重难点专训02 不等式恒成立与能成立问题六大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦不等式恒成立与能成立六大考法，构建“定义辨析-模型提炼-步骤标准化-易错规避”的完整方法体系，以数学思维强化逻辑推理，凸显知识逻辑递进性与解题方法迁移价值。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次不等式恒成立（R上/区间上）|典型例题+变式提升|分类讨论（一次/二次）、开口方向与判别式模型、参变分离、端点效应|从定义辨析（恒成立vs能成立）到等价转化，构建二次函数性质应用逻辑链| |一元二次不等式能成立|典型例题+变式提升|补集法、参变分离|通过否定命题简化运算，强化逻辑推理能力| |导数不等式恒成立/能成立|典型例题+变式提升|参变分离、分类讨论最值法、端点赋值、切线放缩、反面否定法|结合函数单调性与最值，深化导数工具的应用意识| |数列不等式恒成立/能成立|典型例题+变式提升|参变分离、单调性最值法（作差/作商）、补集逆向法|从离散型变量特性出发，构建数列单调性与最值判定模型|

重难点专训02 不等式恒成立与能成立问题六大考法 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 5 题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 5 题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 7 题型3 一元二次不等式在某区间上有解问题 12 题型4 利用导数研究不等式恒成立问题 14 题型5 利用导数研究不等式能成立问题 21 题型6 数列不等式恒成立（能成立）问题 25 重难专题分层过关练 30 巩固过关 30 创新提升 36 解题方法及技巧提炼 一、一元二次不等式在实数集R上恒成立问题 核心标准式 通用形式： 对恒成立 ⚠️上海高考必考前提：二次项系数含参数，必须优先讨论二次项系数a=0（一次函数），再讨论（二次函数），漏讨论直接扣分。 万能判定模型（背诵直接用） 不等式类型 恒成立充要条件 上海易错点 恒成立 ①；② 无实根，图像全程在x轴上方 恒成立 ①；② 可取等，判别式可等于0 恒成立 ①；② 开口向下，无交点 恒成立 ①；② 上海高频填空考点 解题步骤标准化 1.第一步：分类讨论，验证一次不等式是否全域成立； 2.第二步：，结合开口方向+判别式列不等式组； 3.第三步：取两类解集并集，即为参数范围。 二、一元二次不等式在某区间上恒成立问题 核心形式 ，恒成立 区间类型：闭区间（上海99%考题）、开区间 分类讨论精简规则（减少讨论次数） 1.先讨论一次函数； 2.再讨论开口； 3.最后讨论对称轴落在区间左、内、右三段，不重复不漏解。 上海专属易错点 开区间最值取不到端点值，等号取舍和闭区间完全相反；上海春考高频挖坑点。 三、一元二次不等式在某区间上有解（能成立）问题 核心定义区分（重中之重，和恒成立极易混淆） 恒成立：区间内所有x满足不等式；有解（能成立）：区间内至少1个x满足不等式 核心等价模型（直接背诵，填空直接套用） 设， 1.在区间有解 2.在区间有解 3在区间有解 4.在区间有解 恒成立VS能成立终极对照表（上海必考辨析） 命题类型 对∀x恒成立 ∃x有解（能成立） 四、利用导数研究不等式恒成立问题 上海考情 秋考解答21题压轴必考，函数载体：指数、对数、分式、三次多项式，含参数a，定义域多为、闭区间。 解答题扣分避雷细则 1. 不写定义域直接扣2分；2. 导函数不因式分解，阅卷不给步骤分；3. 单调区间必须用区间书写，不能用不等式。 五、利用导数研究不等式能成立（存在性）问题 核心等价转化（导数版） 定义域 1.能成立 2.能成立 双变量复合型考点（上海拔高必考） 区分四类双变量题型（考场高频混淆点）： 1.： 2.： 3.： 4.： 导数恒成立VS能成立终极解题口诀 恒成立找最值对立面，能成立找最值同侧面；参变分离看不等方向，分类讨论看零点区间；端点压缩简化参数，补集运算减少计算。 六、数列不等式恒成立、能成立 核心定义&基础形式 设数列通项、前n项和，参数为， 1.数列恒成立：，不等式恒成立（所有正整数n满足） 2.数列能成立(有解)：，不等式成立（至少一个正整数n满足） 核心等价转化（背诵秒杀，区分离散最值） 核心准则：数列是离散自变量，最值不取导数极值，依靠单调性判断最值，端点为正整数取值 不等式命题 恒成立等价条件 能成立(有解)等价条件 数列单调性判定（求最值必考方法） 方法1：作差法（上海首选） 数列递增；数列递减 方法2：作商法（正项数列专用） 递增；递减 方法3：函数类比法（易错避雷） 把改写连续函数求单调性，极值点后，就近取正整数n，不可直接取极值 上海高考高频模型&高分结论 1.单调递增数列：，无最大值；恒成立优先带入首项 2.单调递减数列：，无最小值；恒成立优先带入首项 3.先增后减摆动数列：最值在临界点邻近正整数处取得 4.前n项和不等式：统一转化通项不等式，再判定单调性 专属易错红线（上海高频扣分点） 1.混淆连续函数最值与离散数列最值，直接取函数极值代入 2.忘记，n从1开始取值，不可取n=0 3.恒成立、能成立最值取反，和函数不等式混用结论 4.摆动数列未核验邻近两个正整数，漏算最值 题型通法及变式提升 题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1. 纯二次式（默认）：直接开口+判别式，跳过一次讨论； 2. 否定结论速解：若不等式不能在R恒成立，直接取补集做题，节省计算； 3. 易错红线：和等号区分，上海阅卷等号错写直接扣1分。 1．（24-25高三上·上海·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，当且仅当，即时取等号， 故. 故选：C 2．（25-26高三上·上海松江·期中）不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______． 【答案】 【详解】设， 则原不等式转化为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 又因为， 所以， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若对于任意，使得恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为， 所以， 由对于任意，使得恒成立， 所以，解得， 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海杨浦·期中）对于定义域为的函数和实数，定义集合，.给出下列两个命题，则下列选项中正确的是（   ） ①若是三次函数，则一定存在实数，使得； ②“函数是偶函数”的充要条件是“对任意实数，都有”. A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【详解】对于①，若函数为三次函数，设， 则 ， 若，则恒成立， 则只需， 即， 当时，则，故当且可使得； 当时，则，故当且即可使得，故①正确； 对于②，必要性：若是偶函数，则，得证； 充分性：对任意，不等式与同解. 取，若，则且，显然不成立； 所以，且， 故对任意恒成立，所以是偶函数，故②正确. 故选：A. 5．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 方法1：最值法（通用首选，适配所有含参二次函数） 核心逻辑：恒成立⇨函数最值满足不等式 在区间恒成立 在区间恒成立 二次函数区间最值口诀：定轴定区间直接算；动轴定区间分类讨论对称轴与区间位置关系（左、中、右三类）。 方法2：参变分离法（上海填空秒杀法，优先级最高） 适用条件：参数可单独剥离，不等号两边可拆分参数与自变量 模型：恒成立；恒成立 ⚠️核心禁忌：分离时除以代数式，必须讨论代数式正负，改变不等号方向。 方法3：端点效应秒杀法（上海闭区间专属高分技巧） 针对闭区间二次恒成立：开口向上，区间恒正⇨两端点值均大于0；开口向下，区间恒负⇨两端点值均小于0（仅限选择填空秒杀，解答题需补对称轴验证） 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）任意都是不等式的解，求实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】由题知，即不等式在上恒成立， 则，又，所以令， 即，所以， 又，当，即时取等号， 所以在上单调递减， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因在上单调递减，在上单调递增，且，， 则在上的最大值为， 则， 故实数a的取值范围为. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海·期中）设，若对任意，都有，则_____． 【答案】 【详解】设，， 当时，，但不可能在时恒成立（如）， 不满足对任意，都有，， 时，；时，； 若对任意，都有，则 在时，；在时，， 为一次函数，则， 解得， ，则， ． 故答案为：． 4．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【详解】（1）由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； （2）法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； （3）当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 5．（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 【详解】（1）当，，时，， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）， 若，当时的二次项系数为负导致当时，， 当时，，均不满足恒成立，故， 所以，设， 则，解得或（舍去），即， 此时，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. (3)证明：必要性：对于，取， 因为函数在上是严格增函数且，所以， 即， 即， 所以. 充分性：，且， 因为， 所以， 即，又， 所以函数在上是严格增函数. 题型3 一元二次不等式在某区间上有解问题 1. 补集法（高分最简解法） 正向有解复杂，反向求“不等式在区间无解”，求出参数范围后取全集补集，大幅减少分类讨论，上海解答题首选。 例：有解 ⇨ 补集：区间恒成立，求参后取补集。 2. 参变分离法 有解；有解 1．（24-25高三上·上海嘉定·阶段检测）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意可知，命题“存在”为真命题. 当时，由可得，合乎题意； 当时，存在，使得成立， 当时，，所以存在成立， 综上所述，当的取值范围为全体实数. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）记代数式. (1)当时，求使代数式有意义的实数的集合； (2)若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， ①当时，，解得，此时； ②当时，，原不等式无解； ③当时，，解得，此时. 解得或， 故实数的集合为. （2）因为， 则，解得， 由题意可知，存在，使得成立， 即有解， 因为且，则， 所以 即在时有解，所以， 又因且，解得且， 所以实数的取值范围为. 题型4 利用导数研究不等式恒成立问题 方法1：参变分离法（填空+中档解答首选，零扣分） 适用：参数易剥离、分离后函数易求导求最值 步骤：移项分离参数→构造新函数→求导判断单调性→求区间最值→比对参数范围 高分细节：定义域严格标注，端点极限值用洛必达法则速算（上海高考允许使用）。 方法2：分类讨论最值法（压轴大题必写标准解法） 适用：参数无法分离、分离后函数极值复杂 标准答题模板（适配上海阅卷采分点）： 1.确定定义域，求一阶导，整理导函数因式分解； 2.以参数为分类依据，讨论导函数零点大小、零点与定义域位置关系； 3.判定单调区间，求出； 4.令最小值≥0/≤0，解出参数范围。 方法3：端点赋值秒杀法（上海压轴捷径） 闭区间导数恒成立：区间端点必须满足不等式，先代入端点压缩参数范围，再证明压缩后的范围全域成立，大幅简化讨论。 核心结论：恒成立，则必有。 方法4：切线放缩法（高阶秒杀，填空压轴专用） 上海高频放缩公式（直接用）：，，凹凸性切线隔离双函数。 1．（2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 【答案】15 【详解】对于，， 而，所以， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 而当且时， 因为函数是“全面压缩”函数，所以， 即， 则，，，，，， 而当时，， 设， ， ， 故最大值为. 2．（2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】 【详解】记， 因为， 故为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，先证：给定和，证明：存在使得； 由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解，矛盾，故无解； 故存在，使得， 在上面结论中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 3．（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）设，已知． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）的定义域为. 若，则， 整理得，所以. 所以. ，所以. . 所以曲线在处的切线方程为. （2）的定义域为. . 因为，所以. 又， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以函数在处取得极小值，即最小值，最小值为. 因为当时，不等式恒成立，所以. 令，则. 因为与均为减函数，所以是减函数. 因为，，所以在上存在唯一零点，记作，即，即. 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为当时，，即当时，，且， 所以当且仅当时，，即. 所以的取值范围是． 5．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是. （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增， 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. 6．（25-26高三下·上海青浦·期中）函数 和 有相同的定义域，导函数分别为 ， ，若在定义域内均有 ，则称 是 的“ 函数”. (1)判断 是否为 的“ 函数”，并说明理由； (2)已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，且 是 的“ 函数”，证明： （ 为常数）； (3)若 ，证明函数 是函数 的“”函数. 【详解】（1） 即, 是的“函数”. （2）设,则. 是的“函数”, ,即. 已知和都是定义在上的偶函数， 两边同乘，得到 由且，得到，即. ,得证. （3）， 令， 故， 令, 在上单调递增， , 根据零点存在定理，可知存在使得即. 当时，单调递减， 当时，单调递增. 由，得，且， 代入上式得 因为，故，而，故， 而，故，所以即恒成立. 故是函数的“函数”. 题型5 利用导数研究不等式能成立问题 1. 反面否定法 能成立问题正向求极值繁琐，直接求解“任意x都不满足不等式”，取补集，适配含参复杂导数函数。 2. 数形结合法 指数、对数函数画图，利用图像高低位置判定存在性，填空30秒秒杀。 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 【答案】 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故，即实数的最小值是. 2．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意得，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，；当时，； ，，， 且时，，作出函数的图象，如图所示： 直线过定点，要使不等式有且仅有一个整数， 只需 解得， 故答案为:.    3．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设是实数，. (1)证明:函数的图像关于点成中心对称； (2)若存在正数，使得成立，求的取值范围； (3)试根据正数的不同取值，讨论经过点且与曲线相切的直线的条数. 【详解】（1）证明:， ， 函数的图像关于点成中心对称； （2）， ， ， 设， 则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 的最小值为， ， 的取值范围为 （3）设过的切线与曲线于点， 切线方程为，又其过， ， ， 设， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 的极小值为，的极大值为, 当,当， ①当或时，方程有1解， 即过点可以作1条直线与曲线相切； ②当或时，方程有2解， 即过点可以作2条直线与曲线相切； ③当时，方程有3解， 即过点可以作3条直线与曲线相切， 综合可得:当或时，过点可以作1条直线与曲线相切； 当或时，过点可以作2条直线与曲线相切； 当时，过点可以作3条直线与曲线相切. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知实数，设. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，已知函数，的值域为，求实数的取值范围； (3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【详解】（1）由题得，所以， 所以， 所以在点的切线方程为； （2）由题得， 所以， 令，解得或， 当时，，此时在单调递减； 当时，，此时在单调递增； 当时，，此时在单调递减； ， 当时，解，得 即 因为在单调递减，在单调递增，在单调递减， 所以要使函数，的值域为 此时. （3）由题可知，， 令，解得或， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 所以有极小值，有极大值 令，解得或， 所以有当，，当，， 因为对于任意的，总存在，使得 不成立， 故，即 由题可知，对于任意的，总存在，使得， 不妨令集合，则有， 当，即时，有，此时在单调递减， 所以， 显然不成立； 当，即，此时有， ，在单调递减， 所以， ，故， 综上所述， . 题型6 数列不等式恒成立（能成立）问题 方法1：参变分离法（填空秒杀最优） 将参数单独分离至一侧，转化为数列最值求解，适配等差、分式递推数列，步骤最简，扣分最少。 方法2：单调性最值法（解答标准解法） 1.作差判定数列增减性，找出最值项（首项/末项/中间极值项） 2.带入恒成立/能成立最值模型，求解参数范围 3.核验n=1临界取值，补上取等条件 方法3：补集逆向法（复杂数列简化运算） 正向求解单调性复杂，转化为不等式无解，求出参数范围后取补集，适配摆动数列、分段数列。 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（    ） A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】C 【详解】因为长为的线段均能构成三角形，所以. 由，有，即， 若，则对任意的都成立。 若，则，而当时，有最大值. 要使任意的都有，即要，解得可为任意正整数. 由，有，即， 所以，因，当时，有最大值. 要使任意的都有，即要，解得. 由，有，即， 若，则对任意的都成立。 若，则，当时，有最小值. 要使任意的都有，即要，解得. 综上，，所以满足条件的有3个． 故选：C 2．（25-26高三上·上海金山·阶段检测）设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】∵长为，，的线段均能构成三角形， ∴， ① 当时，有，即， 又，∴，即恒成立； ② 当时，有，即， ∴，因为，易知随着的增大而增大，所以； 则有，整理可得， 结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及， 可知当，，不合题意； 当时，，当时，， 当时，，因此可得， ③ 当时，有，即， 当时，显然成立，当时，， 因为，易知随着的增大而增大，所以， 因此即可，即，所以； 结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及，可得， 综上可得 ∴满足条件的n有2个． 故选：B． 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 【答案】 【详解】由题意对任意正整数，存在不超过的正整数，使得， 由，令，则； 令，则，或； 故数列的任意一项均为的正整数次幂形式，且为递增数列， 设，其中，，且， 即数列各项均为正整数的递增数列. 又，且， 可得，故； 由， 故， 由，可知， 则， 故，则； ①当时，则，则由可知， 此时，， 满足题意； ②当时，则，可取， 则， 满足题意； ③当时，则，，又， 故； 由， 可知数列的前项中， 至少有两项不在数列的前项中（不包含第项）. 故可设， 其中，且数列为正整数列的递增子数列且. 故， 解得. 又，而， 故只能取，即只可能两项不在数列的前项中； 则数列中，而只能取或，故产生矛盾； 故不满足题意； 综上可知，满足要求的正整数只能为或，即个数为. 故答案为：. 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）公比为的无穷等比数列满足恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】已知等比数列的通项公式为， 依题意恒成立， 因为，所以恒成立， 当时，该式为，显然成立， 接下来讨论的情况，当时，有， 原不等式等价于，显然成立；当时， 有，原不等式等价于，显然成立； 当时，先分析时的情况，此时不等式为， 即，因为，可化为， 解得或，结合得， 接下来验证当时，不等式对也成立， 当为奇数时，为偶数，， 原不等式等价于即， 因为且，所以该式成立； 当为偶数时，为奇数，， 原不等式等价于即， 因为且，所以该式成立， 故综上所述，或. 5．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【详解】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则； （2）即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为不等式在上恒成立，所以在上恒成立， 令，因为， 由对勾函数性质，知函数在上是严格增函数， 所以，所以. 故答案为： 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为___________ 【答案】 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 3．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为______. 【答案】13 【详解】由. 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以当为奇数时，， 由. 当为偶数时，， 由. 又为偶数，所以 综上可知：的最小值为13. 故答案为：13 4．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 【答案】 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当时，， 因为在上都是增函数，所以函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是 5．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，. 因此， 等价转化为，即，解得. 故原不等式的解集为. （2）将代入得. 故，其中. 令，则在上是严格增函数， 故不等式转化为. 从而，即对于恒成立. 令，故，. + 0 - 严格增 极大值 严格减 所以在上为严格增函数，在上为严格减函数. 因此，在上的极大值也是最大值为. 故的取值范围是. 6．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）已知，. 由，代入得：. 因为，所以，即， 得，解得. （2）由 得 . 当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 . 结合 得 . 故 且 对 恒成立. 令 , . 令 ,由 ,得 ,且 . 于是. 这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为. 对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。 又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减. 所以 , . 故 又 对一切 恒成立. 则需大于 在 上最大值即 . 因为 与 不能同时成立. 故 时无解. 当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立. 故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 . 又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 . 综上所述, 的取值范围是 . 7．（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 【详解】（1）， 根据题意可令，解得， 所以函数与是“局部相等”； （2）， 若函数与“局部相等”， 则，解得，； （3） 根据题意可得关于m的不等式：有解， 消去n可得关于的不等式有解， 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且时，；时，， 所以 所以 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 创新提升 1．（24-25高三下·上海·开学考试）已知数列是公比为的等比数列，且，则下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对A，若，则, 所以. 当时，,, 设，, 在区间内单调递增， 内单调递减， 所以,与矛盾， 所以，所以，正确，故A正确； 对B，若恒成立，①恒成立， 在①式中由时成立，可得, 若,则, 在①式中取得到 所以与矛盾， 所以，故B正确； 对C，因为，所以. 当时，,,所以. 与假设矛盾，故不成立， 当时，,,所以. 与假设矛盾，故不成立， ， 因为，所以， 当时， (由当且仅当时取等号得到，此结论是高中数学课本习题中常见结论，详细证明参见D中证明) 所以， 所以. 当时，， 所以，则，故C正确； 对D，由可知，且， 所以，即， 设， 由，可知： 当时，单调递增；当时，单调递减． ，即在上恒成立． 当时，，则， 当时，，则，故D错误． 故选：D 2．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 【答案】 【详解】对，都，使得不等式成立， 等价于, 当时，，所以， 当时，，所以， 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立， 当时，恒成立，即恒成立. 记, 因为恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以恒成立，即， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 3．（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），，，，若，则正整数的最大值为_________． 【答案】 【详解】因为，则，（，当且仅当为奇数时取“”）， 又，所以数列为递增数列． 问题转化为：数列增长速度最慢时，由，求的值． 设，则； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； 归纳得：当为奇数时，；当为偶数时，． 又． 若， 由， 即； 若， 由， 即． 此时，，． 又，所以数列应该是在第项之后，突然改变增长速度，使得． 故的最大值为． 5．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 6．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)记不等式的解集为A，若，求实m的取值范围． 【详解】（1）函数，不等式， 当，即时，，不合题意； 当时，由的解集为R， 得，即，解得， 所以实数m的取值范围. （2）不等式， 当，即时，解得； 当，即时，，，解得或； 当，即时，，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）依题意，，不等式， 而，则，， 令，则，当且仅当，即时取等号， 因此当时，，则， 所以m的取值范围为. 7．（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【详解】（1）由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． （2）必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. （3）由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 8．（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 【详解】（1）因为，，所以，． 若，，是一组“有序和谐函数”，则 代入得，即 因为，所以 因此可取 （2）由题意， 根据“有序和谐函数”的定义，得 由积化和差公式，得 三式相加，得 因为所以原式等于 若它对一切实数恒等于常数，则含的项必须为，所以即 因此或 若，则，符合条件． 若，则，不符合条件． 所以的所有可能取值为 (3)因为，，是一组“有序和谐函数”，所以， 即所以， 令，则， 由，得，所以 令，则，所以在上单调递增． 若，则，即 所以， 取充分大的正数，使得，则． 又因为，所以， 若，则，即， 所以， 取充分小的负数，使得，则． 又因为，所以 因为在上可导，所以在上连续． 又，，由零点存在定理可知，存在，使得 故存在零点． 9．（2026·上海浦东新·三模）已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若．证明：； (3)若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 【详解】（1）若，则，故， 当时，，取，则， 显然， 因此不是函数的“切线支撑点”. （2）由题，令 ， 又， 故时，，函数严格增； 时，，函数严格减； 因此，， 即对任意，对任意恒成立， 由此可得. （3）由题，， 则存在，使得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 显然，①，②， 由②可得，，即，其中， 故， 显然，也满足①， 因此. 此时，， ，故直线方程为， 代入，得， 因此，坐标原点到直线的距离. 10．（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 【详解】（1）因为，所以， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； （2），则， 则， 因函数是函数的“控制函数”，则恒成立， 因， ①当时，，则在上单调递增， 当时，不符合题意舍去； ②当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则恒成立即可， 则使得，则， 设，∴， 则得；得， 则在单调递减，在单调递增，则， 即，则，即， 即控制系数的取值范围是． （3）充分性：若存在常数使得恒成立， ∴，∴， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，∴， 因，∴， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，， 则， 则为偶函数， 又是偶函数，则， 当时，，∴，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 11．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，. (1)当时，求的严格增区间； (2)若恒成立，求的值； (3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，由，得， 所以的严格增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以. （3）由（2）知当时，，即， 则恒成立，当且仅当时取等号， 当，时，， 因此， 则，即， 当时，， 即当时，， 所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立， 则的最小值为3. 12．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，若曲线在处的切线恰好是直线，求和的值； (2)当，时，关于的方程有正实数根，求的取值范围： (3)当时，关于x的不等式对于任意恒成立（其中），当取得最大值时，求的最小值． 【详解】（1）当时，，所以，由， 得曲线在处的切线方程为，即， 由题意，． （2）当，时，， 由题意，方程在上有解，即在上有解， 令，则，由得， 在上严格递增，所以： 当时，，所以严格递减， 当时，，所以严格递增， 所以，又时，， 所以的值域为，所以的取值范围为． （3）当时，， 由题意，对于任意恒成立， 即：（*）恒成立， 那么，恒成立，所以恒成立， 令，则在上恒成立， 所以在上严格递增，所以， 从而，即的最大值为1， 时，取代入（*）式，得，所以， 所以在上恒成立，得，即的最小值为1， 当时，记， 则， 设， 因为在上严格递增，所以， 所以在上严格递增，所以， 所以在上严格递增，所以， 从而对于任意恒成立， 综上，的最小值为1． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 不等式恒成立与能成立问题六大考法 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 5 题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 5 题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 6 题型3 一元二次不等式在某区间上有解问题 7 题型4 利用导数研究不等式恒成立问题 8 题型5 利用导数研究不等式能成立问题 10 题型6 数列不等式恒成立（能成立）问题 11 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 一、一元二次不等式在实数集R上恒成立问题 核心标准式 通用形式： 对恒成立 ⚠️上海高考必考前提：二次项系数含参数，必须优先讨论二次项系数a=0（一次函数），再讨论（二次函数），漏讨论直接扣分。 万能判定模型（背诵直接用） 不等式类型 恒成立充要条件 上海易错点 恒成立 ①；② 无实根，图像全程在x轴上方 恒成立 ①；② 可取等，判别式可等于0 恒成立 ①；② 开口向下，无交点 恒成立 ①；② 上海高频填空考点 解题步骤标准化 1.第一步：分类讨论，验证一次不等式是否全域成立； 2.第二步：，结合开口方向+判别式列不等式组； 3.第三步：取两类解集并集，即为参数范围。 二、一元二次不等式在某区间上恒成立问题 核心形式 ，恒成立 区间类型：闭区间（上海99%考题）、开区间 分类讨论精简规则（减少讨论次数） 1.先讨论一次函数； 2.再讨论开口； 3.最后讨论对称轴落在区间左、内、右三段，不重复不漏解。 上海专属易错点 开区间最值取不到端点值，等号取舍和闭区间完全相反；上海春考高频挖坑点。 三、一元二次不等式在某区间上有解（能成立）问题 核心定义区分（重中之重，和恒成立极易混淆） 恒成立：区间内所有x满足不等式；有解（能成立）：区间内至少1个x满足不等式 核心等价模型（直接背诵，填空直接套用） 设， 1.在区间有解 2.在区间有解 3在区间有解 4.在区间有解 恒成立VS能成立终极对照表（上海必考辨析） 命题类型 对∀x恒成立 ∃x有解（能成立） 四、利用导数研究不等式恒成立问题 上海考情 秋考解答21题压轴必考，函数载体：指数、对数、分式、三次多项式，含参数a，定义域多为、闭区间。 解答题扣分避雷细则 1. 不写定义域直接扣2分；2. 导函数不因式分解，阅卷不给步骤分；3. 单调区间必须用区间书写，不能用不等式。 五、利用导数研究不等式能成立（存在性）问题 核心等价转化（导数版） 定义域 1.能成立 2.能成立 双变量复合型考点（上海拔高必考） 区分四类双变量题型（考场高频混淆点）： 1.： 2.： 3.： 4.： 导数恒成立VS能成立终极解题口诀 恒成立找最值对立面，能成立找最值同侧面；参变分离看不等方向，分类讨论看零点区间；端点压缩简化参数，补集运算减少计算。 六、数列不等式恒成立、能成立 核心定义&基础形式 设数列通项、前n项和，参数为， 1.数列恒成立：，不等式恒成立（所有正整数n满足） 2.数列能成立(有解)：，不等式成立（至少一个正整数n满足） 核心等价转化（背诵秒杀，区分离散最值） 核心准则：数列是离散自变量，最值不取导数极值，依靠单调性判断最值，端点为正整数取值 不等式命题 恒成立等价条件 能成立(有解)等价条件 数列单调性判定（求最值必考方法） 方法1：作差法（上海首选） 数列递增；数列递减 方法2：作商法（正项数列专用） 递增；递减 方法3：函数类比法（易错避雷） 把改写连续函数求单调性，极值点后，就近取正整数n，不可直接取极值 上海高考高频模型&高分结论 1.单调递增数列：，无最大值；恒成立优先带入首项 2.单调递减数列：，无最小值；恒成立优先带入首项 3.先增后减摆动数列：最值在临界点邻近正整数处取得 4.前n项和不等式：统一转化通项不等式，再判定单调性 专属易错红线（上海高频扣分点） 1.混淆连续函数最值与离散数列最值，直接取函数极值代入 2.忘记，n从1开始取值，不可取n=0 3.恒成立、能成立最值取反，和函数不等式混用结论 4.摆动数列未核验邻近两个正整数，漏算最值 题型通法及变式提升 题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1. 纯二次式（默认）：直接开口+判别式，跳过一次讨论； 2. 否定结论速解：若不等式不能在R恒成立，直接取补集做题，节省计算； 3. 易错红线：和等号区分，上海阅卷等号错写直接扣1分。 1．（24-25高三上·上海·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海松江·期中）不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若对于任意，使得恒成立，则实数的取值范围为_____. 4．（25-26高三上·上海杨浦·期中）对于定义域为的函数和实数，定义集合，.给出下列两个命题，则下列选项中正确的是（   ） ①若是三次函数，则一定存在实数，使得； ②“函数是偶函数”的充要条件是“对任意实数，都有”. A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 5．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 方法1：最值法（通用首选，适配所有含参二次函数） 核心逻辑：恒成立⇨函数最值满足不等式 在区间恒成立 在区间恒成立 二次函数区间最值口诀：定轴定区间直接算；动轴定区间分类讨论对称轴与区间位置关系（左、中、右三类）。 方法2：参变分离法（上海填空秒杀法，优先级最高） 适用条件：参数可单独剥离，不等号两边可拆分参数与自变量 模型：恒成立；恒成立 ⚠️核心禁忌：分离时除以代数式，必须讨论代数式正负，改变不等号方向。 方法3：端点效应秒杀法（上海闭区间专属高分技巧） 针对闭区间二次恒成立：开口向上，区间恒正⇨两端点值均大于0；开口向下，区间恒负⇨两端点值均小于0（仅限选择填空秒杀，解答题需补对称轴验证） 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）任意都是不等式的解，求实数的取值范围__________. 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为__________. 3．（25-26高三上·上海·期中）设，若对任意，都有，则_____． 4．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 5．（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 题型3 一元二次不等式在某区间上有解问题 1. 补集法（高分最简解法） 正向有解复杂，反向求“不等式在区间无解”，求出参数范围后取全集补集，大幅减少分类讨论，上海解答题首选。 例：有解 ⇨ 补集：区间恒成立，求参后取补集。 2. 参变分离法 有解；有解 1．（24-25高三上·上海嘉定·阶段检测）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 2．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为______. 3．（24-25高三上·上海·期中）记代数式. (1)当时，求使代数式有意义的实数的集合； (2)若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围. 题型4 利用导数研究不等式恒成立问题 方法1：参变分离法（填空+中档解答首选，零扣分） 适用：参数易剥离、分离后函数易求导求最值 步骤：移项分离参数→构造新函数→求导判断单调性→求区间最值→比对参数范围 高分细节：定义域严格标注，端点极限值用洛必达法则速算（上海高考允许使用）。 方法2：分类讨论最值法（压轴大题必写标准解法） 适用：参数无法分离、分离后函数极值复杂 标准答题模板（适配上海阅卷采分点）： 1.确定定义域，求一阶导，整理导函数因式分解； 2.以参数为分类依据，讨论导函数零点大小、零点与定义域位置关系； 3.判定单调区间，求出； 4.令最小值≥0/≤0，解出参数范围。 方法3：端点赋值秒杀法（上海压轴捷径） 闭区间导数恒成立：区间端点必须满足不等式，先代入端点压缩参数范围，再证明压缩后的范围全域成立，大幅简化讨论。 核心结论：恒成立，则必有。 方法4：切线放缩法（高阶秒杀，填空压轴专用） 上海高频放缩公式（直接用）：，，凹凸性切线隔离双函数。 1．（2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 2．（2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 3．（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）设，已知． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 5．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 6．（25-26高三下·上海青浦·期中）函数 和 有相同的定义域，导函数分别为 ， ，若在定义域内均有 ，则称 是 的“ 函数”. (1)判断 是否为 的“ 函数”，并说明理由； (2)已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，且 是 的“ 函数”，证明： （ 为常数）； (3)若 ，证明函数 是函数 的“”函数. 题型5 利用导数研究不等式能成立问题 1. 反面否定法 能成立问题正向求极值繁琐，直接求解“任意x都不满足不等式”，取补集，适配含参复杂导数函数。 2. 数形结合法 指数、对数函数画图，利用图像高低位置判定存在性，填空30秒秒杀。 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 2．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是________． 3．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设是实数，. (1)证明:函数的图像关于点成中心对称； (2)若存在正数，使得成立，求的取值范围； (3)试根据正数的不同取值，讨论经过点且与曲线相切的直线的条数. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知实数，设. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，已知函数，的值域为，求实数的取值范围； (3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 题型6 数列不等式恒成立（能成立）问题 方法1：参变分离法（填空秒杀最优） 将参数单独分离至一侧，转化为数列最值求解，适配等差、分式递推数列，步骤最简，扣分最少。 方法2：单调性最值法（解答标准解法） 1.作差判定数列增减性，找出最值项（首项/末项/中间极值项） 2.带入恒成立/能成立最值模型，求解参数范围 3.核验n=1临界取值，补上取等条件 方法3：补集逆向法（复杂数列简化运算） 正向求解单调性复杂，转化为不等式无解，求出参数范围后取补集，适配摆动数列、分段数列。 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（    ） A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个 2．（25-26高三上·上海金山·阶段检测）设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无数个 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）公比为的无穷等比数列满足恒成立，则的取值范围是_______. 5．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为___________ 3．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为______. 4．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 5．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 6．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 7．（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 创新提升 1．（24-25高三下·上海·开学考试）已知数列是公比为的等比数列，且，则下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 3．（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），，，，若，则正整数的最大值为_________． 5．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 6．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)记不等式的解集为A，若，求实m的取值范围． 7．（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 8．（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 9．（2026·上海浦东新·三模）已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若．证明：； (3)若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 10．（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 11．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，. (1)当时，求的严格增区间； (2)若恒成立，求的值； (3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 12．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，若曲线在处的切线恰好是直线，求和的值； (2)当，时，关于的方程有正实数根，求的取值范围： (3)当时，关于x的不等式对于任意恒成立（其中），当取得最大值时，求的最小值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $