2025-2026学年苏科版数学八年级上册专题提优——“一线三直角”证三角形全等

该初中数学讲义以“一线三直角”模型为核心构建三角形全等证明知识体系，通过模型特点解析、通用方法归纳及应用示例，系统呈现“一线三直角”的条件转化、角相等推导与全等证明的内在联系，突出模型构建与性质应用的重难点。 讲义亮点在于“模型应用—针对训练—巩固提升”的分层设计，结合例题中“一线三直角”证全等求线段关系，训练题通过构造直角转化角相等，培养推理意识与模型观念。每类问题附思路分析与方法总结，基础生掌握转化技巧，优生深化模型迁移，助力教师实施精准复习教学。

“一线三直角”证三角形全等 三角形全等的判定及性质是图形与几何领域的一个重要内容，在北师大版七年级下册第四章，同学们已经探究了三角形全等的判定条件，其中角的判定条件使用较为广泛，因此说明角相等的常用条件值得关注，如：角的和差关系，余角、补角性质，三角形内角和定理，平角条件等；还要归纳常用解题思想方法，其中“一线三直角”是常见的一种类型，其特点是一条直线上的三个顶点含有三个相等的直角.利用“一线三直角”的条件我们可以转化得到新的角相等，从而为证明三角形全等创造条件. “一线三直角”模型特点 如图①所示，的顶点在直线上按图①所示方式放置，且，，若过点，点分别作直线的垂线，垂足分别为点，，就形成了“一线三直角”的条件，即在直线上有. 由，结合平角条件， ，而在中，由直角三角形两锐角互余得到，利用余角的性质可推出，同理可得，则可证明，并得到边的数量关系即. 如图②所示，若的顶点在直线上按图②所示方式放置，且，，若过点，点分别作直线的垂线，垂足分别为点，，也形成了“一线三直角”的条件，即在直线上有. 由，结合角的和差关系，，而在中，由直角三角形两锐角互余得到，利用余角的性质可推出，同理可得，则可证明，并得到边的数量关系即. 如图③所示，若， 且，由直角条件， 在中，， ，。 利用余角的性质可推出，同理可得，则可证明，并得到边的数量关系即。 综上所述，“一线三直角”的模型特点是，，三点共线，且有，利用余角的性质可进行等量的转化，得到新的角等，从而为证明三角形全等创造条件，并得到线段的数量关系。 有如下通用方法： 由“一线三直角”可转化得到角度相等可证明三角形全等，由三角形全等可得到线段之间的数量关系： 图①，图②，图③。 “一线三直角”可证三角形全等，反过来由三角形全等可证“一线三直角”。 即图①由，，可证得。 图②由，，可证得。 图③由，，可证得。 “一线三直角”模型应用 例题：如图④，在中，，，直线经过点，于点，于点，试说明，，的数量关系。 思路分析：如图④，在直线上形成了“一线三直角”条件，可转化得到新的角等条件，则可证明，由已知条件与已有一角一边分别对应相等，则可证明（或），即可得到，利用全等三角形的性质可解决边的数量关系问题。 解： 如图⑤， ∵于点， 于点， ∴。 ∴在中， 。 ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）。 在和中， BDA = AEC, 1 = 3, \\ AB = AC, ∴， ∴，。 而， 即。 方法总结：利用“一线三直角”证三角形全等的基本思路，其中两个直角的条件（）结合余角性质推出新的角等（或），另外一个直角的条件用于证明三角形全等，即由已知等量转化得到新的等量，从而能够证明。 针对训练1：如图⑥，若，， 于点，于点，若， ，则。 思路分析：由题目中一线三直角条件， ，即， 于点，于点，， 则， 则（同角的余角相等）。 再由可证， 则， 又∵，∴， 故。 针对训练2： 如图⑦， 在中， ， ， ， ， 垂足分别为点，， ， ， 求的长（用含，的式子表示）. 思路分析： 类比针对训练1发现， 点在直线上的位置可在的外部， 也可在的内部. 由题目中“一线三直角”的条件可知， ， 即， 于点， 于点， ， 则， 则（同角的余角相等）. 再由可证(), 则， ， 而. 故. “一线三直角”模型巩固练习 1. 如图⑧， ， 点是直线上的一点， 且， . (1) 说明. （2） 判断形状， 并说明理由. 2. 已知， ，，三点都在直线上， 在直线的同一侧作， 使， 连接，. （1） 如图⑨， 若， 于点， 于点， 则， ， 的数量关系为________. （2） 如图⑩， 若， 则， ， 的上述数量关系还成立吗？ 并说明理由. “一线三直角”模型巩固练习答案及提示 （1） 同例题证明思路相同 解： 如右图， ， 在中, . ， . （同角的余角相等）. 在和中， . （2）由（1）可得，则， ， 为等腰直角三角形. 2.（1），，的数量关系为 （2），，的数量关系仍然成立，理由如下： ，在中， 由，，三点共线，， . 在和中， BDA = AEC, DBA = CAE, AB = AC, ， ，且， . 提示：该题（2）问应用“一线三直角”模型解决问题. 思考： 1. 在上述例题中我们会发现：如图，从等腰直角斜边两个端点向同一条直线作垂线就能构成“一线三直角”的条件，这是一个重要模型，有时题目中没有“一线三直角”的条件，可利用这一模型作恰当辅助线构造“一线三直角”的条件.比如：在中，，以为一直角边向外作等腰，连接，则利用上述模型，能否构造“一线三直角”的条件呢？ 2. “一线三直角”的模型能否应用到一般“一线三等角”的情况呢？ 希望同学们能积极思考，举一反三，灵活运用！ 学科网（北京）股份有限公司 $