6.6角的大小比较（讲义，2个知识点2大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“角的大小比较”核心知识点，系统梳理叠合法、度量法两种比较方法，衔接角的分类、和差关系、角平分线及尺规作等角，构建从基础操作到综合计算的递进学习支架，完善图形初步认识的知识脉络。 资料特色在于融入浙江多地期末真题设计分层练习，通过网格图比较角等题型培养几何直观（数学眼光），规范推理书写强化符号意识（数学语言），助力课中教学与课后查漏补缺，提升运算及推理能力（数学思维）。

第六章 图形的初步认识 6.6 角的大小比较 课标要点 1.掌握比较两个角大小的两种方法：叠合法、度量法，能规范操作并写出两角大小关系。 2.理解角的和、差的几何意义，能用符号语言表示角相加、相减的数量关系，看懂和差角图形。 3.理解角平分线定义，熟练运用角平分线推出二倍、一半的角度等量关系，规范几何推理书写。 4.会使用尺规作一个角等于已知角，掌握作图步骤与标准文字叙述。 5.结合直角、平角、周角进行角度综合计算，实现图形、文字、符号三种几何语言相互转化。 学习重难点 重点： 1.叠合法、度量法比较角的大小。 2.角平分线概念及相关角度计算；尺规作等角。 3.角的和差图形识别与列式计算。 难点： 1.复杂图形中准确拆分、识别角的和差关系，避免角度列式颠倒。 2.多个角平分线叠加、含平角直角的综合角度推理计算。 3.规范尺规作图步骤书写，根据几何语句画出对应和差角图形。 知识点 比较角大小的两种方法（重点） 1.度量法：用量角器测量两个角的度数，通过度数数值比较大小。 2.叠合法：顶点和一条边重合，观察另一条边的位置区分大小。 3.大小关系表示：∠α>∠β、∠α=∠β、∠α<∠β 易错提醒 角的大小只由两边张开程度决定，与角的两边长短无关，角的边是射线可无限延伸。 教材延伸 教材延伸：选择题常判断比较方法描述、辨析影响角度大小的因素。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 知识点 角的分类（重点） 依据度数划分： 1.锐角：大于0°且小于90° 2.直角：等于90°，可用直角符号标注 3.钝角：大于90°且小于180° 4.平角：180°，周角：360° 易错提醒 直角、平角、周角都有顶点和两条边，不能把平角等同于直线、周角等同于射线。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为∠A=n∠B（n≠0），探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确．这名同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型 角的比较 ▌例1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 解题贴士 1.网格中看角两边横向、纵向格子数：横格数=纵格数时，该锐角为45°； 2.两边格子比例相同，则角度相等。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图所示的正方形网格，则________．（填“”“”或“”） ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面上有三个点A，B，C，根据下列要求画图并作答： (1)作直线，射线； (2)作线段，延长至点，使得； (3)比较线段长短：_______，比较角的大小：_______（填“”，“”或“”）． 题型 角的度数大小比较 ▌例2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若，则_____（填“”，“”或“”）． 解题贴士 比较度分秒与小数度，必须先统一格式，要么全部化为小数度，要么全部化为度分秒；分转度除以60，注意不要直接把小数部分和分数字对比。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）比较大小：_____（用＞，＜或＝连结）． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）比较大小：______（用，或连结） 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列各角中，为锐角的是（    ） A．平角 B．周角 C．直角 D．周角 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 4．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，在边长相等的正方形网格中，与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 5．（25-26七年级上·北京平谷·期末）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么___________    6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）比较大小：______（填“”、“”“”）． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，则________； 如果，则___________． 8．（25-26七年级上·全国·课前预习）比较角的大小： 方法一：度量法（分别用量角器测量∠AOB、_______的大小，再进行比较．） 方法二：叠合法（点O与点O′重合，点B与点B′重合，观察点A与点A′ 的位置） 9．（25-26七年级上·浙江台州·期末），． （1）___(请用，，填空) （2）___． 10．（25-26七年级下·山东聊城·期中）对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 素养提升 11．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的网格是正方形网格，_____．（填“”“”或“”） 12．（25-26七年级上·浙江金华·期末）比较大小：_____________．（用＞，＜或＝连结） 13．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，，则______（填“＞”，“＝”或“＜”）． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小：______，______． 15．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若，，则______．（填“”“”或“”） 迁移创新 16．（25-26七年级·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须将可能出现的所有情况分别讨论得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为“分类思想”． 例：在数轴上表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，求a的值． 解：如图， 当数a表示的点在﹣2表示的数的左边时，a＝﹣2﹣3＝﹣5 当数a表示的点在﹣2表示的数的右边时，a＝﹣2＋3＝1 所以，a＝﹣5或1 请你仿照以上例题的方法，解决下列问题（写出必要的解题过程） （1）同一平面内已知∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数． （2）已知ab＞0，求＋的值． （3）小明去商店购买笔记本，某笔记本的标价为每本2.5元，商店搞促销：购买该笔记本10本以下（包括10本）按原价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的50%出售． ①若小明购买x本笔记本，需付款多少元？ ②若小明两次购买该笔记本，第二次买的本数是第一次的两倍，费用却只是第一次的1.8倍，这种情况存在吗？如果存在，请求出两次购买的笔记本数；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 图形的初步认识 6.6 角的大小比较 课标要点 1.掌握比较两个角大小的两种方法：叠合法、度量法，能规范操作并写出两角大小关系。 2.理解角的和、差的几何意义，能用符号语言表示角相加、相减的数量关系，看懂和差角图形。 3.理解角平分线定义，熟练运用角平分线推出二倍、一半的角度等量关系，规范几何推理书写。 4.会使用尺规作一个角等于已知角，掌握作图步骤与标准文字叙述。 5.结合直角、平角、周角进行角度综合计算，实现图形、文字、符号三种几何语言相互转化。 学习重难点 重点： 1.叠合法、度量法比较角的大小。 2.角平分线概念及相关角度计算；尺规作等角。 3.角的和差图形识别与列式计算。 难点： 1.复杂图形中准确拆分、识别角的和差关系，避免角度列式颠倒。 2.多个角平分线叠加、含平角直角的综合角度推理计算。 3.规范尺规作图步骤书写，根据几何语句画出对应和差角图形。 知识点 比较角大小的两种方法（重点） 1.度量法：用量角器测量两个角的度数，通过度数数值比较大小。 2.叠合法：顶点和一条边重合，观察另一条边的位置区分大小。 3.大小关系表示：∠α>∠β、∠α=∠β、∠α<∠β 易错提醒 角的大小只由两边张开程度决定，与角的两边长短无关，角的边是射线可无限延伸。 教材延伸 教材延伸：选择题常判断比较方法描述、辨析影响角度大小的因素。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键；如图所示，明确与三角尺的的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 知识点 角的分类（重点） 依据度数划分： 1.锐角：大于0°且小于90° 2.直角：等于90°，可用直角符号标注 3.钝角：大于90°且小于180° 4.平角：180°，周角：360° 易错提醒 直角、平角、周角都有顶点和两条边，不能把平角等同于直线、周角等同于射线。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为∠A=n∠B（n≠0），探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确．这名同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】先根据，都是钝角求出的取值范围，再看哪个同学所求结果在范围内即可． 【详解】∵，都是钝角， ∴， 即， ∴， 在甲、乙、丙、丁四名同学的计算结果中，只有乙同学的结果在范围内， 故选B． 【点睛】本题考查了钝角的定义，解题的关键是根据钝角的取值范围求出． 题型 角的比较 ▌例1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】题考查网格中角度的比较，掌握正方形网格的性质是解题的关键． 先连接小正方形对角线，根据小正方形的性质推出，直接比较即可求解． 【详解】解：如图，连接小正方形对角线， ∵、是小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 解题贴士 1.网格中看角两边横向、纵向格子数：横格数=纵格数时，该锐角为45°； 2.两边格子比例相同，则角度相等。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图所示的正方形网格，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，由，即可解答． 【详解】解：由图可得，， ， 故答案为：． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面上有三个点A，B，C，根据下列要求画图并作答： (1)作直线，射线； (2)作线段，延长至点，使得； (3)比较线段长短：_______，比较角的大小：_______（填“”，“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查直线，射线，线段的作图，三角形外角的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）以为圆心，以的长为半径画弧交延长线于，点即为所求，连接即可； （3）根据，三角形外角的性质即可判定． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）由题意得，． 故填：，． 题型 角的度数大小比较 ▌例2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若，则_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查角度的大小比较，解决本题的关键是把角度统一单位后再进行比较． 先统一单位再进行比较即可得出答案． 【详解】解：∵， ． 故答案为：． 解题贴士 比较度分秒与小数度，必须先统一格式，要么全部化为小数度，要么全部化为度分秒；分转度除以60，注意不要直接把小数部分和分数字对比。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）比较大小：_____（用＞，＜或＝连结）． 【答案】＜ 【分析】本题考查的是角度的大小比较，角的单位换算，先把化为从而可得答案． 【详解】解：∵， 而， 故答案为：＜． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）比较大小：______（用，或连结） 【答案】 【分析】此题考查了角度的换算和比较大小，熟练掌握角度的换算是解题得关键．求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解∶图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选∶ A． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列各角中，为锐角的是（    ） A．平角 B．周角 C．直角 D．周角 【答案】B 【分析】求出各个选项的角的度数，再判断即可． 【详解】解：A. 平角=90°，不符合题意； B. 周角=72°，符合题意； C. 直角=135°，不符合题意； D. 周角=180°，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了角的度量，解题关键是明确周角、平角、直角的度数． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】先把化为，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，而， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查的是角的单位换算，角的大小比较，熟记角的60进位制是解本题的关键． 4．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，在边长相等的正方形网格中，与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是正确作出辅助线．取格点，使得，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使得， ， ， 故选：A． 5．（25-26七年级上·北京平谷·期末）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么___________    【答案】> 【分析】本题主要考查了角的大小比较，关键是掌握叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．取格点E，作射线，则，依据叠合法即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则，    由图可得，， ∴， 故答案为：>． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）比较大小：______（填“”、“”“”）． 【答案】< 【分析】本题考查角的大小比较，掌握度、分、秒的换算是解题关键．将化成，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：<． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，则________； 如果，则___________． 【答案】 = > 【分析】根据两个角都与∠2相等，即可得到∠1=∠3；根据∠1＞∠2，∠2＞∠3即可得到∠1＞∠3． 【详解】解：如果，，则； 如果，，则． 故答案为：=，＞． 【点睛】本题主要考查了角的比较，解题的关键是掌握角之间的关系的转化． 8．（25-26七年级上·全国·课前预习）比较角的大小： 方法一：度量法（分别用量角器测量∠AOB、_______的大小，再进行比较．） 方法二：叠合法（点O与点O′重合，点B与点B′重合，观察点A与点A′ 的位置） 【答案】∠A′O′B′ 【解析】略 9．（25-26七年级上·浙江台州·期末），． （1）___(请用，，填空) （2）___． 【答案】 【分析】题主要考查了角的大小比较，角的求和计算； （1）根据角度的单位度、分、秒之间的关系为进制，将角度的单位统一，再进行大小比价即可； （2）根据角度的单位度、分、秒之间的关系为进制，将角度的单位统一，再进行加法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故． 故答案为：； （2）， 所以． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·山东聊城·期中）对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角的大小比较，根据图形和角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）由题意得，， 故答案为：； （4）由题意得，， 故答案为：． 素养提升 11．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的网格是正方形网格，_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格特点可知，，， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·浙江金华·期末）比较大小：_____________．（用＞，＜或＝连结） 【答案】 【分析】将化成，然后再进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是角的大小比较，将化成是解题的关键． 13．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，，则______（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查角度的大小比较，解决本题的关键是把角度统一单位后再进行比较． 先统一单位再进行比较即可得出答案． 【详解】解：∵， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小：______，______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、角度的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则和角度的单位制是解题关键．根据负数的绝对值大的反而小、求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴． ∵ ， ∴， 故答案为：，． 15．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若，，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 迁移创新 16．（25-26七年级·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握和是解题关键．根据和将进行化简，再比较大小即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：A． 17．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须将可能出现的所有情况分别讨论得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为“分类思想”． 例：在数轴上表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，求a的值． 解：如图， 当数a表示的点在﹣2表示的数的左边时，a＝﹣2﹣3＝﹣5 当数a表示的点在﹣2表示的数的右边时，a＝﹣2＋3＝1 所以，a＝﹣5或1 请你仿照以上例题的方法，解决下列问题（写出必要的解题过程） （1）同一平面内已知∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数． （2）已知ab＞0，求＋的值． （3）小明去商店购买笔记本，某笔记本的标价为每本2.5元，商店搞促销：购买该笔记本10本以下（包括10本）按原价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的50%出售． ①若小明购买x本笔记本，需付款多少元？ ②若小明两次购买该笔记本，第二次买的本数是第一次的两倍，费用却只是第一次的1.8倍，这种情况存在吗？如果存在，请求出两次购买的笔记本数；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠AOC的度数为55°或85°；（2）2或-2；（3）①当0≤x≤10时，需付2.5x元；当x＞10时，需付款1.25x+12.5元；②这种情况存在，第一次购书40本，第二次购书80本． 【分析】（1）分OC在∠AOB内部和外部两种情况分别求之可得； （2）由ab＞0分a、b同为正数和同为负数分别求代数式的值即可； （3）①分两种情况：0≤x≤10和x＞10根据题意分别列代数式可得；②设第一次购买x本，则第二次购买2x本，分第一次购买10本以下、第二次购买超过10本，第一次和第二次都超过10本两种情况分别列出方程求解，结合题意取舍可得． 【详解】解：（1）∵∠AOB=70°，∠BOC=15°， ∴当OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=55°， 当OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=85°； 综上，∠AOC的度数为55°或85°； （2）∵ab＞0， ∴当a＞0，b＞0时，=1+1=2， 当a＜0，b＜0时，=-1-1=-2； 综上，＋的值为2或-2； （3）①当0≤x≤10时，需付2.5x元， 当x＞10时，需付款为：10×2.5+（x-10）×2.5×50%=1.25x+12.5（元）； ②当第一次购买10本以下，第二次购买超过10本时， 列方程为：2.5x×1.8=2.5×10+0.5×2.5（2x-10）， 解得：x=6.25（不是整数，不合题意）； 当第一次和第二次都超过10本时， 列方程为：[2.5×10+0.5×2.5（x-10）]×1.8=2.5×10+0.5×2.5（2x-10）， 解得：x=40， 则2x=80． 答：这种情况存在，第一次购书40本，第二次购书80本． 【点睛】本题考查了分类讨论思想和一元一次方程的应用，解答的关键是考虑到所有的情况不重不漏和找到相等关系列出方程． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $