6.7角的和差（讲义，4个知识点4大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“角的和差”核心知识点，从角的和差概念（射线在内外的关系）切入，衔接角平分线定义及数量关系，拓展到角的等分射线，最终落脚于综合计算，构建从基础概念到复杂应用的学习支架。 特色在于以图形直观（数学眼光）引导角的和差关系分析，通过规范推理书写（数学思维）强化逻辑表达，结合三角板叠放、钟面角度等实际问题（数学语言）提升应用能力。随学随练即时巩固，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺。

第六章 图形的初步认识 6.7 角的和差 课标要点 1.结合图形理解角的和、差几何含义，能用几何符号准确书写角的和差关系式，实现图形与符号语言互转。 2.掌握尺规作两角的和、两角的差，规范作图步骤、保留作图痕迹并标准文字描述作图过程。 3.巩固角平分线定义，结合角的和差进行倍分角度计算，规范几何推理书写格式。 4.能处理射线在角内部、角外部两类图形，准确判断角度相加或相减关系，避免列式错误。 5.结合直角、平角、周角，解决多射线分割、双角平分线综合角度计算题，培养几何识图推理能力。 学习重难点 重点： 1.识别图形中角的和差关系，正确列出角度等式。 2.尺规作角的和、差；角平分线结合和差的基础角度计算。 难点： 1.射线在角外部时，区分角的差的表达式，理清大小关系。 2.多个角平分线、多条射线叠加的综合角度推导计算。 3.根据文字几何描述画出对应角的和差图形，完整书写推理步骤。 知识点 角的和、差的概念（重点） 从一个角的顶点出发，在角内部画一条射线，可将原角分成两个小角。 1.角的和：射线OC在∠AOB内部，则∠AOB=∠AOC+∠COB，∠AOB是∠AOC与∠COB的和； 2.角的差：变形得∠AOC=∠AOB−∠COB，∠COB=∠AOB−∠AOC，小角是大角与另一个小角的差。 易错提醒 射线必须在大角内部才能直接写和差关系，射线在外部时角度关系式会改变。 教材延伸 基础填空计算题，直接借助图形角度和差列式求值。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板重叠放置，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）一副三角板按如图方式摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点 角平分线（核心考点） 1.定义：从角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 2.数量关系：若射线OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 易错提醒 仅∠AOC=∠BOC不能判定OC是角平分线，必须满足射线OC在∠AOB内部。 教材延伸 解答题高频题型，常结合多个角、多条角平分线进行角度综合计算。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，平分，则__________． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在内部，已知，，平分，平分，则________． 知识点 角的等分射线拓展 类比角平分线，将角平均分成三份、四份的射线为三等分线、四等分线，可写出对应倍数角度关系式。 特别提醒 易错提醒 教材延伸 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为__________． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 知识点 角度综合计算 结合图形中点、射线位置，利用角的和差、角平分线等量关系，分步求解未知角度。 教材延伸 本章几何计算必考大题，常结合多个角叠加、双平分线模型出题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在同一平面内，已知，，射线在的内部． (1)若平分，求的度数． (2)若，求的度数． 题型 角平分线有关计算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，平分，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 解题贴士 解题顺序：从已知最小角向外逐层算出相邻角，最后用平分线倍数关系求总角。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 ▌对点练1-2 （25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 题型 三角板中角度计算问题 ▌例2 （2026·浙江丽水·二模）如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 解题贴士 同侧重叠求夹角用大角−小角，两侧拼接求总和直接相加。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图方式摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·内蒙古通辽·期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型 几何图形中角度计算问题 ▌例3 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 三个正方形顶点重合时，满足：∠1+∠2+∠3=90°，直接用90°减去两角和得到第三个角。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点O在直线上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点O是直线上一点，射线在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 题型 实际问题中角度计算问题 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 直尺的边为直线，共顶点三个角相加为180°；常规三角板锐角为30°、60°，直接代入平角等式求解。 ▌对点练4-1 （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，射线的方向是北偏东，平分，则射线的方向是_____． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是______度，15分钟后时针与分针的夹角是_____度． 基础通关 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）一幅三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的顶点O在直线上，射线在内，且，那么下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（　　） A．经过一个点只能画一条直线 B．两条射线组成的图形叫角 C．两点间的距离是连接两点的线段的长度 D．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 4．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在灯塔处测得轮船位于北偏西的方向上，轮船位于南偏东的方向上，轮船在的平分线上，则在灯塔处观测轮船的方向为（   ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏东 6．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块三角板的直角与的顶点O重合在一起，两块三角板有部分重叠，当，的度数为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形有一个顶点重合，且重合顶点在直线上，则的度数为_______． 9．（25-26七年级上·浙江温州·期末）水车是一种古老的提水灌溉工具，主要由圆形主体和支架组成．如图，圆形主体可绕着轴心旋转，且被辐条（如、等）等分成8份，支架固定不动，．在水车旋转过程中，被支架挡住，若测得，则的度数为___________． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则_____________． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平分，平分．若，，则_____度 12．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）已知，以O为端点作射线OC，使，则的度数为___________． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，一副三角板（）按图中的位置摆放时，恰有，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时． 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点O在直线上，射线平分，． (1)求的度数； (2)是内的一条射线，且，求的度数． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义：一条射线把一个大于的角分成两个小角，这两个小角相差，则称这条射线为这个角的一条好线． 如图1，射线为的一条好线，当时， (1)若，则______°． (2)在的内部作射线，使射线也是的一条好线， ①说明； ②如图2，画射线，使射线是的好线且，射线是的好线，求的值． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在小组讨论中，针对题目：已知点均在直线上，，是的中点，是的中点，求的长． 如图1，∵是的中点，是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 乐乐说：“欣欣的解答不完整．” (1)你同意乐乐的说法吗？如果同意，请将欣欣的解答过程补充完整：如果不同意，请说明理由． (2)我们发现角的很多规律和线段类似，已知，射线平分，射线平分，求的度数． 迁移创新 19．（25-26七年级下·浙江温州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角__________． 20．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图1，一副三角板摆放在水平桌面上，．三角板绕点顺时针转动，每秒转动．设三角板转动的时间为秒， (1)如图2，若三角板静止不动，当恰好被平分时，求的值． (2)如图3，若三角板在三角板转动的同时，绕点逆时针转动，每秒转动，直至与桌面重合，两块三角板同时停止转动． ①当秒时，试说明：恰好平分． ②请直接写出与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 图形的初步认识 6.7 角的和差 课标要点 1.结合图形理解角的和、差几何含义，能用几何符号准确书写角的和差关系式，实现图形与符号语言互转。 2.掌握尺规作两角的和、两角的差，规范作图步骤、保留作图痕迹并标准文字描述作图过程。 3.巩固角平分线定义，结合角的和差进行倍分角度计算，规范几何推理书写格式。 4.能处理射线在角内部、角外部两类图形，准确判断角度相加或相减关系，避免列式错误。 5.结合直角、平角、周角，解决多射线分割、双角平分线综合角度计算题，培养几何识图推理能力。 学习重难点 重点： 1.识别图形中角的和差关系，正确列出角度等式。 2.尺规作角的和、差；角平分线结合和差的基础角度计算。 难点： 1.射线在角外部时，区分角的差的表达式，理清大小关系。 2.多个角平分线、多条射线叠加的综合角度推导计算。 3.根据文字几何描述画出对应角的和差图形，完整书写推理步骤。 知识点 角的和、差的概念（重点） 从一个角的顶点出发，在角内部画一条射线，可将原角分成两个小角。 1.角的和：射线OC在∠AOB内部，则∠AOB=∠AOC+∠COB，∠AOB是∠AOC与∠COB的和； 2.角的差：变形得∠AOC=∠AOB−∠COB，∠COB=∠AOB−∠AOC，小角是大角与另一个小角的差。 易错提醒 射线必须在大角内部才能直接写和差关系，射线在外部时角度关系式会改变。 教材延伸 基础填空计算题，直接借助图形角度和差列式求值。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板重叠放置，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，结合三角板的特点，角的和差计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， 故选：B ． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）一副三角板按如图方式摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的和差计算以及度分秒的换算，熟练掌握三角板的角度特征和度分秒的运算法则是解题的关键． 利用三角板的角度特征，结合平角或直角的性质，通过角度的和差关系计算出∠2的度数． 【详解】解：∵三角板的直角为，且， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 知识点 角平分线（核心考点） 1.定义：从角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 2.数量关系：若射线OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 易错提醒 仅∠AOC=∠BOC不能判定OC是角平分线，必须满足射线OC在∠AOB内部。 教材延伸 解答题高频题型，常结合多个角、多条角平分线进行角度综合计算。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，平分，则__________． 【答案】/65度 【分析】本题考查了角的和差、角平分线的定义，关键是观察图形找到角与角之间的关系；先求出的度数，再利用角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ 故答案为： ． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在内部，已知，，平分，平分，则________． 【答案】 【分析】根据角平分线定义得，，即得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵ 平分，， ∴， ∴． 知识点 角的等分射线拓展 类比角平分线，将角平均分成三份、四份的射线为三等分线、四等分线，可写出对应倍数角度关系式。 特别提醒 易错提醒 教材延伸 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算，熟练掌握角平分线的定义的应用，根据题意列出方程是正确解答此题的关键． （1）根据已知角的倍数关系求出，再根据角平分线的定义求出； （2）设为度，则为度，再根据角平分线的定义，表示，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：，且， 则．   是的角平分线， ， ． （2）解：， 设为度，则为度， 是的角平分线， ，     ， 解得，     ． 的度数是． 知识点 角度综合计算 结合图形中点、射线位置，利用角的和差、角平分线等量关系，分步求解未知角度。 教材延伸 本章几何计算必考大题，常结合多个角叠加、双平分线模型出题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的和差计算，先求出，再根据，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在同一平面内，已知，，射线在的内部． (1)若平分，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)． 【分析】本题主要考查的是角的和差关系以及角平分线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据角平分线的定义求出，然后即可求解； （2）设，则，，根据，列式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴； （2）解：设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型 角平分线有关计算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，平分，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义．熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 由已知求出，则，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴ ∵平分， ∴． 故选：D． 解题贴士 解题顺序：从已知最小角向外逐层算出相邻角，最后用平分线倍数关系求总角。