2025-2026年高一数学下学期人教A版必修第二册期末复习卷(01)

**基本信息** 覆盖人教A版必修二全册，通过复数、统计、立体几何等模块，以“吴越杯”足球赛统计、乒乓球比赛概率等真实情境设计，梯度分布合理，凸显空间观念、数据意识与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、向量、解三角形|如复数象限判断，基础巩固| |多选|3/18|概率、立体几何|如正方体线面平行，能力提升| |填空|3/15|斜二测画法、方差、外接球|如三棱锥外接球表面积，创新应用| |解答|5/77|统计、概率、立体几何|如“吴越杯”频率分布直方图分析数据，乒乓球比赛概率模型构建，四棱锥二面角计算，体现综合应用|

2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习(01) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若，则（ ） A． B． C． D． 4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则（   ） A．4 B．6 C． D． 5．如图，一个质点从原点出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动次，该质点共两次到达的位置的概率为（   ）    A． B． C． D． 6．一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知正方体中，，点为线段上靠近的三等分点，为底面正方形内的动点，平面，点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 10．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 11．正方体的棱长为，点，分别是线段，上的动点（不含端点），且平面，则（） A．存在某个位置，使得平面 B． C．线段的长度的最小值为 D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为_______    13．某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 14．三棱锥中，，，为正三角形，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，正方体中，． (1)若点为棱的中点，求证：平面平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由． 16．2026年浙江省城市足球联赛“吴越杯”于4月6日正式开赛，揭幕战在嘉兴市体育中心举行．作为浙江人自己的“世界杯”，赛事吸引了大量球迷．主办方在现场随机抽取了100位球迷，了解他们每周参加体育锻炼的时长，并根据获得的数据绘制了频率分布直方图．      (1)根据频率分布直方图，估计这100位球迷每周锻炼时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数； (2)若将（1）中估计所得的平均数作为这100位球迷每周锻炼时长的总体平均数．已知这100位球迷中男性球迷每周锻炼时长的平均数是6，方差是；女性球迷每周锻炼时长的平均数是5，方差是．求这100位球迷中男性球迷和女性球迷的人数，并计算这100位球迷锻炼时长的总体方差． 17．在中，角的对边分别为．已知． (1)求； (2)设边的垂直平分线交边于点D．若，，求的值． 18．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若比赛采用五局三胜制，求甲获胜的概率； (3)比较（1）（2）中甲获胜的概率大小，并说明：对实力占优的一方，比赛局数越多对其越有利． 19．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习(01) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由，得 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 2．一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该组数据的平均数为， 该组数据共8个数，则中位数为第4个和第5个数的平均数，是， 该组数据的众数， 所以. 3．已知，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 所以，解得； 于是得，，所以， 则. 4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 由余弦定理得，即，则得， 所以， 故. 5．如图，一个质点从原点出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动次，该质点共两次到达的位置的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记质点两次到达1的位置为事件，想要质点到达1的位置两次，则有，，共两种情况， 所以． 6．一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积. 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为.   正四棱台的侧面积为，一个侧面积. ，解得. 在正四棱台中，，即，. . . . 7．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正，余弦定理计算即可. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理可知 ， 所以. 又由正弦定理可知，即， 所以. 8．已知正方体中，，点为线段上靠近的三等分点，为底面正方形内的动点，平面，点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面平行得到线面平行，从而找到点的轨迹，再计算长度. 【详解】 过作交延长线于，连接交于， 因为，平面，平面， 所以平面， 连接，取使得， 则，所以，因为平面，平面， 所以平面，,所以平面平面， 为底面正方形内的动点，平面，所以在上， 过作交于，因为，所以， ，,，所以，， 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 10．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】AD 【分析】由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式、互斥事件和事件概率公式可判断AB，分别计算甲、乙、丙在第2枪时，连续命中两枪的概率，即可判断CD. 【详解】对于A：三枪全不中的概率， 故至少有一枪命中目标的概率为，A正确； 对于B：恰好有一枪命中目标的概率，B错误； 对于C、D： 设枪连续命中的概率为，枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为， 则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪， 若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪， 即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪， 连续命中两枪的概率为， 若丙在第2枪： 连续命中两枪的概率为， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 11．正方体的棱长为，点，分别是线段，上的动点（不含端点），且平面，则（） A．存在某个位置，使得平面 B． C．线段的长度的最小值为 D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【分析】A项通过中位线证明线面垂直；B项构造辅助垂线和平面，利用平行传递性及线段比例推出等量关系；C项引入变量表示线段长度，建立二次函数求最值，从而判断错误；D项通过动点过程中线面角的连续变化趋势确定其范围. 【详解】 对于A选项，当点分别是线段，的中点时， 平面，故A正确. 对于B选项，过点作直线的垂线， 过点作直线的垂线，连接. 因为，且平面，平面， 所以平面，进而平面平面， 所以，. 又，所以，，故B正确. 对于C选项，过点作的平行线，设， 则， 当时，的最小值为，故C错误. 对于D选项，在从点至点的过程中， 直线与平面所成角由连续增大至，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为_______    【答案】/ 【详解】因为，，所以，，，，. . 13．某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 【答案】 【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 由原平均数为10，得，因此； 由原方差为6，根据方差定义得，因此； 加入数据10后，新样本的平均数，与原平均数相等； 新样本的方差. 14．三棱锥中，，，为正三角形，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】利用球的性质找球心，利用直角三角形解出球半径，根据球表面积公式计算即可． 【详解】    取的中点，连接，取的重心， 因为，故外接圆的圆心在，过点作垂直于平面的直线； 又为正三角形，则外接球的球心在重心点，过点作垂直于平面的直线，与平面的垂线交于点，则为三棱锥的外接球的球心； 因为，为正三角形，为的中点， 故，，则二面角为，则； 因为平面，故，可得； 因为，，则， 则，故，， 故， 则在直角三角形中，， 解得，三棱锥的外接球的半径为， 故三棱锥的外接球的表面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，正方体中，． (1)若点为棱的中点，求证：平面平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由． 【答案】(1)如图，连接，，． 正方体， 四边形为正方形，平面，平面， 且，平面，， 平面. ，平面，. 设正方体的棱长为2，则，，， 由勾股定理得，，， ，. （方法一），平面，，平面， 平面平面平面. （方法二）由得二面角的大小为， 所以平面平面. (2)如图，连接，过点作交于， 则为平面与正方体上表面的交线． 正方体， 平面平面，且， ∴四边形为平行四边形，， 平面平面，平面平面， ， . 【分析】（1）连接，，，根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理及勾股定理得，（方法一）利用线面垂直判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（方法二）利用二面角平面角为证明面面垂直． （2）过点作交于，利用面面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 16．2026年浙江省城市足球联赛“吴越杯”于4月6日正式开赛，揭幕战在嘉兴市体育中心举行．作为浙江人自己的“世界杯”，赛事吸引了大量球迷．主办方在现场随机抽取了100位球迷，了解他们每周参加体育锻炼的时长，并根据获得的数据绘制了频率分布直方图．      (1)根据频率分布直方图，估计这100位球迷每周锻炼时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数； (2)若将（1）中估计所得的平均数作为这100位球迷每周锻炼时长的总体平均数．已知这100位球迷中男性球迷每周锻炼时长的平均数是6，方差是；女性球迷每周锻炼时长的平均数是5，方差是．求这100位球迷中男性球迷和女性球迷的人数，并计算这100位球迷锻炼时长的总体方差． 【答案】(1)平均数为5.7，中位数为6.25 (2)男性球迷有70人，女性球迷有30人，总方差为11.05 【分析】（1）根据频率分布直方图得到每组的频率从而算出平均数，找到中位数所在区间之后利用比例法求出中位数； （2）通过加权平均数求出男性球迷和女性球迷的人数，通过加权方差的方法算出100位球迷的总体方差. 【详解】（1）100位球迷每周锻炼时长的平均数为： ， 因为区间的累计频率为，区间的累计频率为， 所以中位数落在区间内， 因此中位数为. （2）设男性球迷有人，则女性球迷有人， 因为男性球迷每周锻炼时长平均数是6，女性球迷每周锻炼时长平均数是5，由第一问可知100位球迷每周锻炼时长的平均数为5.7， 所以，解得，即男性球迷有70人，女性球迷有30人， 因为男性球迷每周锻炼时长的方差为10.21，女性球迷每周锻炼时长的方差为12.31， 所以100位球迷锻炼时长的总体方差为. 17．在中，角的对边分别为．已知． (1)求； (2)设边的垂直平分线交边于点D．若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用正弦定理将已知边的关系式全部转化为角的正弦形式，展开并代入等式，消去两边相同项后提取公因式，结合三角形内角正弦不为，求出，再由角的范围确定的大小； （2）由垂直平分线性质得，得到；利用等腰外角关系得，在中列余弦定理；再对用正弦定理建立与的等式，结合二倍角公式联立求出，由为锐角开方得到． 【详解】（1）由，得， 即， 因为，所以， 所以， 化简得，而，所以， 又，所以； （2） 因为在的垂直平分线上，所以， 因为，所以，即， 在中，，所以，，， 在中，，，，， 因为， 所以，即①， 在中，由，得，即②， 将②代入①中，得， 即，解得， 所以， 因为，所以， 所以． 18．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若比赛采用五局三胜制，求甲获胜的概率； (3)比较（1）（2）中甲获胜的概率大小，并说明：对实力占优的一方，比赛局数越多对其越有利． 【答案】(1) (2) (3) 五局三胜制下甲获胜的概率更大； 说明：实力占优的一方单局获胜概率大于，比赛局数越多，单局胜负的偶然性影响越低，累计获胜概率越高，因此比赛局数越多对实力占优方越有利. 【分析】（1）（2）利用独立事件概率公式和互斥加法概率公式，分类讨论甲获胜的不同比分情况计算对应概率； （3）比较概率大小验证结论即可. 【详解】（1）三局两胜制下，甲获胜为两类互斥事件的和： ① 前2局甲全胜，直接结束比赛； ② 前2局甲1胜1负，第3局甲获胜. 由各局比赛相互独立，得. （2）五局三胜制下，甲获胜为三类互斥事件的和： ① 前3局甲全胜；② 前3局甲2胜1负，第4局甲获胜； ③ 前4局甲2胜2负，第5局甲获胜. 由各局比赛相互独立，得 . （3）对两个概率进行比较得，即五局三胜制下甲获胜概率更高. 说明略. 19．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $