第19讲 角（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义系统梳理角的核心知识，从静态与动态定义切入，涵盖角的表示、度量换算、比较与分类，延伸至和差运算、平分线及n等分线，再到余角补角性质与方向角应用，构建从基础概念到实际应用的完整学习支架。 资料通过表格对比、图示解析强化几何直观，18类分层题型覆盖概念辨析（如角的表示方法）、实际应用（如钟面角计算）等，培养抽象能力与推理意识。课中助力教师分层教学，课后通过选择、填空、解答题组合训练，帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

第19讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角及角的表示 2.平角和周角 3.角的单位换算 4.用量角器作一个角等于已知角 5.比较角的大小 6.角的分类 7.角的和、差 8.用量角器作两个角的和差 9.角平分线 10.互余和互补的概念 11.余角和补角的性质 12.方向角 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、钟面角 五、角的单位与角度制 六、角度的四则运算 七、方向角的表示 八、与方向角有关的计算题 九、角的比较 十、角的度数大小比较 十一、三角板中角度计算问题 十二、几何图形中角度计算问题 十三、角平分线的有关计算 十四、角n等分线的有关计算 十五、求一个角的余角 十六、求一个角的补角 十七、与余角、补角有关的计算 十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.角及角的表示 1.角的“静态”定义 定义 图示 解读 “静止” 的观点 由两条有公共端点的射线所组成的图形。 这个公共端点叫作这个角的顶点，这两条射线是角的两条边。 2.角的几何符号为“∠ ”，读作“角”，角的一般表示方法有以下四种： 表示方法 图示 记法 说明 用三个大写字母表示 ∠AOB 或∠BOA 字母O 表示顶点，要写在中间，A，B 表示角的两边上的点，用该表示方法可以表示任意一个角。 用一个数字 表示 ∠1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母。该表示方法形象、直观。 用一个希腊 字母表示 ∠α ,∠β 用角的顶点 字母表示 ∠O 当角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示。 知识点2.平角和周角 1.角的“动态”定义 定义 图示 解读 “运动” 的观点 由一条射线绕着它的端 点旋转而成的图形。 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。 注意：我们平时画角时，只画角的一部分，角的两边是两条射线。 2.平角与周角的定义 一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图1所示；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图2所示。 图2 图1 知识点3.角的单位换算 1.角的度量单位：度、分、秒是角的基本度量单位。把周角等分为360份，每一份就是1° 的角；把1° 的角等分成60份，每一份就是1分，记作1′；把1分的角等分成60份，每一份就是1秒，记作1″ 。 2.角的单位换算： 1°=60′，1′=()° ；1′=60″，1″=()′ ； 1°=3 600″，1″=()°；1周角=360° ，1平角=180° 注意：它们之间的换算是60进制，这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的。 知识点4.用量角器作一个角等于已知角 条件 已知∠α ，用量角器作一个角，使它等于∠α 。 图形 作法 （1）用量角器量得∠α=70°。 （2）作射线OA 。 （3）用量角器作射线OB，使∠AOB=70°。 ∠AOB=70°=∠α ，∠AOB 就是所求作的角。 知识点5.比较角的大小（角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关） 1.度量法（数的比较）：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 2.叠合法（形的比较）：将两个角的顶点及一条边重合,另一条边放在重合边的同侧,就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点O与O′ 重合,再让一条边OB与O′D重合,使另一条边OA和O′C落在OB（或O′D ）的同侧。 知识点6.角的分类 角的名称 定义 各种角之间的大小关系 直角 等于90°的角 （1）锐角<直角（直角可以用Rt∠表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“┐ ”来表示这个角是直角）< 钝角< 平角< 周角。 （2）1周角=2平角=4 直角=360° ; 1平角=2直角=180°；1直角=90°。 锐角 小于直角的角 钝角 大于直角而小于平角的角 知识点7.角的和、差（两个角的和或差仍是一个角） 概念 表示 图示 两个角的差 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。 记作 ∠AOB=∠AOC−∠BOC 知识点8.用量角器作两个角的和差 条件 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2 的和。 图形 作法 用量角器量得∠1=60°，∠2=45°，计算：∠1+∠2=60°+45°=105°， 用量角器作∠AOB=105°。∠AOB=∠1+∠2，∠AOB 就是所求作的角。 知识点9.角平分线 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 如图,射线OC是∠AOB 的平分线。这时, ∠AOC=∠BOC=∠AOB （或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ）。 注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线。 教材延伸 角的三等分线 如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,如果∠AOD=∠DOC=∠COB ,那么射线OC,OD是∠AOB 的三等分线。类似地,从一个角的顶点出发，把这个角分成n个相等的角的射线，叫作这个角的n 等分线，如四等分线、五等分线等。 知识点10.互余和互补的概念 名称 概念 数学语言 图示 互为 余角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 若 ∠1+∠2=90^∘， 则∠1与∠2互余，∠1是∠2 的余角，∠2也是∠1 的余角。 互为 补角 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个 角是另一个角的补角。 若 ∠3+∠4=180^∘， 则∠3与∠4互补，∠3是∠4 的补角，∠4也是∠3 的补角。 注意：（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 （2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。 知识点11.余角和补角的性质 1.余角的性质：同角或等角的余角相等。 2.补角的性质：同角或等角的补角相等。 知识点12.方向角 1.方向角：一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（东或西）转动所形成的角。如图,射线OA 的方向是北偏东30°,射线OB 的方向是南偏西60°。 2.特殊角的表示：东北方向表示北偏东45°,西北方向表示北偏西45°,东南方向表示南偏东45°,西南方向表示南偏西45°。 注意：方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东30°”一般不写成“东偏北60°”。 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．非负数就是指一切正数 B．数轴上任意一点都对应一个实数 C．两个锐角的和一定大于直角 D．一条直线就是一个平角 【答案】B 【知识点】角的概念理解、实数与数轴 【分析】根据非负数的定义，数轴上的点与实数的关系，锐角，直角，平角的定义以及角的和差计算，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、非负数指的是大于等于零的数，选项错误，不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，符合题意； C、两个锐角的和可能小于，可能等于，也可能大于，比如：，选项错误，不符合题意； D、一个直线角是一个平角，直线不是角，选项错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查考查非负数，实数与数轴，角的分类．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 2．（2022七年级上·浙江·专题练习）由角的旋转的定义可知，平角的两边成一条直线，能不能说直线就是平角？周角两边重合成同一条射线，能不能说周角就是射线？为什么？ 【答案】见解析 【知识点】角的概念理解 【分析】因为角和线是两个不同的概念，二者不能混淆，并结合周角、平角的特点，进行分析、进而判断即可． 【详解】解：平角的特点是两条边成一条直线，不能说直线是平角；周角的特点是两条边重合成射线，但不能说成周角是一条射线． 【点睛】本题主要考查角的概念，熟练各种角的概念是解题的关键． 题型二、角的表示方法 3．（23-24七年级上·浙江·期末）下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】利用角的三种表示方法，逐个进行分析即可．熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键． 【详解】解：A．表示同一个角，没有可以用表示的角，故此选项不符合题意； B．能用三种方法表示同一个角，故此选项符合题意； C．不能表示同一个角，图中没有用表示的角，故此选项不符合题意； D．可以表示同一个角，图中没有能用表示的角，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（2022七年级上·浙江·专题练习）如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表． 【答案】 【知识点】角的表示方法 【分析】角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角． 【详解】解：把同一个角用不同的表示方法表示出来，如下表： 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了角的概念，解决本题的关键是掌握角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角． 5．（2022七年级上·浙江·专题练习）完成以下各题． (1)写出图中能用一个字母表示的角； (2)写出图中以为顶点的角； (3)图中共有几个角？ 【答案】(1)能用一个字母表示的角有2个：， (2)以为顶点的角有6个：，，，，， (3)图中所有的角有11个：，，，，，，，，，， 【知识点】角的表示方法、角的概念理解 【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案； （2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案； （3）根据角的概念即可得到答案． 【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：，； （2）以为顶点的角有6个：，，，，，； （3）图中所有的角有11个：，，，，，，，，，，． 【点睛】本题主要考查了角的概念．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角． 题型三、角的分类 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 【答案】D 【知识点】角的分类 【分析】本题考查角的概念，掌握平角、周角的定义是解决问题的前提． 根据周角、平角的意义分别进行计算即可． 【详解】解：∵1平角，1周角， ∴周角，结果是直角，因此选项A不符合题意； 周角，因此选项B不符合题意； 平角，因此选项C不符合题意； 平角，因此选项D符合题意； 故选：D． 7．如图，按要求写出符合条件的角． （1）能用一个字母表示的角； （2）以B为顶点的角； （3）图中共有几个小于平角的角？ 【答案】（1），；（2），，；（3）7个 【知识点】角的分类、角的表示方法、角的概念理解 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】解：（1）能用一个字母表示的角有2个：，； （2）以B为顶点的角有3个：，，； （3）图中小于平角的角有7个：，，，，，，． 【点评】利用了角的概念求解．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字． 题型四、钟面角 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（    ） A．120° B．130.5° C．135° D．137.5° 【答案】D 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角问题，掌握每刻度代表度数和每根针的转速是解题关键． 夹角是指小于的角，中间夹了一个7-11点之间4个大格，由每个大格30度，时针每分钟转度，两个角度加起来即为所求． 【详解】解：∵每个大格30度，时针每分钟转度， ∴， 故选：D． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）钟表上时刻，分针与时针所成的角的大小是 度． 【答案】40 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，根据钟面角的定义进行计算即可，理解钟面角的定义以及钟面上时针、分针在转动过程中所成角度的变化规律是正确解答的关键． 【详解】解：如图， 由钟面角的定义可得，，， 所以， 故答案为：40． 10．（23-24七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中均匀分布，分针分钟转动一周是，时针分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转度，时针转速为每分钟转度． 素材2 当时钟显示时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从：到．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此点分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度，因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示：时，时针与分针所成角度为，在：到：的分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 ：之后的下一个美妙时刻是______， 一天个小时内，共有______个美妙时刻． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：； 【知识点】钟面角、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了时钟中分针与时针的角度问题，考查了角度的计算，一元一次方程的应用等知识，属于研究性学习内容，难度较大． 任务：按照题干素材，点整，时针与分针所成角度是；从而求得时针与分针的夹角； 任务：设点分时，时针与分针垂直，由题意，得，解方程即可得解； 任务：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，则时针每分钟少旋转，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为分，进而求得下一个美妙时刻，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解． 【详解】解：任务： 当时钟显示：时，时针与分针所成角度为 任务：设点分时，时针与分针垂直， 由题意，得， 解得 答：所求的时间为（也可写成时分）． 任务：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转， 则时针每分钟少旋转， 到达下一个美妙时刻需要的时间为分时分， ∴之后的下一个美妙时刻是 一天有分钟， ， 即一天有个美妙时刻， 故答案为：，． 题型五、角的单位与角度制 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）若，则用度、分、秒表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的单位与角度制 【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．此题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是掌握． 【详解】解：． 故选：B． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末） （用度、分、秒表示）． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒之间的进制即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）和相等吗？若不相等，哪一个大？ 【答案】不相等，大 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了角度的换算以及角度大小的比较，掌握，是解答本题的关键．根据进行化简，然后比较即可． 【详解】解：不相等； ∵， ∴， ∴， 即更大． 题型六、角度的四则运算 14．（2023七年级上·浙江·专题练习）下面等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角度的运算，根据，计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 15．（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查角度的和差计算，熟练掌握角度的换算是解题的关键．根据角度差的计算方法计算即可． 【详解】 故答案为： 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．（1）1度分，即，1分秒，即，依此计算加法； （2）1度分，即，1分秒，即，依此计算减法； （3）1度分，即，1分秒，即，依此计算乘法； （4）1度分，即，1分秒，即，依此计算除法． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型七、方向角的表示 17．（24-25七年级上·浙江金华·期末）下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】此题考查了方位角，熟练掌握方位角的意义是解题的关键．根据方位角的定义进行解答即可． 【详解】解：射线是表示北偏东方向的是： 故选：C 18．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）周日，四位同学看完书从图书馆回家．波波先向西走，再向南走回到家；兰兰先向北走，再向西走回到家；群群先向东走，再向南走回到家；书书先向北走，再向东走回到家．请将他们家的位置填入在图中． 【答案】见解析 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查方向角，掌握“上北下南，左西右东”是解题关键．根据题意填写即可． 【详解】解：如图． 题型八、与方向角有关的计算题 19．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，甲从处出发向北偏东方向行至处，乙从处出发向南偏西方向行至处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方位角的计算，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．首先求得与正东方向的夹角的度数，然后结合图形，由求解即可． 【详解】解：根据题意，与正东方向的夹角的度数是， 则． 故选：D． 20．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏东的方向上，同时发现客轮，测得，那么客轮在货轮的北偏东 °方向上．    【答案】55 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的定义，理解、、的相对位置是关键．根据图形及方位角即可求解． 【详解】 解：如图，    由题意得， ， ， 客轮在货轮的北偏东方向上． 故答案为：55 21．（22-23七年级上·浙江·单元测试）一辆汽车从点出发向北偏西方向行120千米到达点，一辆货车同时从点出发向南偏东方向行200千米到达点，这两辆汽车现在相距多少千米？ 【答案】320千米 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图，以点为中心，建立方位图， 由图可得点，点，点在一条直线上， 所以（千米）． 所以这两辆汽车现在相距320千米． 【点睛】本题考查了方向角，解决本题的关键是画出图形． 题型九、角的比较 22．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知是内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线，则（  ） A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】D 【知识点】角的比较 【分析】此题主要考查了角的大小比较，关键是掌握等式的性质．根据角的和差关系即可解答． 【详解】解：当时，， 因为不知道与的大小关系， 所以与无法比较大小． 故选：D． 23．（2023七年级上·浙江·专题练习）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么    【答案】> 【知识点】角的比较 【分析】本题主要考查了角的大小比较，关键是掌握叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．取格点E，作射线，则，依据叠合法即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则，    由图可得，， ∴， 故答案为：>． 24．估计图中与的大小关系，并用适当的方法检验． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】角的比较 【分析】（1）分别以两个角的顶点为圆心，以相同的任意长为半径画弧，分别与自身角的两端交于A、B，C、D，然后用圆规量出AB与CD的长，当AB=CD时，∠1=∠2，当AB＜CD时，∠1＜∠2，当AB>CD时，∠1＞∠2，由此即可求解； （2）同（1）原理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：分别以两个角的顶点为圆心，以相同的任意长为半径画弧，分别与自身角的两端交于A、B，C、D，然后用圆规量出AB与CD的长，当AB=CD时，∠1=∠2，当AB＜CD时，∠1＜∠2，当AB>CD时，∠1＞∠2， 如图所示，OE=AB，OF=CD ∴在图形中可以发现OF＞OE即CD＞AB，即∠1＜∠2； （2）同理可得下图中MN=GH，即下图中∠1=∠2． 【点睛】本题主要考查了角的比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 题型十、角的度数大小比较 25．（23-24七年级上·浙江金华·期末）比较大小： （用＞，＜或＝连结）． 【答案】＜ 【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制 【分析】本题考查的是角度的大小比较，角的单位换算，先把化为从而可得答案． 【详解】解：∵， 而， 故答案为：＜． 26．（23-24七年级上·全国·课后作业）火眼金睛（寻找错误并纠正）：和相等吗？若不相等，哪一个大？ 解：∵，， ∴． 【答案】见解析 【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制 【分析】，据此换算即可比较． 【详解】不相等， ∵， ∴， ∴， 故原解析错误，更大． 【点睛】本题考查了角度的换算以及角度大小的比较，掌握，是解答本题的关键． 题型十一、三角板中角度计算问题 27．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板的实际应用， 根据题意可知，再结合求出答案即可． 【详解】解：根据题意，得， 因为， 所以． 故选：A． 28．（24-25七年级上·浙江金华·期末）把一副三角板如图所示放置，则的度数为 度． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度和差计算问题，正确计算是解题的关键． 根据，然后进行作差即可求解． 【详解】解：由三角板可得，， 故答案为：． 29．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，过程见解析 (2)①甲，乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握三角板的相关度数是解题的关键． （1）先根据求得，然后根据求得； （2）①由（1）可知，甲，乙错误；②先求得，再利用得到，从而知道，从而得证． 【详解】（1）解：，              （2）解：①甲，乙，理由如下 由（1）可知， ， 故甲，乙的猜想错误； ②正确，理由如下： ∴丙同学的猜想正确． 题型十二、几何图形中角度计算问题 30．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，射线，在的内部．若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角的和差运算，由可得结论． 【详解】解：设，， 而， ∴， ∴， 故选：D． 31．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，…，，满足，，，…，．若，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】/ 【知识点】图形类规律探索、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了图形规律探索，角的计算，根据，得出，求出，，，，得出一般规律即可． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 32．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、钟面角 【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （3）根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，解方程，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过， 设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得， 解得． 故经过，与第一次垂直． 题型十三、角平分线的有关计算 33．（23-24七年级上·浙江宁波·月考）已知射线在的内部，下列4个表述不能表示射线是的平分线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：A、，能表示射线是的平分线，本选项不符合题意； B、，能表示射线是的平分线，本选项不符合题意； C、，能表示射线是的平分线，本选项不符合题意； D、，不能表示射线是的平分线，本选项符合题意； 故选：D． 34．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，在内有两条射线分别为射线和射线平分，平分，若，则 ． 【答案】/22.5度 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是由角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．根据，平分，求出，再根据平分，即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 35．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示方式摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（）．将三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止转动，设三角尺转动的时间为t． 解答下列问题： (1)当时，边恰好与量角器__________度的刻度线重合； (2)在三角尺的转动过程中： ①用含有t的代数式表示：__________；__________； ②当t为何值时，边平分？ (3)在三角尺的转动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)25 (2)①，；② (3)存在， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，角度的计算，一元一次方程的应用，表示出与是解本题的关键． （1）当秒时，由旋转知，，即可得出结论； （2）①由题意，得，根据，求解即可； ②当边平分时，由，得，求解即可； （3）分两种情况：：当在左侧时，当在右侧时，分别 求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，边恰好与量角器25度的刻度线重合． 故答案为：25． （2）解：①由题意，得 ∴， ； ②当边平分时，则， ∴ ， ∴， ∴当t为15时，边平分． （3）解：当在左侧时， 如图， 则，， ∵ ∴ 解得：， 当在右侧时， 如图， 则，， ∵ ∴ 解得：（舍去）， 综上，在三角尺的转动过程中，存在，当时，使． 题型十四、角n等分线的有关计算 36．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 37．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 38．定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线． (1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数． (2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t． ①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值． ②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数． 【答案】(1)∠AOC的度数为40°或80°； (2)①：t=或；②∠BOD=度 【知识点】角n等分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）分两种情况讨论，列式计算即可； （2）①分两种情况讨论，列式计算即可； ②计算得到∠COD=8t-180°，分两种情况讨论，列式计算即可． 【详解】（1）解： OC是∠AOB的三等分线， 当∠AOC=∠AOB时，如图： ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=∠AOB=80°； 当∠AOC=∠AOB时，如图： ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=∠AOB=40°； 综上，∠AOC的度数为40°或80°； （2）解：①∵OC是∠AOD的三等分线， ∴OC在∠AOD内， 依题意得：(180°-5t)3=3t或(180°-5t)3×2=3t， 解得：t=或； ②∵OC是∠BOD的三等分线， ∴OC在∠BOD内， ∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t， ∴∠COD=8t-180°， 依题意得：(8t-180°) ×3=5t或(8t-180°)×=5t， 解得：t=或； ∴∠BOD=度或度（舍去）． 【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三等分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 题型十五、求一个角的余角 39．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知，那么它的余角是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义可知：的余角，据此计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故选：C． 40．（24-25七年级上·浙江温州·期末）若，则的余角的度数为 ． 【答案】/ 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的概念及计算，掌握余角的概念和计算，角的计算方法是解题的关键． 根据两个角的和为，则两个角互余，结合角度的计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为， 故答案为： ． 题型十六、求一个角的补角 41．（22-23七年级上·浙江台州·期末）若一个角为，则其补角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个角的补角 【分析】根据补角定义直接计算即可得到答案； 【详解】解：∵一个角为， ∴其补角的度数为：， 故选D． 【点睛】本题考查补角的定义：如果两个角的和为，那么这两个角互为补角． 42．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知与互补，且，则 ． 【答案】/112度 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查了求一个角的补角，熟练掌握补角定义是解题的关键； 根据在同一平面内的两个角相加的和等于，这两个角互补进行求解即可． 【详解】解：∵与互补，且， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的补角、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 题型十七、与余角、补角有关的计算 44．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于． 【详解】解：和互补， ， 的余角为． ①，直接是余角，正确． ②，是余角，正确． ③，不一定等于，错误． ④，是余角，正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 45．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上的点处，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、角度的四则运算 【分析】本题主要考查了求一个角的余角与补角，角度的计算，先根据余角的定义得出，再根据补角的定义即可求出． 【详解】解：如下图∶ ∵，， ∴， ∴ 故答案为∶ 46．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 题型十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 47．（24-25七年级上·浙江温州·期末）将一副三角板按如图所示摆放，已知的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角，利用同角的余角相等，即可解答，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意可得， ， 故选：C． 48．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题实际是考查了余角和补角的性质：等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等．根据直角三角板可得图①，根据直角三角板可得图②，进而可得；根据余角和补角的性质可得图③、图④中，图⑤和互补． 【详解】解：根据直角三角板每个角的度数，可以判断出图①中 根据直角三角板每个角的度数，可以判断出图②中 ， 由同角的余角相等可得图③中， 由等角的补角相等可得图④中， 在图⑤中，不相等， 因此的图形是②③④． 故答案为：②③④． 49．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 强化训练 一、单选题 1．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了角的度数大小比较，将角的表示形式统一即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，补角的定义，由补角的定义得，由余角的定义得，即可求解；理解余角的定义，补角的定义是解题的关键． 【详解】解：因为， ， 所以， 因为， 所以， 所以 ． 故选B． 3．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 4．下列说法中正确的有（    ） ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等； ④锐角和钝角互补； ⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90度． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角，根据和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角，逐一进行判断即可． 【详解】解：锐角的补角一定是钝角；故①正确； 一个角的补角不一定大于这个角，也可能等于或小于这个角，例如：90度角的补角也是90度，两角相等；故②错误； 如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；故③正确； 锐角和钝角不一定互补，和为180度时才互补；故④错误； 一个锐角的补角比这个角的余角大90度；故⑤正确； 综上；正确的有3个； 故选：B． 5．一个角的补角是它的4倍，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义，解题关键是熟练掌握补角的定义．设这个角为，再根据题意列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 由题意得：， ， ， ∴这个角的度数是， 故选：C． 6．若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：， 故， 故选C． 7．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、图中，与互余，故本选项不符合题意； B、图中，不一定互补，故本选项错误； C、图中，互为补角，故本选项正确； D、图中，不是互补关系，故本选项错误． 故选：C． 8．实验中学上午时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】时钟上每一大格是，此时时针与分针所夹的角是减去时针转动的度数． 【详解】解：时钟上每一大格是， ∵时时针与分针之间有四个大格，且此时时针转动， ∴此时时针与分针所夹的角是， 故选：C． 【点睛】本题考查时间的推算和角度的计算，明确时钟上每一大格是和时针转动的度数是解题的关键． 9．如图，已知平分，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【详解】解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC， ∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC， 又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD， ∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD， 即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD， ∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°， ∴∠DOM+∠NOC＝90°， 则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 10．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又，， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】20.7 【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，小单位转换成大单位除以60，按此转化即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：20.7． 【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键． 12．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【答案】75° 【分析】本题考查三角尺角度与平行线性质的结合，掌握利用三角尺的已知角度和平行线的相关性质计算角的度数是解题的关键； 利用三角尺的角度以及平行线的性质，求出的度数． 【详解】解：由三角尺的角度可知，一个三角尺的角为，另一个三角尺的角为和． 根据平行线的性质，可得． 故答案为：． 13．已知，若，则的度数是 ． 【答案】25°或75° 【分析】分OB在∠AOC中和OC在∠AOB中两种情况考虑，当OB在∠AOC中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB+∠BOC即可求出∠AOC的度数；当OC在∠AOB中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC即可求出∠AOC的度数． 【详解】解：分两种情况考虑． 当OB在∠AOC中时，如图1所示， ∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+25°＝75°； 当OC在∠AOB中时，如图2所示， ∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣25°＝25°． 故答案为：75°或25°． 【点睛】本题考查了角的计算，分∠AOC＝∠AOB+∠BOC和∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC两种情况考虑是解题的关键． 14．如图，、是内的两条射线，平分，平分，若，，则 °（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】由角平分线的定义可得，结合可求解． 【详解】解：平分，平分， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角的平分线，角的计算，灵活运用角的平分线的定义是解题的关键． 15．如图，点，，在同一直线上，射线在的内部，，平分，平分，平分．下列结论： ①；②与互补； ③；④． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ①根据角平分线的定义可设，，进而用含和的式子表示求解即可；②根据平分，可得，进而求解即可；③根据题意可以分别求出和的度数，进而求解即可；④根据图像可得，故，故无法判断，进而求解即可； 【详解】解：①因为， 所以， 因为平分，平分，平分， 设，， 则， 又因为， 而， 结论①正确； ②因为平分， 所以， 则，结论②正确； ③因为， ， ， ； ； 故， 故③正确； ④根据图像可得， 故， 故无法判断， 故④错误； 故答案为：①②③ 16．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 【答案】30或50或90 【分析】本题考查角分线的应用、旋转的应用．分为四种情况进行讨论：，，，，先求出和，再代入即可求出n． 【详解】解：由题图可知． ①当时，和在直线的右侧，如图： ， ， ； ②当时，如图所示，在直线的左侧，在直线的右侧， 此时， ∵本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角， 故， ， ， ， 解得； ③当时，如图所示， ， ， ∴， 解得； ④当时，如图： ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，解得（舍去）． 故答案为：30或50或90． 三、解答题 17．如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【详解】（1）解：平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解：与互余， ， ， 平分， ， ． 18．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】本题考查了叠放三角板中的角的计算．熟练掌握三角板性质，余角补角定义和性质，旋转性质，平行线性质，是解题的关键． （1）先根据直角三角板的性质求出，进而可得、的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，论证即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 若， 则； 若， 则． 故答案为：，． （2）解：．证明如下： ∵， ∴． 19．如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ()由角平分线的定义，得到的度数； ()根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； ()由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 20．问题探究： 尺规作图：作一个角等于已知角． 如图①，已知：． 求作：，使． (1)作法： 步骤1：如图②，以点 为圆心，任意长为半径画弧，交于点C、D； 步骤2：作射线 ，以点为圆心， ____长为半径画弧，交 于点； 步骤3：以点为圆心，_______长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 步骤4：经过点画射线，则． 步骤5：连接．根据以上作法证得（ 填理论依据“”、“”、“”或“”）． 根据以上作图和求证过程完成以上填空： (2)实践应用：已知：如图，D是的边上一点．求作：射线，使，交于E．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作出即可； （2）根据题意作出图形即可． 【详解】（1）根据题意可得：步骤1：如图②，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C、D； 步骤2：作射线 ，以点为圆心，或长为半径画弧，交 于点； 步骤3：以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 步骤4：经过点画射线，则． 步骤5：连接．根据以上作法证得． 故答案为：或． （2）作如图： 【点睛】此题考查了作图-作一个角等于已知角，解题的关键是熟知作一个角等于已知角的步骤． 21．已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用， （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，即可得解； （3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：①当时，由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 综上所述，，． 22．阅读下面材料并回答问题：如图，与互余，且，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是娜娜的解答过程： 解：如图，因为与互余， 所以 ① °，    又，即， 所以.      解得 ② ° ，     由题意得， 所以 ③ °. 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况” 请完成下面两个问题： (1)请你将娜娜的解答过程补充完整； (2)根据静静的想法，请你在图中补出另一种情况，并把娜娜的解答补充完整。 【答案】(1)90，60，100 (2)见解析 【分析】（1）根据余角的定义，角的和差及娜娜的思路进行作答即可； （2）当在的内部时，也满足题意，据此作图；根据余角的定义，角的和差及娜娜的思路进行作答即可． 本题考查了余角的定义，角的和差，能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：如图2，因为与互余， 所以． 又，即， 所以， 解得． 由题意得， 所以． 故答案为：； （2） 如图，因为与互余， 所以． 又，即， 所以， 解得． 由题意得， 所以 23．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_______； (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），分两种情况画图：①当时，如（图，②当时，如（图，结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点逆时针旋转且， ①当时，如（图， ， ， ， ； ②当时，如（图， ， ， ， ； 综上所述：的度数为； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角及角的表示 2.平角和周角 3.角的单位换算 4.用量角器作一个角等于已知角 5.比较角的大小 6.角的分类 7.角的和、差 8.用量角器作两个角的和差 9.角平分线 10.互余和互补的概念 11.余角和补角的性质 12.方向角 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、钟面角 五、角的单位与角度制 六、角度的四则运算 七、方向角的表示 八、与方向角有关的计算题 九、角的比较 十、角的度数大小比较 十一、三角板中角度计算问题 十二、几何图形中角度计算问题 十三、角平分线的有关计算 十四、角n等分线的有关计算 十五、求一个角的余角 十六、求一个角的补角 十七、与余角、补角有关的计算 十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.角及角的表示 1.角的“静态”定义 定义 图示 解读 “静止” 的观点 由两条有公共端点的射线所组成的图形。 这个公共端点叫作这个角的顶点，这两条射线是角的两条边。 2.角的几何符号为“∠ ”，读作“角”，角的一般表示方法有以下四种： 表示方法 图示 记法 说明 用三个大写字母表示 ∠AOB 或∠BOA 字母O 表示顶点，要写在中间，A，B 表示角的两边上的点，用该表示方法可以表示任意一个角。 用一个数字 表示 ∠1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母。该表示方法形象、直观。 用一个希腊 字母表示 ∠α ,∠β 用角的顶点 字母表示 ∠O 当角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示。 知识点2.平角和周角 1.角的“动态”定义 定义 图示 解读 “运动” 的观点 由一条射线绕着它的端 点旋转而成的图形。 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。 注意：我们平时画角时，只画角的一部分，角的两边是两条射线。 2.平角与周角的定义 一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图1所示；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图2所示。 图2 图1 知识点3.角的单位换算 1.角的度量单位：度、分、秒是角的基本度量单位。把周角等分为360份，每一份就是1° 的角；把1° 的角等分成60份，每一份就是1分，记作1′；把1分的角等分成60份，每一份就是1秒，记作1″ 。 2.角的单位换算： 1°=60′，1′=()° ；1′=60″，1″=()′ ； 1°=3 600″，1″=()°；1周角=360° ，1平角=180° 注意：它们之间的换算是60进制，这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的。 知识点4.用量角器作一个角等于已知角 条件 已知∠α ，用量角器作一个角，使它等于∠α 。 图形 作法 （1）用量角器量得∠α=70°。 （2）作射线OA 。 （3）用量角器作射线OB，使∠AOB=70°。 ∠AOB=70°=∠α ，∠AOB 就是所求作的角。 知识点5.比较角的大小（角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关） 1.度量法（数的比较）：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 2.叠合法（形的比较）：将两个角的顶点及一条边重合,另一条边放在重合边的同侧,就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点O与O′ 重合,再让一条边OB与O′D重合,使另一条边OA和O′C落在OB（或O′D ）的同侧。 知识点6.角的分类 角的名称 定义 各种角之间的大小关系 直角 等于90°的角 （1）锐角<直角（直角可以用Rt∠表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“┐ ”来表示这个角是直角）< 钝角< 平角< 周角。 （2）1周角=2平角=4 直角=360° ; 1平角=2直角=180°；1直角=90°。 锐角 小于直角的角 钝角 大于直角而小于平角的角 知识点7.角的和、差（两个角的和或差仍是一个角） 概念 表示 图示 两个角的差 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。 记作 ∠AOB=∠AOC−∠BOC 知识点8.用量角器作两个角的和差 条件 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2 的和。 图形 作法 用量角器量得∠1=60°，∠2=45°，计算：∠1+∠2=60°+45°=105°， 用量角器作∠AOB=105°。∠AOB=∠1+∠2，∠AOB 就是所求作的角。 知识点9.角平分线 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 如图,射线OC是∠AOB 的平分线。这时, ∠AOC=∠BOC=∠AOB （或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ）。 注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线。 教材延伸 角的三等分线 如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,如果∠AOD=∠DOC=∠COB ,那么射线OC,OD是∠AOB 的三等分线。类似地,从一个角的顶点出发，把这个角分成n个相等的角的射线，叫作这个角的n 等分线，如四等分线、五等分线等。 知识点10.互余和互补的概念 名称 概念 数学语言 图示 互为 余角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 若 ∠1+∠2=90^∘， 则∠1与∠2互余，∠1是∠2 的余角，∠2也是∠1 的余角。 互为 补角 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个 角是另一个角的补角。 若 ∠3+∠4=180^∘， 则∠3与∠4互补，∠3是∠4 的补角，∠4也是∠3 的补角。 注意：（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 （2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。 知识点11.余角和补角的性质 1.余角的性质：同角或等角的余角相等。 2.补角的性质：同角或等角的补角相等。 知识点12.方向角 1.方向角：一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（东或西）转动所形成的角。如图,射线OA 的方向是北偏东30°,射线OB 的方向是南偏西60°。 2.特殊角的表示：东北方向表示北偏东45°,西北方向表示北偏西45°,东南方向表示南偏东45°,西南方向表示南偏西45°。 注意：方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东30°”一般不写成“东偏北60°”。 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．非负数就是指一切正数 B．数轴上任意一点都对应一个实数 C．两个锐角的和一定大于直角 D．一条直线就是一个平角 2．（2022七年级上·浙江·专题练习）由角的旋转的定义可知，平角的两边成一条直线，能不能说直线就是平角？周角两边重合成同一条射线，能不能说周角就是射线？为什么？ 题型二、角的表示方法 3．（23-24七年级上·浙江·期末）下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022七年级上·浙江·专题练习）如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表． 5．（2022七年级上·浙江·专题练习）完成以下各题． (1)写出图中能用一个字母表示的角； (2)写出图中以为顶点的角； (3)图中共有几个角？ 题型三、角的分类 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 7．如图，按要求写出符合条件的角． （1）能用一个字母表示的角； （2）以B为顶点的角； （3）图中共有几个小于平角的角？ 题型四、钟面角 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（    ） A．120° B．130.5° C．135° D．137.5° 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）钟表上时刻，分针与时针所成的角的大小是 度． 10．（23-24七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中均匀分布，分针分钟转动一周是，时针分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转度，时针转速为每分钟转度． 素材2 当时钟显示时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从：到．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此点分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度，因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示：时，时针与分针所成角度为，在：到：的分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 ：之后的下一个美妙时刻是______， 一天个小时内，共有______个美妙时刻． 题型五、角的单位与角度制 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）若，则用度、分、秒表示为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末） （用度、分、秒表示）． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）和相等吗？若不相等，哪一个大？ 题型六、角度的四则运算 14．（2023七年级上·浙江·专题练习）下面等式成立的是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七、方向角的表示 17．（24-25七年级上·浙江金华·期末）下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）周日，四位同学看完书从图书馆回家．波波先向西走，再向南走回到家；兰兰先向北走，再向西走回到家；群群先向东走，再向南走回到家；书书先向北走，再向东走回到家．请将他们家的位置填入在图中． 题型八、与方向角有关的计算题 19．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，甲从处出发向北偏东方向行至处，乙从处出发向南偏西方向行至处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏东的方向上，同时发现客轮，测得，那么客轮在货轮的北偏东 °方向上．    21．（22-23七年级上·浙江·单元测试）一辆汽车从点出发向北偏西方向行120千米到达点，一辆货车同时从点出发向南偏东方向行200千米到达点，这两辆汽车现在相距多少千米？ 题型九、角的比较 22．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知是内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线，则（  ） A． B． C． D．与无法比较大小 23．（2023七年级上·浙江·专题练习）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么    24．估计图中与的大小关系，并用适当的方法检验． 题型十、角的度数大小比较 25．（23-24七年级上·浙江金华·期末）比较大小： （用＞，＜或＝连结）． 26．（23-24七年级上·全国·课后作业）火眼金睛（寻找错误并纠正）：和相等吗？若不相等，哪一个大？ 解：∵，， ∴． 题型十一、三角板中角度计算问题 27．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·浙江金华·期末）把一副三角板如图所示放置，则的度数为 度． 29．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 题型十二、几何图形中角度计算问题 30．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，射线，在的内部．若，，则为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，…，，满足，，，…，．若，则 （用含，的代数式表示）． 32．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 题型十三、角平分线的有关计算 33．（23-24七年级上·浙江宁波·月考）已知射线在的内部，下列4个表述不能表示射线是的平分线的是（　　） A． B． C． D． 34．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，在内有两条射线分别为射线和射线平分，平分，若，则 ． 35．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示方式摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（）．将三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止转动，设三角尺转动的时间为t． 解答下列问题： (1)当时，边恰好与量角器__________度的刻度线重合； (2)在三角尺的转动过程中： ①用含有t的代数式表示：__________；__________； ②当t为何值时，边平分？ (3)在三角尺的转动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十四、角n等分线的有关计算 36．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 37．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 38．定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线． (1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数． (2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t． ①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值． ②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数． 题型十五、求一个角的余角 39．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知，那么它的余角是（） A． B． C． D． 40．（24-25七年级上·浙江温州·期末）若，则的余角的度数为 ． 题型十六、求一个角的补角 41．（22-23七年级上·浙江台州·期末）若一个角为，则其补角的度数为（　　） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知与互补，且，则 ． 43．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 题型十七、与余角、补角有关的计算 44．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 45．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上的点处，若，则的度数为 ． 46．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 题型十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 47．（24-25七年级上·浙江温州·期末）将一副三角板按如图所示摆放，已知的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形有 ．（填序号） 49．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 强化训练 一、单选题 1．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 2．如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 3．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的有（    ） ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等； ④锐角和钝角互补； ⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90度． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．一个角的补角是它的4倍，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 6．若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 7．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（   ） A． B． C． D． 8．实验中学上午时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知平分，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 13．已知，若，则的度数是 ． 14．如图，、是内的两条射线，平分，平分，若，，则 °（用含m、n的代数式表示）． 15．如图，点，，在同一直线上，射线在的内部，，平分，平分，平分．下列结论： ①；②与互补； ③；④． 其中正确的是 （填序号）． 16．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 三、解答题 17．如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 18．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 19．如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 20．问题探究： 尺规作图：作一个角等于已知角． 如图①，已知：． 求作：，使． (1)作法： 步骤1：如图②，以点 为圆心，任意长为半径画弧，交于点C、D； 步骤2：作射线 ，以点为圆心， ____长为半径画弧，交 于点； 步骤3：以点为圆心，_______长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 步骤4：经过点画射线，则． 步骤5：连接．根据以上作法证得（ 填理论依据“”、“”、“”或“”）． 根据以上作图和求证过程完成以上填空： (2)实践应用：已知：如图，D是的边上一点．求作：射线，使，交于E．（不写作法，但要保留作图痕迹） 21．已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 22．阅读下面材料并回答问题：如图，与互余，且，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是娜娜的解答过程： 解：如图，因为与互余， 所以 ① °，    又，即， 所以.      解得 ② ° ，     由题意得， 所以 ③ °. 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况” 请完成下面两个问题： (1)请你将娜娜的解答过程补充完整； (2)根据静静的想法，请你在图中补出另一种情况，并把娜娜的解答补充完整。 23．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_______； (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值. 学科网（北京）股份有限公司 $