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ； ∴度数是或． 故选：B． ▌对点练1-2 （25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了和差计算，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由角平分线的定义得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵射线，分别平分， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 题型 三角板中角度计算问题 ▌例2 （2026·浙江丽水·二模）如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征判断和的度数，利用角的和差关系求解． 【详解】解：由图可知，， ∴． 解题贴士 同侧重叠求夹角用大角−小角，两侧拼接求总和直接相加。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图方式摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中的角度的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握各角度之间的数量关系． 可得，则，再代入，然后解方程即可． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：A． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·内蒙古通辽·期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据三角板中角度的特点可得，再由角的和差关系得到的度数，进而可得的度数． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型 几何图形中角度计算问题 ▌例3 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 解题贴士 三个正方形顶点重合时，满足：∠1+∠2+∠3=90°，直接用90°减去两角和得到第三个角。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点O在直线上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了补角的定义及角度的转化及加减运算．先将化为度分秒形式，再由已知条件计算的角度即可． 【详解】解：将化为度分秒形式为：， ∵， ∴， 故选：A． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点O是直线上一点，射线在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键． （1）利用角平分线的定义求出的度数，再利用垂直的定义求出的度数；然后根据，代入计算求出的度数． （2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出，的度数，利用角平分线的定义求出的度数；然后根据，代入计算求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴． 题型 实际问题中角度计算问题 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算等知识．由题意得，根据，即可求出． 【详解】解：如图， 由题意得， 因为， 所以． 故选：B 解题贴士 直尺的边为直线，共顶点三个角相加为180°；常规三角板锐角为30°、60°，直接代入平角等式求解。 ▌对点练4-1 （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，射线的方向是北偏东，平分，则射线的方向是_____． 【答案】东偏南 【分析】本题主要考查了方向角，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 则射线的方向是东偏南． 故答案为：东偏南． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是______度，15分钟后时针与分针的夹角是_____度． 【答案】 45° 127.5° 【分析】根据时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°进行计算即可． 【详解】解：根据题意：钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 ； 15分钟后时针与分针的夹角是 ． 故答案为：45°，127.5° 【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键． 基础通关 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）一幅三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的和差，根据求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴． 故选B． 2．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的顶点O在直线上，射线在内，且，那么下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据角之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：，的顶点O在直线上， ∴，故D选项正确； ∴，故A选项正确； ，故B选项正确； 无法得到，故C选项错误； 故选C． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（　　） A．经过一个点只能画一条直线 B．两条射线组成的图形叫角 C．两点间的距离是连接两点的线段的长度 D．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 【答案】C 【分析】本题考查了角的定义，两点间距离，角平分线的定义，根据角的定义，两点间距离，角平分线的定义，逐一判断各选项，即可得到结果，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、经过一个点能画无数条直线，故原说法错误，不符合题意； B、由公共端点的两条射线组成的图形叫角，故原说法错误，不符合题意； C、两点间的距离是连结两点的线段的长度，故原说法正确，符合题意； D、从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，故原说法错误，不符合题意， 故选：C． 4．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在灯塔处测得轮船位于北偏西的方向上，轮船位于南偏东的方向上，轮船在的平分线上，则在灯塔处观测轮船的方向为（   ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题考查方向角，角平分线，理解方向角以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据角的和差关系得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据角的和差关系以及方向角的定义求解即可． 【详解】解：如图，由方向角的定义可知，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即点A在点O的北偏东， 故选:C 6．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，注意分类讨论，是解题的关键．分四种情况：当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，分别求出三角尺②的另一条直角边与边的夹角，然后进行判断即可． 【详解】解：当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 综上可知：三角尺②的另一条直角边与边的夹角可能是或或或， ∴四个选项中三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是， 故选：B． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块三角板的直角与的顶点O重合在一起，两块三角板有部分重叠，当，的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，由角的和差得， 可求，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， ， ； 故选：B． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形有一个顶点重合，且重合顶点在直线上，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了角的有关计算，根据题意正确列式计算是解题的关键． 根据题意得出，计算即可． 【详解】解：由题得， ， 故答案为： ． 9．（25-26七年级上·浙江温州·期末）水车是一种古老的提水灌溉工具，主要由圆形主体和支架组成．如图，圆形主体可绕着轴心旋转，且被辐条（如、等）等分成8份，支架固定不动，．在水车旋转过程中，被支架挡住，若测得，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的和差计算，根据已知可得，进而求得，然后根据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则_____________． 【答案】或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算；分两种情况画图，当在的右边时，当在的左边时，再进一步结合角平分线与角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图，当在的右边时， ∵，平分， ∴， ∴， 如图，当在的左边时， ∴， 综上：为或； 故答案为：或 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平分，平分．若，，则_____度 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角的和差关系可得，由角平分线的定义可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）已知，以O为端点作射线OC，使，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差，分两种情况：射线在内部时和射线在外部时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当射线在内部时， ， 当射线在外部时， ， 故答案为：或． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是注意数形结合． （1）根据角的倍数关系及和差关系直接解决即可； （2）根据角的和差关系先求出及，进而求出结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 所以． （2）解：因为，． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，一副三角板（）按图中的位置摆放时，恰有，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差关系和一元一次方程的应用．根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 根据图中三角板的角度得到，再根据，得到，继而得到． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时． 【答案】 150° 10或26或46 【分析】由题意得，当时求出，再根据得出答案； 然后分三种情况：当在左侧时，根据求出解； 当在右侧时，根据解答； 当和在两侧时，根据求出解即可． 【详解】解：由题意，得， 当时，， ∴； 当在左侧时，此时， 即， 解得； 当在右侧时，此时， 即， 解得； 当和在两侧时，此时， 即， 解得， 在转动过程中，当或26,或46时，． 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点O在直线上，射线平分，． (1)求的度数； (2)是内的一条射线，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，几何图形中角的计算， （1）根据角平分线的定义可得，进而根据邻补角的定义，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据角度的和差可得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵射线平分，． ∴ ∴ （2）解：∵射线平分，． ∴， ∴ ∵， ∴ 解得： 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义：一条射线把一个大于的角分成两个小角，这两个小角相差，则称这条射线为这个角的一条好线． 如图1，射线为的一条好线，当时， (1)若，则______°． (2)在的内部作射线，使射线也是的一条好线， ①说明； ②如图2，画射线，使射线是的好线且，射线是的好线，求的值． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】本题考查几何图形中角的运算，一元一次方程的应用，理解角的好线的意义是正确解答的前提． （1）角的好线的意义解答即可； （2）①根据题意得，，由，得，，两式相减 可得结论； ②设，，可得，，根据列方程求出，再求出和即可得出结论． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：35； （2）解：①∵射线是的一条好线，且在的内部， ∴, ∴； ∵射线为的一条好线，且， ∴， 又，， ∴， ∴， 两式相加得 代入得：； ②设，， 因为OA是的好线，， 所以， 可得，， 所以， 因为是的好线， 所以， ， 解得， 所以，， ， 所以，． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在小组讨论中，针对题目：已知点均在直线上，，是的中点，是的中点，求的长． 如图1，∵是的中点，是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 乐乐说：“欣欣的解答不完整．” (1)你同意乐乐的说法吗？如果同意，请将欣欣的解答过程补充完整：如果不同意，请说明理由． (2)我们发现角的很多规律和线段类似，已知，射线平分，射线平分，求的度数． 【答案】(1) 解：同意乐乐的说法， 欣欣的解答过程补充如下： 如图，当点在点左侧时： ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的长是4或8． (2)或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）求出点在点左侧时，的长即可； （2）分射线在的外部和射线在的内部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当射线在的外部时， ∵，平分，射线平分， ∴， ∴； 当射线在的内部时， ∵，平分，射线平分， ∴， ∴． 迁移创新 19．（25-26七年级下·浙江温州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角__________． 【答案】/度 【分析】利用角的和差进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图1，一副三角板摆放在水平桌面上，．三角板绕点顺时针转动，每秒转动．设三角板转动的时间为秒， (1)如图2，若三角板静止不动，当恰好被平分时，求的值． (2)如图3，若三角板在三角板转动的同时，绕点逆时针转动，每秒转动，直至与桌面重合，两块三角板同时停止转动． ①当秒时，试说明：恰好平分． ②请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①见解析；②或． 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线定义． （1）根据角平分线定义得出，根据题意列出方程，解方程即可； （2）①先求出当时，，，再分别求出，，得出，即可得出答案； ②分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵当恰好被平分时，， ∴， 解得：； （2）解：①当时，， ， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②当在左侧时，如图所示： 根据旋转可得：，，， ∴， ∴； 当在右侧时，如图所示： 根据旋转可得：，，， ∴， ∴； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $