专题1.8 等腰三角形（举一反三讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形核心知识点，系统梳理性质（相关概念、等边对等角、三线合一及拓展）与判定（定义法、等角对等边），构建从概念到应用的递进式学习支架，配合9类典型题型及例题变式强化理解。 资料亮点在于题型分类细致，涵盖概念辨析、角度计算、三线合一应用等，结合生活情境与综合题，通过分类讨论（如动点构成等腰三角形）培养推理意识，例题变式设计助力课中教学互动，课后可通过举一反三练习查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题1.8 等腰三角形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 等腰三角形的相关概念】 2 【题型2 等边对等角直接求角度】 2 【题型3 三线合一的应用】 3 【题型4 等角对等边的应用】 5 【题型5 确定等腰三角形的个数】 6 【题型6 尺规作等腰三角形】 7 【题型7 等腰三角形的判定与性质的综合】 8 【题型8 组成等腰三角形的点】 9 【题型9 分类讨论思想与等腰三角形】 10 考点1 等腰三角形的性质 知识点1 等腰三角形的相关概念 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 知识点2 等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2. 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【题型1 等腰三角形的相关概念】 【例1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（） A． B．或 C． D．或 【变式1-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 【变式1-2】等腰三角形的一个内角是50度，则另外两个角的度数分别是______． 【变式1-3】如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 【题型2 等边对等角直接求角度】 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，D在延长线上，，则________． 【变式2-1】如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，的顶点F，G分别在直线，上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，若，，则______． 【题型3 三线合一的应用】 【例3】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【变式3-2】（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________． 【变式3-3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 考点2 等腰三角形的判定 知识点3 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （3）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【题型4 等角对等边的应用】 【例4】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【变式4-2】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式4-3】（25-26七年级下·上海奉贤·期末）如图，在同一直线上有四个点B、F、C、E，点A、D在直线同一侧，如果垂足为B，垂足为E，且，．连接、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【题型5 确定等腰三角形的个数】 【例5】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式5-1】如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【变式5-2】在下图中，将图1中的，沿翻折得到图2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有__________个等腰三角形． 【变式5-3】如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型6 尺规作等腰三角形】 【例6】（24-25九年级下·河北廊坊·阶段检测）综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　　） ①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高 A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【变式6-1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）根据作图痕迹可判断，下列作法中不一定能作出等腰三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【变式6-3】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点在边上，请利用尺规作图法在内部求作一点，使得，且是等腰三角形．（作出一个即可，保留作图痕迹，不写作法） 【题型7 等腰三角形的判定与性质的综合】 【例7】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【变式7-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点E，F分别在，上，，与相交于点P． (1)求证：； (2)请直接写出图中其他相等的线段． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【题型8 组成等腰三角形的点】 【例8】（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式8-1】已知如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数应是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式8-2】如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个. 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【题型9 分类讨论思想与等腰三角形】 【例9】（25-26八年级上·江西宜春·期中）在等腰直角三角形中，，，D为直线上的一动点（不与点B，C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为_______． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 【变式9-3】（25-26八年级上·广东云浮·期末）综合与实践 【主题】分割三角形． 【工具】剪刀、带刻度的直尺、三角形纸片． 【情境】是否存在这样的三角形，用剪刀只剪一刀，就可以将其剪成两个等腰三角形？如果存在，试探究这样的三角形具备的特征． 【特例感知】如图1，在中，，，用剪刀只剪一刀，将剪成两个等腰三角形，应该怎么剪？ （1）小涵同学操作如下：如图2，在边A上取一点，使，然后沿着线段剪开，则所得的两个三角形即为等腰三角形．请你帮小涵说明理由． （2）在图1中画出另一种剪法，并写出剪切步骤． 【深入探究】 （3）如图3，在中，．若满足用剪刀只剪一刀，就可以将其分成两个等腰三角形，则的内角之间存在一定的数量关系，请写出其中一个并给出证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.8 等腰三角形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 等腰三角形的相关概念】 2 【题型2 等边对等角直接求角度】 3 【题型3 三线合一的应用】 6 【题型4 等角对等边的应用】 9 【题型5 确定等腰三角形的个数】 12 【题型6 尺规作等腰三角形】 15 【题型7 等腰三角形的判定与性质的综合】 18 【题型8 组成等腰三角形的点】 21 【题型9 分类讨论思想与等腰三角形】 25 考点1 等腰三角形的性质 知识点1 等腰三角形的相关概念 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 知识点2 等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2. 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【题型1 等腰三角形的相关概念】 【例1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先根据邻补角性质求出与外角相邻的内角，再分该内角为顶角或底角两种情况，结合等腰三角形性质与三角形内角和定理计算顶角． 【详解】当的角是顶角的外角时，顶角的度数为； 当的角是底角的外角时，底角的度数为， 所以顶角的度数为； 故顶角的度数为或． 【变式1-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 【变式1-2】等腰三角形的一个内角是50度，则另外两个角的度数分别是______． 【答案】，或， 【分析】分的内角为等腰三角形的底角和顶角两种情况． 利用三角形内角和定理计算求解． 【详解】解：当的内角是等腰三角形的底角时． 顶角的度数为：． 此时另外两个角的度数分别为， 当的内角是等腰三角形的顶角时． 底角的度数为：． 此时另外两个角的度数分别为， 综上所述． 另外两个角的度数分别为，或，． 【变式1-3】如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点． 根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 作的垂直平分线，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 【题型2 等边对等角直接求角度】 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，D在延长线上，，则________． 【答案】 【分析】根据等边对等角得出，再根据外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可. 【详解】解：线段的垂直平分线交线段于点， ， ， . 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，的顶点F，G分别在直线，上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，若，，则______． 【答案】 /93度 【分析】证明，得出，根据等边对等角求出，，根据角的和差关系求出，根据三角形外角的性质求出，即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【题型3 三线合一的应用】 【例3】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 【变式3-1】（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 【变式3-2】（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点， ∴，， ∴． 【变式3-3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴． (2)证明：由（1）知， 在和中，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【分析】（1）根据垂直的定义得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，，可得，进而得出，即可得出； （2）利用证明，得出，根据是边上的中线，即可得出结论． 考点2 等腰三角形的判定 知识点3 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （3）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【题型4 等角对等边的应用】 【例4】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线与平行线的性质推出，，然后等量代换求解即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ． 故答案为：14． 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，得到，即可推出； （2）由角平分线和平行线的性质得到，推出，然后由等角对等边求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级下·上海奉贤·期末）如图，在同一直线上有四个点B、F、C、E，点A、D在直线同一侧，如果垂足为B，垂足为E，且，．连接、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵垂足为B，垂足为E， ∴， ∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴， (2)证明：∵， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【分析】（1）先证明，，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得， ，根据等角对等边得到，即可得证． 【题型5 确定等腰三角形的个数】 【例5】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式5-1】如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 【变式5-2】在下图中，将图1中的，沿翻折得到图2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有__________个等腰三角形． 【答案】3 【分析】先标出图三交点的字母,然后根据对称的性质便可求解． 【详解】解：图三标上字母如图所示 根据对称性，是等腰三角形的有：三个 故答案为：3． 【点睛】本题考查等腰三角形的判断，以及对称平移变换，属于基础题． 【变式5-3】如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， 点、分别是和的中点，， 又，， ，， 、、是等腰三角形，， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为4个， 故选B． 【题型6 尺规作等腰三角形】 【例6】（24-25九年级下·河北廊坊·阶段检测）综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　　） ①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高 A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，解题关键是熟悉相关作图方法．根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是②已知底边长和一个底角，利用底角先作底边，过另一底点作一个角等于已知角； 图2对应的是①已知底边长和腰长，先作底边，再过两底点作线段等于腰长； 图3对应的是③已知底边长和底边上的高，先作底边，再作底边的垂直平分线，截取高； 其对应顺序正确的是②①③， 故选：D． 【变式6-1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）根据作图痕迹可判断，下列作法中不一定能作出等腰三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定方法，结合作图，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．根据作图可得：， ∴为等腰三角形，故A不符合题意； B．根据作图可得：平分，但不能保证为等腰三角形，故B符合题意； C．根据作图可得：， ∴， ∴为等腰三角形，故C不符合题意； D．如图，连接，， 根据作图可知，点D在上，点E在上，，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形，故D不符合题意， 【变式6-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】 【详解】解：先作一条直线，在直线上取点D，过D作直线的垂线，再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，交垂线于点A，连接，此时；以A为圆心，线段的长为半径画弧，交第一步的直线于B、C两点，连接、，此时即为所求三角形． 【变式6-3】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点在边上，请利用尺规作图法在内部求作一点，使得，且是等腰三角形．（作出一个即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求； 【分析】先作出的平分线，则点在的平分线上，然后根据等腰三角形的定义和垂直平分线的判定画垂直平分线即可作图． 【题型7 等腰三角形的判定与性质的综合】 【例7】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质得，，进而得，再求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式7-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点E，F分别在，上，，与相交于点P． (1)求证：； (2)请直接写出图中其他相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“等边对等角”得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据角的和差得，最后根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，再根据线段的和差说明另外两组即可． 【详解】（1）证明；∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：，，． ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）取的中点连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． 【详解】（1）证明：，， ． 平分， ． ， 是等腰三角形， ， ，． ， 是等腰三角形， 是“黄金三角形”． （2）证明：如图，取的中点连接， ，点为的中点， ， 和是等腰三角形， 是“黄金三角形”． 【题型8 组成等腰三角形的点】 【例8】（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 【变式8-1】已知如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数应是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解． 【详解】如图，分情况讨论： ①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 总共8个点 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出符合实际条件的图形是解题的关键． 【变式8-2】如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个. 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为：． 【题型9 分类讨论思想与等腰三角形】 【例9】（25-26八年级上·江西宜春·期中）在等腰直角三角形中，，，D为直线上的一动点（不与点B，C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为_______． 【答案】 或或 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是分类讨论腰的情况． 根据等腰三角形的不同情况分类讨论，根据点在直线上的不同位置，分情况讨论为等腰三角形时的度数． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 情况一：当时， 当点D在的延长线上，如图， ∴， ∴． 当点D在的延长线上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 情况二：当时， 此时点D在的延长线上，如图， ∵， ∴． ∴， ∴． 情况三：当时， 此时点D与点C重合，不满足题意． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 【答案】4或12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解一元一次方程，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行讨论，根据题意表示出线段的长度，根据线段相等列出方程求解即可． 【详解】解：①当点在点左侧时，，是等腰三角形， 此时，， 解得； ②当点在点右侧时，，是等腰三角形， 此时，， 解得； ③当点在点右侧时，，是等腰三角形，且， ∴是等边三角形，即， 此时，， 解得； 综上，当或时，是等腰三角形， 故答案为：4或12． 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键在于根据等腰三角形的性质和已知条件求出的度数． 需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为求解角度即可． 【详解】解：， ，， ①当时，， ，此时不符合； ②当时，即， ， ； ③当时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时， 的度数是或． 故答案为：或． 【变式9-3】（25-26八年级上·广东云浮·期末）综合与实践 【主题】分割三角形． 【工具】剪刀、带刻度的直尺、三角形纸片． 【情境】是否存在这样的三角形，用剪刀只剪一刀，就可以将其剪成两个等腰三角形？如果存在，试探究这样的三角形具备的特征． 【特例感知】如图1，在中，，，用剪刀只剪一刀，将剪成两个等腰三角形，应该怎么剪？ （1）小涵同学操作如下：如图2，在边A上取一点，使，然后沿着线段剪开，则所得的两个三角形即为等腰三角形．请你帮小涵说明理由． （2）在图1中画出另一种剪法，并写出剪切步骤． 【深入探究】 （3）如图3，在中，．若满足用剪刀只剪一刀，就可以将其分成两个等腰三角形，则的内角之间存在一定的数量关系，请写出其中一个并给出证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），或证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用． （1）根据题意可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质可得，即可求解； （2）在边上取一点，使，沿着剪开，即可得到两个等腰三角形 （3）分三种情况讨论即可得到解答． 【详解】解：（1）理由： ， 是等腰三角形． 又， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）如图1，即为另一种剪法的剪痕． 第一步：在边上取一点，使； 第二步：沿着剪开，即可得到两个等腰三角形． （3）∠或 证明：如图3，在边上取一点E，使得， 则为等腰三角形， ∴若为等腰三角形，则满足条件，有以下情况： 情况一：若 ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得； 情况二：若 ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 情况三：若 ∴， ∵，即， ∴， ∴， 此时，，不符合题意， ∴的内角满足或 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $