暑假收心卷01（暑假测试）新高一数学人教A版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦高一必修一集合、函数与不等式，通过基础选择（如集合运算）、综合解答题（如函数奇偶性与单调性证明），衔接开学检测，强化数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/24|集合运算、充分条件、命题否定|基础巩固，覆盖核心概念| |多选题|3/18|命题真假判断、函数性质|综合辨析，考查逻辑思维| |填空题|3/15|不等式最值、函数单调区间|聚焦易错点，强化应用| |解答题|5/72|集合与充分条件、函数综合证明|分层设计，如19题用定义证单调性，体现数学推理与表达|

暑假收心卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：新教材，人教A版高一必修一第1~3章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，且，则实数的取值为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系，对是否为2进行分类讨论，可得结果. 【详解】若，可得或； 当时，满足题意； 当时，满足题意； 若时，可知，不满足元素的互异性，不合题意. 因此实数的取值为或3. 故选：D 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 【详解】， ， 集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 故选：A 3．已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值代入分析，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】取，此时，但，故充分性不成立； 取，此时，但，故必要性不成立， 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“，”的否定是“，”. 5．已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选：A. 6．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得. 因此. 7．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 8．“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故B正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：B. 二、多选题（本题共3题，每题6分，共18分） 9．下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【详解】对于A，， 因为，所以可知，即，故A正确； 对于B，充分性：若，则且，充分性成立， 必要性：若，当时，可得，即， 当时，可得，即， 综上解集为或，所以必要性不成立，故B错误； 对于C，令，则可变为， 等号当且仅当即，成立，所以原式最小值为5，故C正确； 对于D，当时，不等式为，恒成立， 当时，需满足，解得， 综上，，故D错误． 10．已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 【答案】BD 【分析】由已知可得，，联立即可求得函数的周期，对称性，逐项判断即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，所以， 对于A，因为为奇函数，所以，故A错误； 对于B，由，所以， 可知的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由，所以， 又，所以，即， 故函数的周期为4，故C错误； 对于D，由，令，则，所以， 所以，故D正确. 11．下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图象都经过点和 【答案】BCD 【详解】对于A，设，将点代入，则，，则，故A正确； 对于B，因为，所以不是幂函数，故B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减， 所以解得，故C错误； 对于D，幂函数的图象不经过也不经过，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12．若正实数满足，则的最小值是__________. 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 13．函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 14．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 四．解答题（本题共5小题，共72分） 15．（13分）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 16．（15分）已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由基本不等式得，化简即可证明； （2），展开再由基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17．（15分）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3，根据韦达定理求得实数a与b的值； （2）将实数a与b的值代入不等式，根据一元二次不等式的解法求得其解集. 【详解】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3， 根据韦达定理，得. 所以. （2）由（1）得，代入不等式， 得，即. 解得：，或. 所以不等式的解集为或. 18．（17分）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）解一元一次不等式可得结果； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，即可得到的值； （3）分和，结合二次函数的图象性质得到不等式，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 19．（17分）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）由已知得，先确定函数定义域，再根据奇偶性定义，由求参数. （2）令，应用作差法比较、的大小即可证. 【详解】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：新教材，人教A版高一必修一第1~3章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，且，则实数的取值为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 7．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3题，每题6分，共18分） 9．下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 10．已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 11．下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图象都经过点和 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12．若正实数满足，则的最小值是__________. 13．函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 14．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 四．解答题（本题共5小题，共72分） 15．（13分）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16．（15分）已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 17．（15分）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 18．（17分）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 19．（17分）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $