6.5角与角的度量（讲义，3个知识点6大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“角与角的度量”核心知识点，系统梳理角的静态与动态定义、四种规范表示方法、度分秒换算与运算，以及角的分类、钟面角、方向角等应用，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如钟面角、方向角）培养数学眼光，通过“易错提醒”“解题贴士”强化数学思维（运算能力、推理意识），规范表示与换算训练数学语言。课中随学随练即时巩固，课后分层练习助力查漏补缺。

第六章 图形的初步认识 6.5 角与角的度量 课标要点 1.结合生活实例理解角的两种定义：静态有公共端点的两条射线组成的图形、动态射线绕端点旋转形成的图形，认识角的顶点与两条边。 2.掌握角的三种规范表示方法，区分多共顶点角用数字/希腊字母标注的书写要求，避免表示混淆。 3.认识角的度量单位度、分、秒，熟记换算进率：1°=60'，1'=60''，熟练进行度分秒互化、加减计算。 4.学会用量角器测量已知角、按指定度数画角，规范量角、画角操作步骤。 5.能识别平角、周角、直角，理清平角、周角、直角之间的度数关系，初步建立角度大小直观认知。 学习重难点 重点： 1.角的概念与规范表示方法。 2.度、分、秒单位换算与角度加减运算；量角器量角、画角操作。 3.直角、平角、周角的度数。 难点： 1.同一个顶点多个角时，选用合适方式标注、表示单个角，防止指代不清。 2.度分秒进位、借位计算，换算时进率混淆出错。 3.区分角的静态、动态定义，理解周角、平角与直线、射线的本质区别。 知识点 角的两种定义（重点） 1.静态定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。 2.动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形；起始位置射线叫始边，终止位置射线叫终边。 易错提醒 角的两边是射线，不可说成线段；单独一条射线不能构成角。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，如图所示，若从点O出发的n条射线，可以组成角的个数是 【详解】解：组成角的个数是 故选C． 【点睛】此题主要考查了角的概念以及应用，要熟练掌握．利用公式：从点O出发的n条射线，组成角的个数为，是解决问题的关键． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）对下面图形的描述，错误的是（    ） A．点在直线上 B．射线在内部 C．直线与直线相交于点 D．点、位于直线两侧 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，两直线交点问题和角有关的概念辨析，根据以上知识对各选项进行判断作答即可． 【详解】 解：A. 点不在直线上，故该选项不正确，符合题意； B. 射线在内部，故该选项正确，不符合题意； C. 直线与直线相交于点，故该选项正确，不符合题意； D. 点、位于直线两侧，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 知识点 角的四种表示方法（重点） 1.用三个大写字母：∠AOB，顶点字母必须写中间； 2.顶点只有一个角时，可用顶点一个大写字母：∠O； 3.用数字标注：∠1、∠2； 4.用小写希腊字母：∠α、∠β、∠γ。 易错提醒 同一个顶点处有多个角时，不能只用顶点单个字母表示，会产生歧义。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下图中标注的角可以用∠O来表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：A、标注的角须三个字母表示，故此选项不符合题意； B、标注的角须三个字母表示为∠AOB，故此选项不符合题意； C、标注的角须三个字母表示为∠COD，故此选项不符合题意； D、标注的角可以表示为∠O，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角定义以及表示方法，正确表示角是解题关键． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以B为顶点的角； (3)图中所有小于平角的角． 【答案】(1)能用一个大写字母表示的角有， (2)以B为顶点的角有3个，分别为：（或，（或， (3)图中所有小于平角的角有：，，，，，， 【分析】（1）根据图中以、为顶点的角只有一个即可得出结论； （2）根据以为顶点的角有3个，再根据角的表示方法即可得出结论； （3）根据角的表示方法即可得出结论． 【详解】（1）解：图中以、为顶点的角只有一个， 能用一个大写字母表示的角有，； （2）解：以为顶点的角有3个，分别为：（或，（或，； （3）解：图中所有小于平角的角有：，，，，，，． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，解题的关键是熟知角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、表示，或用阿拉伯数字表示． 知识点 角的度量单位与换算 1.单位：度（°）、分（′）、秒（″），六十进制。 2.换算关系：1°=60′，1′=60″，1°=3600″。 特别提醒 填空计算题高频考点，包含度分秒互化、加减计算。 易错提醒 单位换算为六十进位，不是十进制，换算时容易直接乘除10出错。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）将化成度的形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查角度单位换算．根据角度的单位换算，求出即可． 【详解】解：， 所以； 故答案为： 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）将化为度、分、秒的形式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，关键是掌握大单位化成小单位乘进率；根据度、分、秒的换算关系，将小数部分转换成分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型 角的分类 ▌例1 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）下列各角中是钝角的是（　　） A．周角 B．平角 C．周角 D．2直角 【答案】B 【分析】根据大于直角（）小于平角（）的角叫做钝角、等于的角叫周角、等于的角叫平角、等于的角叫直角来解答． 【详解】解：A、，是锐角； B、，是钝角； C、，是直角； D、，是锐角． 故选：B． 【点睛】此题考查了钝角、直角、平角、周角的概念，属于基础题，难度不大，熟悉概念即可进行正确计算． 解题贴士 平角：180°，周角：360°。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确．这名同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】先根据，都是钝角求出的取值范围，再看哪个同学所求结果在范围内即可． 【详解】∵，都是钝角， ∴， 即， ∴， 在甲、乙、丙、丁四名同学的计算结果中，只有乙同学的结果在范围内， 故选B． 【点睛】本题考查了钝角的定义，解题的关键是根据钝角的取值范围求出． 9． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为 ∠A=n∠B（n≠0），探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型 钟面角 ▌例2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）时钟显示的时间为4时30分，则时针与分针所夹的锐角为 _______度． 【答案】45 【分析】本题考查钟面角，掌握钟面角的定义以及钟面上时针、分针在旋转过程中所成角度的变化关系是正确解答的关键．根据钟面角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，由钟面角的定义可知，，， ∴， 即钟面上4时30分，时针与分针所夹的锐角为， 故答案为：45． 解题贴士 时针每小时转30°，每分钟转0.5°，分针每小时转360°，每分钟转6°。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，下午4：00的时针和分针所构成角的度数为_____度． 【答案】 【分析】本题考查钟面角的计算，关键是掌握钟面大格与角度的对应关系．钟表表盘是周角，被平均分为个大格，因此每个大格对应角度为；下午4：00时，时针指向4、分针指向，两者间隔4个大格，用大格数乘以每个大格的角度即可求出夹角． 【详解】解：∵钟表表盘一圈为，且被平均分成个大格， ∴每个大格对应的角度为， 下午4：00时，时针与分针之间间隔4个大格， ∴时针和分针所构成角的度数为； 故答案为：． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 【答案】A 【分析】本题考查时钟追及问题，需先明确时针与分针的转速，再根据两次成时分针比时针多走的角度列方程求解． 【详解】解：∵分针每分钟转的角度为，时针每分钟转的角度为， 从第一次成到第二次成，分针比时针多转 设经过分钟，根据题意列方程： ， 解得， ∴共经过分钟． 故选：A 题型 角的单位与角度值 ▌例3 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）______（用度、分、秒表示）． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒之间的进制即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 解题贴士 1.小数度转度分秒：先乘60得到分，分的小数部分再乘60得到秒； 2.度分秒转小数度：秒÷60化成分，分÷60化成度，全部相加。 ▌对点练3-1 （浙江省七年级上学期期末真题必刷常考60题（41个考点专练）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版2024））用度表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算．从大单位到小单位要乘以进率，而从小单位到大单位要除以进率． 根据度分秒的进率为60，进行换算，即可． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小：_______．（填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了角度制，将换算成，从而进行比较即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 题型 角度的四则运算 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，则_____．（结果用度表示） 【答案】 【分析】本题考查了角度运算，掌握角度的运算法则是解题的关键． 先将的度数化为以度为单位，再进行相加即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：． 解题贴士 角度加减必须先统一格式：要么全部化为度分秒，要么全部化为小数度。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）______（结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【分析】本题考查了角的单位与角度制，根据度分秒之间60进制的关系计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， 故答案为：． ▌对点练4-2 （专题6-2角及角度计算（考题猜想，易错必刷58题13种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024））___________ 【答案】 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． 先计算乘法，再计算加减，即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． ▌对点练4-3 （6.5角与角的度量（5大题型题分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．（1）1度分，即，1分秒，即，依此计算加法； （2）1度分，即，1分秒，即，依此计算减法； （3）1度分，即，1分秒，即，依此计算乘法； （4）1度分，即，1分秒，即，依此计算除法． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型 方向角的表示 ▌例5 （25-26七年级上·浙江金华·期末）下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了方位角，熟练掌握方位角的意义是解题的关键．根据方位角的定义进行解答即可． 【详解】解：射线是表示北偏东方向的是： 故选：C 解题贴士 先说南北，后说东西；以南北轴为基准线，向东/西量角度。 ▌对点练5-1 （6.8余角和补角（5大题型题分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））如图，射线表示方向是 ___________． 【答案】东北方向或北偏东 【详解】解：射线所指方向为东北方向或北偏东． 故答案为：东北方向或北偏东． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·浙江丽水·期末）小明的学校和家的位置如图所示，那么家应该在学校的（    ） A．北偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】本题考查的是方向角的概念，解题的关键是数形结合．根据方位角的概念，结合图形即可求解． 【详解】解：从图中我们会发现小明家在学校的北偏东方向， 故选：C． 题型 与方向角有关的计算题 ▌例6 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方位角，理解相关概念是解决问题的关键．根据表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，可知的度数，进而可求得题目所求的． 【详解】解：∵表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线， ∴， ， ． 故选：D． 解题贴士 十字坐标轴横竖各为90°，把大角拆成南北、东西轴之间的小角度分段求和。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，甲从处出发向北偏东方向行至处，乙从处出发向南偏西方向行至处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角的计算，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．首先求得与正东方向的夹角的度数，然后结合图形，由求解即可． 【详解】解：根据题意，与正东方向的夹角的度数是， 则． 故选：D． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，渔船A在点O的南偏东方向，渔船B在点O的北偏东方向，且，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，解题的关键是熟练掌握方向角的定义． 根据角度间的关系进行解答即可． 【详解】解：∵渔船A在点O的南偏东方向，渔船B在点O的北偏东方向，， ∴． 故选：B． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，射线的方向是北偏东20°，射线的方向是西北方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是计算出得度数．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．根据方向角的定义，得到的度数，即可解答． 【详解】解：如图，   ∵射线的方向是西北方向， ∴ ∵射线的方向是北偏东20°， ∴ 即 故选：C 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）下面等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的运算，根据，计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，，互不相等 【答案】B 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【详解】解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，从早上到同一天早上，时钟的分针旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了时钟分钟转过的角度问题，解题的关键是求出时钟的分针一分钟走．由题意可得时钟一共走了分钟，然后乘以求解即可． 【详解】解：从上午到当天上午， 时钟一共走了100分钟， ， 时钟的分针一分钟走， ． 故选D． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握的换算关系是解题的关键． 根据度与分的换算关系，将分转化为度后与原度数相加，关键是掌握的换算进率． 【详解】解：， ， ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江金华·期末）化为用度表示是______. 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算．利用度分秒之间的进率换算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（6.4角（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（青岛版2024））关于度、分、秒的换算： （1）_______； （2）___________； （3）___________； （4）______________________＇___________＇＇． 【答案】 / 【分析】本题考查角度的互化，根据，化简即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， 故答案为：，，，、、． 8．（2026·浙江·模拟预测）______． 【答案】 【详解】解： . 9．（6.4角（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（青岛版2024））如果，，则_________，_________． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，角的和差计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据角度的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ； ∴， ， ． 故答案为：，． 10．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在下午时整，时针和分针构成的角度是____________度． 【答案】150 【分析】本题考查求钟面角，根据钟面上分为12格，每一格的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知：下午时整，时针和分针构成的角度是； 故答案为：150． 素养提升 11．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）我县某中学举行越野赛，学生于早上7点在操场集合，裁判长强调了比赛规则和安全方面的注意事项．出发时，裁判长看了手表刚好是7点分，此刻时针和分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有关时针分针夹角的计算，计算出时针一分钟所走的角度，再计算出两个大刻度之间的度数即可得到答案 【详解】解：由题意可得，时针一分钟走：， 4与7所组成的夹角为：， ∴时针和分针的夹角为：， 故选：C． 12．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）规律作息可以使人体有充分的时间休息，为养成良好的作息习惯，小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为___________度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键．根据时钟上一大格是进行计算，即可解答． 【详解】解：点分，时针与分针相差 ， 小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为度， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 14．（25-26六年级下·浙江杭州·期末）下面是小明家附近街区的示意图． (1)图书馆位于，向南走，正好到达超市，超市的位置是(_______，_______)； (2)小明家位于，学校在他家西偏北约处，请使用作图工具在图中准确标出学校的位置，并用表示．（保留作图痕迹） 【答案】(1)2，2 (2)见解析 【分析】本题考查方向和距离确定位置、用数对确定位置，理解数对表示位置的方法是解答的关键． （1）根据所给信息确定超市位置，即可解答； （2）结合网格特点和已知，用直尺画出方向的射线，借助圆规，以小明家为圆心，两格长度为半径交射线于点S，即为所求． 【详解】（1）解：图书馆位于，向南走，即向下走3格，正好到达超市， 则超市的位置为， 故答案为：2，2； （2）解：如图，点S（即学校）即为所求： 15．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知，点在射线上． (1)在的内部画射线； (2)在射线上取点，使； (3)在射线上确定点，使得最短； (4)所画图形中共有_____个角（小于平角的角）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查尺规作图—作线段，线段的性质，角的分类和个数，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）在角的内部任取一点，连接并延长即可； （2）以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （3）根据两点之间线段最短，连接交于点即可； （4）数出图中角的个数即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：图中小于平角的角有，共11个． 迁移创新 16．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中均匀分布，分针分钟转动一周是，时针分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转度，时针转速为每分钟转度． 素材2 当时钟显示时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从：到．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此点分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度，因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示：时，时针与分针所成角度为，在：到：的分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 ：之后的下一个美妙时刻是______， 一天个小时内，共有______个美妙时刻． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：； 【分析】本题考查了时钟中分针与时针的角度问题，考查了角度的计算，一元一次方程的应用等知识，属于研究性学习内容，难度较大． 任务：按照题干素材，点整，时针与分针所成角度是；从而求得时针与分针的夹角； 任务：设点分时，时针与分针垂直，由题意，得，解方程即可得解； 任务：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，则时针每分钟少旋转，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为分，进而求得下一个美妙时刻，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解． 【详解】解：任务： 当时钟显示：时，时针与分针所成角度为 任务：设点分时，时针与分针垂直， 由题意，得， 解得 答：所求的时间为（也可写成时分）． 任务：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转， 则时针每分钟少旋转， 到达下一个美妙时刻需要的时间为分时分， ∴之后的下一个美妙时刻是 一天有分钟， ， 即一天有个美妙时刻， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 图形的初步认识 6.5 角与角的度量 课标要点 1.结合生活实例理解角的两种定义：静态有公共端点的两条射线组成的图形、动态射线绕端点旋转形成的图形，认识角的顶点与两条边。 2.掌握角的三种规范表示方法，区分多共顶点角用数字/希腊字母标注的书写要求，避免表示混淆。 3.认识角的度量单位度、分、秒，熟记换算进率：1°=60'，1'=60''，熟练进行度分秒互化、加减计算。 4.学会用量角器测量已知角、按指定度数画角，规范量角、画角操作步骤。 5.能识别平角、周角、直角，理清平角、周角、直角之间的度数关系，初步建立角度大小直观认知。 学习重难点 重点： 1.角的概念与规范表示方法。 2.度、分、秒单位换算与角度加减运算；量角器量角、画角操作。 3.直角、平角、周角的度数。 难点： 1.同一个顶点多个角时，选用合适方式标注、表示单个角，防止指代不清。 2.度分秒进位、借位计算，换算时进率混淆出错。 3.区分角的静态、动态定义，理解周角、平角与直线、射线的本质区别。 知识点 角的两种定义（重点） 1.静态定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。 2.动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形；起始位置射线叫始边，终止位置射线叫终边。 易错提醒 角的两边是射线，不可说成线段；单独一条射线不能构成角。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）对下面图形的描述，错误的是（    ） A．点在直线上 B．射线在内部 C．直线与直线相交于点 D．点、位于直线两侧 知识点 角的四种表示方法（重点） 1.用三个大写字母：∠AOB，顶点字母必须写中间； 2.顶点只有一个角时，可用顶点一个大写字母：∠O； 3.用数字标注：∠1、∠2； 4.用小写希腊字母：∠α、∠β、∠γ。 易错提醒 同一个顶点处有多个角时，不能只用顶点单个字母表示，会产生歧义。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下图中标注的角可以用∠O来表示的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以B为顶点的角； (3)图中所有小于平角的角． 知识点 角的度量单位与换算 1.单位：度（°）、分（′）、秒（″），六十进制。 2.换算关系：1°=60′，1′=60″，1°=3600″。 特别提醒 填空计算题高频考点，包含度分秒互化、加减计算。 易错提醒 单位换算为六十进位，不是十进制，换算时容易直接乘除10出错。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）将化成度的形式：___________． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）将化为度、分、秒的形式为___________． 题型 角的分类 ▌例1 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）下列各角中是钝角的是（　　） A．周角 B．平角 C．周角 D．2直角 解题贴士 平角：180°，周角：360°。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确．这名同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为 ∠A=n∠B（n≠0），探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 题型 钟面角 ▌例2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）时钟显示的时间为4时30分，则时针与分针所夹的锐角为 _______度． 解题贴士 时针每小时转30°，每分钟转0.5°，分针每小时转360°，每分钟转6°。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，下午4：00的时针和分针所构成角的度数为_____度． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 题型 角的单位与角度值 ▌例3 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）______（用度、分、秒表示）． 解题贴士 1.小数度转度分秒：先乘60得到分，分的小数部分再乘60得到秒； 2.度分秒转小数度：秒÷60化成分，分÷60化成度，全部相加。 ▌对点练3-1 （浙江省七年级上学期期末真题必刷常考60题（41个考点专练）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版2024））用度表示为___________． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小：_______．（填“”，“”，“”） 题型 角度的四则运算 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，则_____．（结果用度表示） 解题贴士 角度加减必须先统一格式：要么全部化为度分秒，要么全部化为小数度。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）______（结果用度、分、秒表示）． ▌对点练4-2 （专题6-2角及角度计算（考题猜想，易错必刷58题13种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024））___________ ▌对点练4-3 （6.5角与角的度量（5大题型题分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 方向角的表示 ▌例5 （25-26七年级上·浙江金华·期末）下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 先说南北，后说东西；以南北轴为基准线，向东/西量角度。 ▌对点练5-1 （6.8余角和补角（5大题型题分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））如图，射线表示方向是 ___________． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·浙江丽水·期末）小明的学校和家的位置如图所示，那么家应该在学校的（    ） A．北偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏西方向 题型 与方向角有关的计算题 ▌例6 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 十字坐标轴横竖各为90°，把大角拆成南北、东西轴之间的小角度分段求和。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，甲从处出发向北偏东方向行至处，乙从处出发向南偏西方向行至处，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，渔船A在点O的南偏东方向，渔船B在点O的北偏东方向，且，则为（　　） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，射线的方向是北偏东20°，射线的方向是西北方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）下面等式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，，互不相等 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，从早上到同一天早上，时钟的分针旋转了（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）___________． 6．（25-26七年级上·浙江金华·期末）化为用度表示是______. 7．（6.4角（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（青岛版2024））关于度、分、秒的换算： （1）_______； （2）___________； （3）___________； （4）______________________＇___________＇＇． 8．（2026·浙江·模拟预测）______． 9．（6.4角（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（青岛版2024））如果，，则_________，_________． 10．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在下午时整，时针和分针构成的角度是____________度． 素养提升 11．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）我县某中学举行越野赛，学生于早上7点在操场集合，裁判长强调了比赛规则和安全方面的注意事项．出发时，裁判长看了手表刚好是7点分，此刻时针和分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）规律作息可以使人体有充分的时间休息，为养成良好的作息习惯，小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为___________度． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（25-26六年级下·浙江杭州·期末）下面是小明家附近街区的示意图． (1)图书馆位于，向南走，正好到达超市，超市的位置是(_______，_______)； (2)小明家位于，学校在他家西偏北约处，请使用作图工具在图中准确标出学校的位置，并用表示．（保留作图痕迹） 15．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知，点在射线上． (1)在的内部画射线； (2)在射线上取点，使； (3)在射线上确定点，使得最短； (4)所画图形中共有_____个角（小于平角的角）． 迁移创新 16．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 17．（25-26七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中均匀分布，分针分钟转动一周是，时针分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转度，时针转速为每分钟转度． 素材2 当时钟显示时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从：到．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此点分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度，因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示：时，时针与分针所成角度为，在：到：的分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 ：之后的下一个美妙时刻是______， 一天个小时内，共有______个美妙时刻． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $