一次到达点A前，y＝f(t)的解析式，并画出y＝f(t)的图象. 解：根据题意，当0≤t≤1时，△AMN的面积为f(t)＝·2t·t＝t2； 当1＜t≤2时，△AMN的面积为f(t)＝×2×[t－(2t－2)]＝2－t； 当2＜t≤3时，△AMN的面积为f(t)＝×2×[(2t－4)－(t－2)]＝t－2； 当3＜t≤4时，△AMN的面积为f(t)＝×[2－(2t－6)]×[2－(t－2)]＝(4－t)2， ∴f(t)＝其图象如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $