6.8余角和补角（讲义，4个知识点4大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“余角和补角”核心知识点，系统梳理从定义（互余两角和90°、互补两角和180°）到性质（同角等角的余角补角相等），再到基础计算（含度分秒换算、方程应用）及综合图形推理的递进学习支架。 资料特色在于融入新课标核心素养，通过“易错提醒”强化概念辨析培养数学眼光，“教材延伸”结合方程与几何推理发展数学思维，“随学随练”选用浙江期末真题提升数学语言应用。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升数形结合能力。

第六章 图形的初步认识 6.8 余角和补角 课标要点 1.结合图形理解余角、补角的定义，熟记数量关系：互余两角和为90d°，互补两角和为180°，能根据定义列式求已知角的余角、补角。 2.掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等两条性质，能用规范几何语言进行简单推理证明。 3.能结合度分秒换算，求解含度分秒角度的余角、补角，处理角度进位借位计算。 4.会解决已知一个角与它的余角/补角之间倍数、和差关系的方程类角度计算题。 5.能结合直角、平角图形识别互余、互补角，区分余角与补角概念，建立数形结合的角度推理思维。 学习重难点 重点： 1.余角、补角定义，熟练求任意锐角的余角与补角。 2.余角、补角的性质，并运用性质进行简单几何推理。 难点： 1.混淆余角、补角的度数和，计算时出错；钝角不存在余角的理解。 2.利用余补角关系列一元一次方程求解角度。 3.复杂图形中找出隐藏的互余、互补角，结合性质完成多步角度推导。 知识点 余角、补角的定义（重点） 1. 余角定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。 若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余。 2. 补角定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。 若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补。 易错提醒 1.互余是两个角的相互关系，单独一个角不能称作余角；只有锐角才存在余角； 2.直角、钝角没有余角；锐角、直角、钝角都有补角。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知与互余，且，则的度数是______． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，与互补，则___________． 知识点 余角、补角的性质（重点） 1.余角性质：同角（或等角）的余角相等。 2.补角性质：同角（或等角）的补角相等。 教材延伸 几何推理题常利用两条性质证明两个角度相等。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·期末）一副三角板按如图的四个位置摆放，其中和一定相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 知识点 余角、补角的基础计算 设一个角的度数为x： 这个角的余角：90°-x，（仅适用于0°<x<90° ） 这个角的补角：180°-x 易错提醒 列式时分清90°和180°，不要写反。 教材延伸 常结合一元一次方程出题，根据余角、补角的数量关系求原角度数。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）一个角的余角比它本身大，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江台州·开学考试）与锐角互补，平分，平分，若，则_________（可用含的式子表示）． 知识点 角度综合计算 结合图形中的角平分线、角的和差，搭配互余、互补条件，求解未知角度。 教材延伸 单元解答经典几何计算题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，． (1)若，求的度数． (2)若与互补，求的度数． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方，射线在直线的下方，且平分， ． (1)请写出的一个余角． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 题型 求一个角的余角 ▌例1 （25-26七年级上·浙江湖州·期末）一个角的度数是，则它的余角度数为（   ） A． B． C． D． 解题贴士 余角：和为90°。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，与互为余角，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江湖州·期末）已知，则的余角为___________． 题型 求一个角的补角 ▌例2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知与互补，且，则______． 解题贴士 补角：和为180°。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一个角的度数是，则它的补角的度数为______． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）是的补角，若，则______． 题型 与余角、补角有关的角度计算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，点在直线上，射线，，在直线的同一侧，平分，． (1)当时，求的度数． (2)当与互补时，求的度数． 解题贴士 1.分不清“互补”“互余”：互补180°，互余90°； 2.角平分线只算一半，不要忘记乘2或除以2； 3.平角计算漏加某一条射线的角，画图逐个标注再相加，避免漏项； 4.求∠BOC容易错把中间角全部相加，优先用180°-∠AOC更简便。 ▌对点练3-1 （24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图1，已知，与是内部的两条射线，将沿翻折得到射线． (1)若，则____________． (2)如图2，继续将沿翻折，得到射线，并且均在的内部． ①当射线与重合时，求的度数． ②若，当与互余时，求的度数． 题型 同（等）角的余（补）角相等 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 解题贴士 1. 双角平分线模型：一组邻补角各自的角平分线互相垂直，夹角恒为90°； 2等式类结论，用“等量代换”把所有角换成同一个基准角（本题∠ AOC对比。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线． (1)请用一个直角三角尺作出的平分线； (2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由． 理由：因为是的平分线， 所以． 因为_________， 所以________， _______°． 因为， 所以____________（理由：__________）． 所以是的平分线． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数5.7万精确到十分位 B．16的平方根是4 C．单项式的系数是2 D．同角的补角相等 3．（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，某一时刻货轮发现灯塔在它的北偏西的方向上，海岛在它的南偏东的方向上．下列结论正确的是（    ） A． B． C．和互余 D． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·浙江·开学考试）若与互为补角，比小，则为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知一个角的度数是，则这个角的余角为___________． 7．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，则这个角的度数为______ . 8．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如果一个角的补角是，那么这个角的余角是_____． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知一副三角板按如图所示放置，若，则______． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知． (1)若，求的度数． (2)与互补吗？请说明理由． 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，是的平分线，． (1)试判断与度数之间的等量关系，并说明理由． (2)若与互补，试说明与互余． 素养提升 12．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以直线上一点O为端点分别作射线，，，，平分，则下列结论：①一定是的角平分线；②当时，的度数是．其中正确的结论是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 13．（25-26七年级上·浙江台州·期末）是的补角，是的余角，若，则的度数为______． 14．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 15．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在一起． (1)图2是由图1抽象出的几何图形，且，若，求的度数． (2)现在把含角的三角尺绕直角顶点，按逆时针方向转动至图3的位置（转动的角度小于平角）． ①请借助量角器和圆规，在图4中补全由图3所抽象出的几何图形，参照图2标上相应的字母． ②第①题中和有怎样的数量关系？请说明理由． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）【观察发现】 （1）如图1，点在线段上，点是线段的中点，点在线段上，且，小迎观察发现线段和存在关系：____________．（填写具体数值） 【类比探究】 （2）小舟类比如上构图过程，提出了如下问题： 如图2，射线在的内部，射线平分，射线在内部，且，则和存在关系：______________． 【解决问题】 （3）如图2，在（2）的条件下，若和互补，求的度数． 迁移创新 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）【概念学习】若的度数为的度数的倍，则规定是的倍角． 【初步探究】 （1）若，则的5倍角的度数为________； （2）如图①，是的平分线，是的平分线，若，请直接写出图中的所有3倍角； 【深入思考】 （3）如图②，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 18．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）规定：从一个角的顶点出发，在角的内部作两条射线，若这两条射线所夹的角与原角互补，则这个夹角叫做原角的“内补角”．如图①所示，若与互补，则是的内补角． (1)如图①所示，已知，是的内补角，求； (2)如图②所示，记，将绕点O按顺时针方向旋转至，若是的内补角，求； (3)把一副三角板按图③放置，其中，，，再将三角板绕顶点A按顺时针方向旋转一周，速度为3度/秒，问：在三角板旋转的过程中，射线，，，能否形成内补角？若能，求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 图形的初步认识 6.8 余角和补角 课标要点 1.结合图形理解余角、补角的定义，熟记数量关系：互余两角和为90d°，互补两角和为180°，能根据定义列式求已知角的余角、补角。 2.掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等两条性质，能用规范几何语言进行简单推理证明。 3.能结合度分秒换算，求解含度分秒角度的余角、补角，处理角度进位借位计算。 4.会解决已知一个角与它的余角/补角之间倍数、和差关系的方程类角度计算题。 5.能结合直角、平角图形识别互余、互补角，区分余角与补角概念，建立数形结合的角度推理思维。 学习重难点 重点： 1.余角、补角定义，熟练求任意锐角的余角与补角。 2.余角、补角的性质，并运用性质进行简单几何推理。 难点： 1.混淆余角、补角的度数和，计算时出错；钝角不存在余角的理解。 2.利用余补角关系列一元一次方程求解角度。 3.复杂图形中找出隐藏的互余、互补角，结合性质完成多步角度推导。 知识点 余角、补角的定义（重点） 1. 余角定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。 若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余。 2. 补角定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。 若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补。 易错提醒 1.互余是两个角的相互关系，单独一个角不能称作余角；只有锐角才存在余角； 2.直角、钝角没有余角；锐角、直角、钝角都有补角。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知与互余，且，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了余角，根据余角的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互余， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，与互补，则___________． 【答案】/127度 【分析】本题考查求一个角的补角，根据互补的定义，两个角之和为，则这两个角互补，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意； 故答案为： 知识点 余角、补角的性质（重点） 1.余角性质：同角（或等角）的余角相等。 2.补角性质：同角（或等角）的补角相等。 教材延伸 几何推理题常利用两条性质证明两个角度相等。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·期末）一副三角板按如图的四个位置摆放，其中和一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度关系以及计算．根据图形中两个角的位置关系依次确定度数关系，从而可得答案． 【详解】解：A、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； B、由同角的余角相等可得，故该选项符合题意； C、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； D、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了几何图中角的计算，数形结合，熟练掌握余角的性质，是解题的关键． （1）根据余角的性质进行求解即可； （2）根据，求出结果即可； （3）根据与的数量关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ； （2）解：， ； （3）解：，理由如下： ， ， ． 知识点 余角、补角的基础计算 设一个角的度数为x： 这个角的余角：90°-x，（仅适用于0°<x<90° ） 这个角的补角：180°-x 易错提醒 列式时分清90°和180°，不要写反。 教材延伸 常结合一元一次方程出题，根据余角、补角的数量关系求原角度数。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）一个角的余角比它本身大，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．通过设未知数建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 根据题意得：， 移项得：， 即， 解得， 故选A． 2．（25-26七年级下·浙江台州·开学考试）与锐角互补，平分，平分，若，则_________（可用含的式子表示）． 【答案】或 【分析】根据题目条件画出图形进行求角，注意要分两种情况，即、、三点在不在同一直线上． 【详解】①若、、在同一条直线上，如图： 与锐角互补， ， 平分，平分， ， ， ． ②当、、不在同一条直线上时，如图： 与锐角互补， ， 平分，平分， ， ， ． 综上所述：或． 知识点 角度综合计算 结合图形中的角平分线、角的和差，搭配互余、互补条件，求解未知角度。 教材延伸 单元解答经典几何计算题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，． (1)若，求的度数． (2)若与互补，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，补角的定义，解题的关键是： （1）设，结合已知求出，，，结合得出，即可求解； （2）由（1）得，，结合与互补得出，即可求解． 【详解】（1）解：设， ， 又， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，． 因为， 所以， 解得， 所以． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方，射线在直线的下方，且平分， ． (1)请写出的一个余角． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】本题主要考查几何中角度的和差计算，角平分线的定义，互余的概念及计算． （1）根据余角的概念，结合图形求解即可； （2）根据同角的余角相等得到，再根据角平分线的定义即可求解； （3）根据题意得到，结合题意得到，根据平角等于列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的一个余角是（或）； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 题型 求一个角的余角 ▌例1 （25-26七年级上·浙江湖州·期末）一个角的度数是，则它的余角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的求解，根据余角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可得到余角 【详解】解：， 则它的余角度数为， 故选：C 解题贴士 余角：和为90°。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，与互为余角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个角的余角，根据余角的性质：两个角互为余角时，它们的和为，因此用减去已知角即可求解． 【详解】解：∵与互为余角， ∴ 又∵， ∴， 故选：A． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江湖州·期末）已知，则的余角为___________． 【答案】 【分析】此题考查余角的定义．根据两角之和为互为余角，即可求解． 【详解】解：，则的余角为， 故答案为：． 题型 求一个角的补角 ▌例2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知与互补，且，则______． 【答案】/112度 【分析】本题考查了求一个角的补角，熟练掌握补角定义是解题的关键； 根据在同一平面内的两个角相加的和等于，这两个角互补进行求解即可． 【详解】解：∵与互补，且， ∴， ∴， 故答案为：． 解题贴士 补角：和为180°。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一个角的度数是，则它的补角的度数为______． 【答案】/138度 【分析】本题考查了补角的定义，理解补角的定义是解题的关键． 根据补角的定义，两个角互为补角时，它们的和为，因此用减去已知角即可得到补角的度数． 【详解】解：∵一个角的度数为， ∴它的补角的度数为， 故答案为：． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）是的补角，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查补角：根据补角的定义，两个补角的和为，利用已知角计算即可． 【详解】解：∵是的补角， ∴． 故答案为：． 题型 与余角、补角有关的角度计算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，点在直线上，射线，，在直线的同一侧，平分，． (1)当时，求的度数． (2)当与互补时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与余角、补角相关的计算，角平分线的定义． （1）根据得出，进而得出，根据平分，即可求解； （2）根据已知得出，根据角平分线的定义可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 解题贴士 1.分不清“互补”“互余”：互补180°，互余90°； 2.角平分线只算一半，不要忘记乘2或除以2； 3.平角计算漏加某一条射线的角，画图逐个标注再相加，避免漏项； 4.求∠BOC容易错把中间角全部相加，优先用180°-∠AOC更简便。 ▌对点练3-1 （24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先利用已知得出的度数，再计算出、、、的度数，然后再分析即可． 【详解】解：平分， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ，故正确； ，， ，则， 射线平分，故正确； ，，， ，， 图中与互余的角有个，故正确； ， ， ，，，， ，，，，， 图中互补的角有对，故错误； 综上，四个结论正确的个数有3个． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图1，已知，与是内部的两条射线，将沿翻折得到射线． (1)若，则____________． (2)如图2，继续将沿翻折，得到射线，并且均在的内部． ①当射线与重合时，求的度数． ②若，当与互余时，求的度数． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题考查角的和差计算、互余的概念以及利用一元一次方程解决几何问题．关键在于利用翻折前后对应角相等的性质，将未知角用已知角或参数表示，再根据角的数量关系求解． （1）根据翻折性质得到，再通过与的差计算； （2）①利用翻折性质得到角的倍数关系，结合与重合时，推导出与的关系并计算； ②设，分射线在射线左侧或右侧两种情况，用表示和，根据互余的定义列方程求解，进而得到的度数． 【详解】（1）解：∵沿翻折得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）①解：∵沿翻折得到， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， 当射线与重合时，， ∴； ②解：设， 由翻折性质得：，， 第一种情况：如图，当射线在射线左侧时， ∵， ∴， ， ∵与互余， ∴， 即，解得：， ∴； 第二种情况：如图，当射线在射线右侧时， ∵， ∴， ， ∵与互余， ∴， 即，解得：， ∴； 综上所述，的度数为或． 题型 同（等）角的余（补）角相等 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等，根据角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴与互余，该选项正确，不符合题意； 、无法得到，该选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵，， ∴，该选项正确，不符合题意； 故选：． 解题贴士 1. 双角平分线模型：一组邻补角各自的角平分线互相垂直，夹角恒为90°； 2等式类结论，用“等量代换”把所有角换成同一个基准角（本题∠ AOC对比。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线． (1)请用一个直角三角尺作出的平分线； (2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由． 理由：因为是的平分线， 所以． 因为_________， 所以________， _______°． 因为， 所以____________（理由：__________）． 所以是的平分线． 【答案】(1) 作，如图： (2)；；90；；；等角的余角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键． （1）利用三角尺作，即可； （2）先推出，，然后根据等角的余角相等逐步推理证明，即可求证是的平分线． 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，解题的关键是熟练掌握余角的定义，先根据，求出的度数，然后再求出的余角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为： ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数5.7万精确到十分位 B．16的平方根是4 C．单项式的系数是2 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题需根据近似数的精确度、平方根的定义、单项式系数的定义、补角的性质，逐一判断各选项的正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、近似数5.7万，数字7在千位，故精确到千位，原说法错误，不符合题意； B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； D、同角的补角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，某一时刻货轮发现灯塔在它的北偏西的方向上，海岛在它的南偏东的方向上．下列结论正确的是（    ） A． B． C．和互余 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方向角、余角的定义，由题意可得，，，再结合图形，逐项分析即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：，，， ∴，，故A错误； ∵，， ∴，故B错误； ∵， ∴和不互余，故C错误； ∴，故D正确； 故选：D． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，以及一元一次方程的应用，解题的关键在于根据补角的定义建立方程．设这个角的度数是，则这个角的补角为，再根据补角的定义建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设这个角的度数是，则这个角的补角为， 有， 解得． 故选：B． 5．（25-26七年级下·浙江·开学考试）若与互为补角，比小，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角、一元一次方程的应用等知识点，根据互为补角的两个角的和等于用表示出，然后根据比小，列出方程求解即可． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∵比小， ∴， 解得：． 故选：C． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知一个角的度数是，则这个角的余角为___________． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义． 根据余角的定义，两个角互余则它们的和为，因此用减去已知角的度数即可得到余角的度数． 【详解】解：已知角的度数为，则其余角度数为． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，则这个角的度数为______ . 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与余角、补角有关的计算． 设这个角的度数为，然后根据补角、余角的概念结合题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则根据题意可得： ， 解得：， 即这个角的度数为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如果一个角的补角是，那么这个角的余角是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，度数之和为的两个角互补，据此求出这个角的度数，再根据度数之和为的两个角互余，据此可求出这个角的余角的度数． 【详解】解：一个角的补角是， 这个角的度数是． 这个角的余角是． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知一副三角板按如图所示放置，若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角，根据同角的余角相等即可得出答案． 【详解】解：根据同角的余角相等得：． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知． (1)若，求的度数． (2)与互补吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：与互补， 理由如下：， ， ， 与互补． 【分析】本题考考查了角度的几何计算，互补的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据求解即可； （2）由题意可得，再根据互补的定义判断即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）略 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，是的平分线，． (1)试判断与度数之间的等量关系，并说明理由． (2)若与互补，试说明与互余． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线，角的和差计算，补角和余角，掌握相关知识点是解题的关键． （1）先证和，再将表示出来，即可求解； （2）由（1）得，，根据与互补，代入即可求解． 【详解】（1）解：关系为， 理由，是的平分线， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）可知 ，， 与互补， ， ， ∴与互余． 素养提升 12．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以直线上一点O为端点分别作射线，，，，平分，则下列结论：①一定是的角平分线；②当时，的度数是．其中正确的结论是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角和补角以及角平分线的定义，余角和补角计算的运用．解题的关键是掌握余角和补角以及角平分线的定义，能够运用余角和补角进行计算． 利用角度的和差和等角的余角相等可判断①；通过角度的计算计算出的度数是可得判断②． 【详解】解：， ，， 平分， ， ，即是的角平分线，故①正确； ， 当时， 可得，， 平分， ， ，故②正确； 故选：A． 13．（25-26七年级上·浙江台州·期末）是的补角，是的余角，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了补角和余角的定义． 利用补角和余角的定义，建立方程求解的度数． 【详解】解：设的度数为x， 则，． 根据，得， 化简得， 移项得， 解得． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在一起． (1)图2是由图1抽象出的几何图形，且，若，求的度数． (2)现在把含角的三角尺绕直角顶点，按逆时针方向转动至图3的位置（转动的角度小于平角）． ①请借助量角器和圆规，在图4中补全由图3所抽象出的几何图形，参照图2标上相应的字母． ②第①题中和有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)①如图4 ② 理由如下：因为，所以， 因为， 而， 即． 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角度的和差关系． （1）根据图形可得，即可求解； （2）①根据题意画出图形，即可求解； ②根据，由，即可求解． 【详解】（1）解：因为为周角， 所以， 因为： 所以， 即： （2）①略 ②略 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）【观察发现】 （1）如图1，点在线段上，点是线段的中点，点在线段上，且，小迎观察发现线段和存在关系：____________．（填写具体数值） 【类比探究】 （2）小舟类比如上构图过程，提出了如下问题： 如图2，射线在的内部，射线平分，射线在内部，且，则和存在关系：______________． 【解决问题】 （3）如图2，在（2）的条件下，若和互补，求的度数． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了线段的和差及角的计算，熟知线段中点、角平分线的定义及能根据题意得出线段及角的数量关系是解题的关键． （1）令，，据此分别表示出和即可解决问题； （2）根据上面的解题过程进行计算即可； （3）根据题意，用方程思想即可解决问题． 【详解】解：（1）点是线段的中点， 令． 又， 令，， ，， 则， ， 即． 故答案为：； （2）平分， 令． ， 令，， ，， 则， ． 故答案为：； （）和互补， ． 又， （）， 解得． 迁移创新 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）【概念学习】若的度数为的度数的倍，则规定是的倍角． 【初步探究】 （1）若，则的5倍角的度数为________； （2）如图①，是的平分线，是的平分线，若，请直接写出图中的所有3倍角； 【深入思考】 （3）如图②，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 【答案】（1）；（2）和；（3） 【分析】本题考查了角度的运算、与角平分线有关的计算、补角，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据5倍角的定义可得的5倍角的度数为，计算角度的运算即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差求解即可得； （3）先求出，，再设，则，，，然后根据角的和差建立方程，解方程可得的值，最后根据求解即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴的5倍角的度数为 ． 故答案为：． （2）∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴图中的所有3倍角是和． （3）∵是的5倍角，是的3倍角， ∴，， 设，则，， ∵和互为补角， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 18．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）规定：从一个角的顶点出发，在角的内部作两条射线，若这两条射线所夹的角与原角互补，则这个夹角叫做原角的“内补角”．如图①所示，若与互补，则是的内补角． (1)如图①所示，已知，是的内补角，求； (2)如图②所示，记，将绕点O按顺时针方向旋转至，若是的内补角，求； (3)把一副三角板按图③放置，其中，，，再将三角板绕顶点A按顺时针方向旋转一周，速度为3度/秒，问：在三角板旋转的过程中，射线，，，能否形成内补角？若能，求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；旋转时间为秒或秒 【分析】（1）利用内补角定义，通过角度计算直接求解； （2）根据旋转性质与内补角定义，用表示相关角，建立方程求解． （3）分两种情况：当为的内补角时，当为的内补角时，分别画出图形，根据旋转，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，是的内补角， ∴． （2）解：∵将绕点O按顺时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵是的内补角， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：． （3）解：能；设旋转时间为t秒， 当为的内补角时，如图所示： 则， 根据旋转可得：，， ∴， 解得：； 当为的内补角时，如图所示： 则， 根据旋转可得：， ， ∴， 解得：， 综上，当旋转时间为秒或秒时，射线，，，能形成内补角． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $